(С.В.Смирнов, понедельник, 16:45-18:20, ауд. 14-03 ГЗ)

Годовой спецкурс для студентов второго курса. Первая лекция в ссеннем семестре 13 сентября.

Предварительная программа
1. Вещественные и комплексные аффинные преобразования, соответствующие группы. Аффинные преобразования плоскости, как взаимно-однозначные преобразования, переводящие прямую в прямую. Изометрические преобразования, теорема о структуре изометрического преобразования.
2. Вещественные и комплексные проективные пространства, однородные координаты. Проективные преобразования. Метрическая, аффинная и проективная классификация квадрик (вещественный и комплексный случай).
3. Вещественная проективная прямая, двойное отношение четырех точек. Проективные преобразования и проектирования.
4. Комплексная проективная прямая. Свойства дробно-линейных отображений. Комплексный язык в геометрии.
5. Поляритет на проективной плоскости. Проективная двойственность, двойственная квадрика.
6. Классические проективные теоремы на вещественной проективной плоскости (теоремы Паппа, Паскаля, Брианшона).
7. Кубические кривые, приводимость, особые точки. Пересечение кубики и прямой. Кубики на проективной плоскости. Комплексные проективные кубики. Гессиан, точки перегиба.
8. Приведение неособой кубики к нормальной форме Вейерштрасса.
9. Сложение на кониках, вещественный и комплексный случай.
10. Групповой закон на кубике.
11. Некоторые вопросы перечислительной геометрии: сколько существует квадрик, проходящих через заданные точки и касающиеся заданных прямых?
12. Кватернионы, параметризация Кэли-Клейна и углы Эйлера.
13. Сферическая геометрия: группа движений, прямые, окружности, сферическая тригонометрия.
14. Стереографическая проекция, конформность. Сферическая геометрия на плоскости. Группа движений.
15. Геометрия на псевдосфере мнимого радиуса. Группа движений.
16. Стереографическая проекция псевдосферы. Модели Пуанкаре геометрии Лобачевского в единичном круге и в верхней полуплоскости. Группы движений.
17. Метрические соотношения в геометрии Лобачевского: теоремы синусов и косинусов, формулы для длины окружности и площади круга. Неизометричность евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского.
18. Модель Клейна геометрии Лобачевского. Связь с моделью Пуанкаре.
19. Три типа собственных движений геометрии Лобачевского.
20. Замощение треугольниками сферы и плоскости Лобачевского. Модулярная группа, ее фундаментальная область.
21. Теорема Пуанкаре о фундаментальном многоугольнике на плоскости Лобачевского.
22. Пространство Лобачевского.
23. Выпуклые множества в аффинном пространстве, выпуклые многогранники.
24. Теорема Минковского Вейля о выпуклых многогранниках.
25. Плюккеровы координаты подпространства, грассманиан. Вложение грассманиана в проективное пространство. Соотношения Плюккера.
26. Пфаффиан и его свойства.
27. Нормальная форма Фробениуса линейного оператора.

(В.М.Мануйлов, Е.В.Троицкий, понедельник, 16:45-18:20, дистанционно, информация по ссылке).

Годовой спецкурс по выбору кафедры. Первая лекция в осеннем семестре 20 сентября. Рассчитан на студентов 4-5 курсов.

Предварительная программа
1. Будет изложена общая теория C*-алгебр (включая теорию коммутативных С*-алгебр, теорию представлений, коммутативную и некоммутативную теорему Вейля).
2. Будет рассказано о свойствах основных классов C*-алгебр (алгебры мультипликаторов, ядерные и точные C*-алгебры) и описаны основные примеры C*-алгебр (алгебра компактных операторов, алгебра Калкина, алгебры Кунца, алгебры иррационального вращения, групповые C*-алгебры, скрещенные произведения).
3. Будут изложены основные функторы и инварианты, используемые в классификации C*-алгебр (K-теория, Ext, KK, ранг).
4. Будут описаны приложения, в том числе, к дифференциальной топологии.

(П.Г.Гриневич, понедельник, 18:30-20:05, ауд. 14-03).

Полуодовой спецкурс по выбору кафедры. Первая лекция в осеннем семестре 4 октября. Рассчитан на студентов 3-6 курсов и аспирантов.

Предварительная программа
1. Риамановы поверхности. Определение, примеры. Риманова поверхность корней алгебраического уранения с параметром.
2. Компактные римановы поверхности, род. Мероморфные функции и дифференциалы на римановых поверхностях.
3. Нелинейное уравнение Шредингера как модель распространения волн в нелинейной среде (без вывода). Дефокусирующая и фокусирующая версия.
4. Представление нулевой кривизны для Нелинейного уравнения Шредингера. Появление римановой поверхности в периодической задаче. Конечнозонные решения.
5. Преобразование Абеля на гиперэллипической кривой. Линеаризация Нелинейного уравнения Шредингера пробразованием Абеля.
6. Выделение вещественных решений в дефокусирующем и фокусирующем случае. Дифференциал Чередника.
7. Если успею. Матрица Римана, решения в тета-функциях. Асимптотические форму для поверхностей, близких к вырожденным.

