(С.В.Смирнов, понедельник, 16:45-18:20, ауд. 14-03 ГЗ)

Годовой спецкурс для студентов второго курса. Первая лекция в весеннем семестре 14 февраля в дистанционном режиме.

Предварительная программа
1. Вещественные и комплексные аффинные преобразования, соответствующие группы. Аффинные преобразования плоскости, как взаимно-однозначные преобразования, переводящие прямую в прямую. Изометрические преобразования, теорема о структуре изометрического преобразования.
2. Вещественные и комплексные проективные пространства, однородные координаты. Проективные преобразования. Метрическая, аффинная и проективная классификация квадрик (вещественный и комплексный случай).
3. Вещественная проективная прямая, двойное отношение четырех точек. Проективные преобразования и проектирования.
4. Комплексная проективная прямая. Свойства дробно-линейных отображений. Комплексный язык в геометрии.
5. Поляритет на проективной плоскости. Проективная двойственность, двойственная квадрика.
6. Классические проективные теоремы на вещественной проективной плоскости (теоремы Паппа, Паскаля, Брианшона).
7. Кубические кривые, приводимость, особые точки. Пересечение кубики и прямой. Кубики на проективной плоскости. Комплексные проективные кубики. Гессиан, точки перегиба.
8. Приведение неособой кубики к нормальной форме Вейерштрасса.
9. Сложение на кониках, вещественный и комплексный случай.
10. Групповой закон на кубике.
11. Некоторые вопросы перечислительной геометрии: сколько существует квадрик, проходящих через заданные точки и касающиеся заданных прямых?
12. Кватернионы, параметризация Кэли-Клейна и углы Эйлера.
13. Сферическая геометрия: группа движений, прямые, окружности, сферическая тригонометрия.
14. Стереографическая проекция, конформность. Сферическая геометрия на плоскости. Группа движений.
15. Геометрия на псевдосфере мнимого радиуса. Группа движений.
16. Стереографическая проекция псевдосферы. Модели Пуанкаре геометрии Лобачевского в единичном круге и в верхней полуплоскости. Группы движений.
17. Метрические соотношения в геометрии Лобачевского: теоремы синусов и косинусов, формулы для длины окружности и площади круга. Неизометричность евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского.
18. Модель Клейна геометрии Лобачевского. Связь с моделью Пуанкаре.
19. Три типа собственных движений геометрии Лобачевского.
20. Замощение треугольниками сферы и плоскости Лобачевского. Модулярная группа, ее фундаментальная область.
21. Теорема Пуанкаре о фундаментальном многоугольнике на плоскости Лобачевского.
22. Пространство Лобачевского.
23. Выпуклые множества в аффинном пространстве, выпуклые многогранники.
24. Теорема Минковского Вейля о выпуклых многогранниках.
25. Плюккеровы координаты подпространства, грассманиан. Вложение грассманиана в проективное пространство. Соотношения Плюккера.
26. Пфаффиан и его свойства.
27. Нормальная форма Фробениуса линейного оператора.

(В.М.Мануйлов, Е.В.Троицкий, понедельник, 16:45-18:20, дистанционно, информация по ссылке).

Годовой спецкурс по выбору кафедры. Первая лекция в осеннем семестре 20 сентября. Рассчитан на студентов 4-5 курсов.

Предварительная программа
1. Будет изложена общая теория C*-алгебр (включая теорию коммутативных С*-алгебр, теорию представлений, коммутативную и некоммутативную теорему Вейля).
2. Будет рассказано о свойствах основных классов C*-алгебр (алгебры мультипликаторов, ядерные и точные C*-алгебры) и описаны основные примеры C*-алгебр (алгебра компактных операторов, алгебра Калкина, алгебры Кунца, алгебры иррационального вращения, групповые C*-алгебры, скрещенные произведения).
3. Будут изложены основные функторы и инварианты, используемые в классификации C*-алгебр (K-теория, Ext, KK, ранг).
4. Будут описаны приложения, в том числе, к дифференциальной топологии.

(Л.А.Алания, суббота 15:00-16:35, ауд. 454 2 ГУМ).

Годовой спецкурс по выбору кафедры. Первая лекция в осеннем семестре 19 февраля в дистанционном формате. Рассчитан на студентов 3-6 курсов и аспирантов.

Предварительная программа.

(И.А.Дынников, понедельник, 18:30-20:05).

Полугодовой спецкурс по выбору кафедры. Первая лекция в весеннем семестре 14 сентября в дистанционном формате. Рассчитан на студентов 3-6 курсов и аспирантов.

Предварительная программа.

В курсе подробно рассматриваются конструкции дифференциальной геометрии, связанные с векторными расслоениями: расслоения со структурной группой и операции над ними, связности, форма кривизны, характеристические классы, функционалы на пространствах связностей и порождаемые ими уравнения.

Программа курса рассчитана на два семестра. В этом семестре будет прочитана половина курса (до формы кривизны включительно).

Курс предполагает знакомство слушателей со следующими дисциплинами:
1. Линейная алгебра в объеме, включающем теорию операторов в евклидовых и унитарных пространствах и алгебраическую теорию тензоров.
2. Анализ в объеме, включающем многомерную теорему о неявной функции и ее производных, теорему о разбиении единицы, теорию дифференциальных форм и общею формулу Стокса.
3. Обыкновенные дифференциальные уравнения в объеме, включающем теорему о гладкой зависимости решения ОДУ от начальных условий и параметров, и теорию линейных ОДУ с переменными коэффициентами.
4. Элементы дифференциальной геометрии, а именно, понятия многообразия, касательного вектора, тензорного поля, римановой метрики.

Для понимания некоторых рассматриваемых в курсе примеров будет полезно знать также элементы теории функций комплексного переменного, а именно, понятия условий Коши-Римана и голоморфной функции, и гомотопической топологии.

(С.М.Гусейн-Заде, четверг, 16:45-18:20)

Годовой спецкурс по выбору кафедры. Первая лекция в весеннем семестре 24 февраля. Рассчитан на студентов 3-6 курсов и аспирантов.

Предварительная программа осеннего семестра
Целью является описание связи глобальной и локальной топологии комплексных алгебраических многообразий с многогранниками и диаграммами Ньютона задающих их систем уравнений. Будет обсуждаться количество решений системы уравнений в терминах многогранника Ньтона, эйлерова характеристика гиперповерхности или полного пересечений в тех же терминах. Основой для получения соответствующих результатов будут торические компактификации. Также будут обсуждаться локальные варианты таких задач с использованием торических разрешений.