(В.М.Бухштабер, Т.Е.Панов, Н.Э.Добринская, среда, 16:20-17:55, ауд. 13-03)

Целью данного спецкурса является введение в теорию расслоений, начиная с самых основ алгебраической топологии (гомотопии, фундаментальная группа, накрытия). К концу курса будут рассмотрены самые современные вопросы этой теории, касающиеся классифицирующих пространств групп, связи с конфигурационными пространствами и др.

Изложение будет доступно начимнающим. Приглашаются студенты младших курсов.

(А.С.Мищенко, Е.В.Троицкий, среда, 16:20-17:55, ауд. 20-17)

Примерная программа курса:

1. Теория гомотопий.

Гомотопные отображения, гомотопические классы отображений, гомотопическая эквивалентность. Гомотопические группы топологических пространств. Коммутативность гомотопических групп для больших размерностей. Точная гомотопическая последовательность пары. Фундаментальная группа топологического пространства. Представление фундаментальной группы для полиэдров. Вычисление фундаментальной группы двумерных поверхностей. Слабая гомотопическая эквивалентность.

2. Теория гомологий.

Группы сингулярных гомологий и когомологий. Симплициальные и клеточные разбиения пространств. Симплициальные и клеточные гомологии и когомологии пространств, их связь с сингулярными. Гомотопическая инвариантность групп гомологий. Эйлерова характеристика. Умножение в когомологиях. Точная гомологическая и когомологическая последовательности пары. Гомоморфизм Гуревича. Связь фундаментальной группы и группы одномерных гомологий. Теорема Гуревича. Гомологии и когомологии с коэффициентами. Двойственность Пуанкаре для многообразий.

Теории гомологий и когомологий. Теорема единственности для гомологий и когомологий. Пространства Эйленберга-Маклейна. Группы когомологий как группы классов отображений в пространства Эйленберга-Маклейна.

3. Теория расслоенных пространств.

Накрытия. Лемма о накрывающей гомотопии. Регулярные накрытия. Универсальное накрытие. Накрытие и фундаментальная группа.

Аксиома о накрывающей гомотопии и расслоение в смысле Серра. Пространство путей и петель, лемма о накрывающей гомотопии для расслоения путей. Локально тривиальные расслоения. Сечения. Точная гомотопическая последовательность расслоения.

Векторные расслоения. Прямая сумма и тензорное произведение векторных расслоений.

Многообразие Грассмана как база универсального векторного расслоения. Пространства Тома и изоморфизм Тома в гомологиях и когомологиях. Характеристические классы векторных расслоений. Понятие группы K(X).

4. Вычислительные методы.

Основные понятия теории препятствий (препятствующий коцикл и первое препятствие к сечению расслоения). Спектральная последовательность в (ко)гомологиях расслоения.

Когомологические операции. Оператор Бокштейна. Квадраты Стинрода. Алгебра Стинрода.

Приглашаются студенты 3-4 курсов.

(Е.Г.Скляренко, среда, 16:20-17:55, ауд. 20-17)

Программа курса:

Когомологии де Рама с локально постоянными коэффициентами, теоерма де Рама (для неориентируемых многообразий), интегрирование, формула Стокса, дивергенция в полях поливекторов, гомологии, дуальные когомологиям де Рама, двойственность Пуанкаре, степень отображения, абсолютная степень Хопфа.

Приглашаются студенты 3-5 курсов.

(А.В.Чернавский, понедельник, 18:05-19:40, ауд. 16-24)

Программа первого семестра:

Теорема Жордана, степень отображения, теорема Борсука об антиподах, вложения сфер в многомерные пространства, группа гомеоморфизмов многообразий.

Программа второго семестра:

Фундаментальная группа. Теория и вычисление. Теория степени отображения. Введение в теорию гомологий. Двойственность Пуанкаре. Введение в теорию узлов. Группа гомеоморфизмов многообразия.

Приглашаются студенты 1-2 курсов.