(Л.А.Алания, четверг 16:45-18:20, ауд. 454 2 ГУМ).

Годовой спецкурс по выбору кафедры. Первая лекция в осеннем семестре 16 сентября. Рассчитан на студентов 3-6 курсов и аспирантов.

Предварительная программа.

(А.В.Пенской, вторник, 17:30-19:00).

Полугодовой спецкурс по выбору кафедры. Первая лекция в осеннем семестре 7 сентября. Рассчитан на студентов 3-6 курсов и аспирантов.

Предварительная программа.
1. Оператор Лапласа в евклидовом пространстве, задачи Дирихле, Неймана и Стеклова, физический смысл.
2. Метод разделения переменных, спектр простейших областей.
3. Вариационное описание собственных чисел оператора Лапласа и простые следствия из него.
4. Элементарные неравенства для собственных чисел, вилка Дирихле-Неймана.
5. Теорема Вейля и ее доказательство для областей в евклидовом пространстве. Гипотеза Вейля.
6. Доказательство Филонова неравенства Фридландера. Другие неравенства.
7. Теорема Берса. Нодальные области, нодальный граф, теорема Куранта о нодальных областях. Нодальная геометрия. Теоремы Плейеля и Брюнинга. Нодальная топология.
8. Сферическое перекладывание и доказательство неравенства Фабера-Крана.
9. Оператор Лапласа-Бельтрами на римановом многообразии. Связь собственных функций с минимальными поверхностями (теорема Такахаси).
10. Геометрическая оптимизация собственных чисел на поверхностях. Экстремальные метрики. Связь экстремальных метрик с минимальными поверхностями (теорема Надирашвили - Эль-Суфи - Илиаса).
11. Теорема Херша. Максимизация собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на конкретных поверхностях.
12. Экстремальные метрики в конформном классе, связь с гармоническими отображениями.
13. Задача Стеклова на поверхностях, связь с минимальными поверхностями в шаре.
14. Магнитный лапласиан.

(Д.В.Талалаев, четверг, 16:45-18:20).

Полугодовой спецкурс по выбору кафедры. Первая лекция в осеннем семестре 23 сентября. Рассчитан на студентов 3-6 курсов и аспирантов.

Предварительная программа.
1. Краткое введение в теорию классических интегрируемых систем
2. Деформационное квантование и некоммутативная геометрия
3. Классические алгебраические структуры теории интегрируемых систем
3.1. Пуассоновы алгебры
3.2. Ли-биалгебры
3.3. Кограничные Ли-биалгебры
3.4. Группы Ли-Пуассона
4. Квантовые алгебраические структуры
4.1. Биалгебры
4.2. Алгебры Хопфа
4.3. Кограничные биалгебры и уравнение Янга-Бакстера
5. Квантовый метод обратной задачи
5.1. Алгебры Решетихина-Тахтаджяна
5.2. Матрицы Манина и полуквантовые алгебры
5.3. Коммутативные семейства
5.4. Тождество Гамильтона-Кэли
5.5. Тождество Капелли
6. Приложения в статистической механике
6.1. Точно-решаемые модели статистической механики и интегрируемые модели КМОЗ
6.2. Многомерные аналоги уравнения Янга-Бакстера и алгебраическая теория электрических сетей

(С.М.Гусейн-Заде, четверг, 16:45-18:20)

Годовой спецкурс по выбору кафедры. Первая лекция в осеннем семестре 23 сентября. Рассчитан на студентов 3-6 курсов и аспирантов.

Предварительная программа осеннего семестра
1. Морсовские функции на гладких многообразиях и представление многообразий в виде CW-комплексов. Неравенства Морса.
2. Простейшие свойства комплексных многообразий.
3. Функция расстояния на комплексных аффинных многообразиях и их топология.
4. Комплексные проективные многообразия и их гиперплоские сечения.
5. Локальное многообразие уровня функции около критической точки. Локальное многообразие уровня функции около невырожденной критической точки.
6. Гомотопический тип локального многообразия уровня функции около изолированной критической точки (теорема Милнора).
7. Вычисление топологических инвариантов изолированной критической точки функции.
8. Проективные комплексные гиперповерхности и их группы гомологий.
9. Гомотопический тип полного пересечения около изолированной критической точки определяющей его системы уравнений.
10. Проективные полные пересечения и их группы гомологий.