Комбинаторика и алгебраическая топология многообразий
(В.М.Бухштабер, Т.Е.Панов, Г.И.Шарыгин, Н.Э.Добринская)
Спецкурс посвящен основным идеям и методам современной алгебраической и
дифференциальной топологии и их взаимосвязям с комбинаторикой и
алгебраической геометрией.
Примерный план курса.
1. Выпуклые многогранники.
2. Симплициальные комплексы и гомологии, гомологии многообразий,
Hauptvermutung (основная гипотеза комбинаторной
топологии).
3. Коммутативная и гомологическая алгебра симплициальных комплексов.
4. Торические многообразия и их топологические аналоги.
5. Кобордизмы и K-теория.
6. Пространства петель и теория гомотопий.
7. Топология дополнений конфигураций подпространств.
Геометрия взаимодействий
(Н.П.Коноплева)
Спецкурс расчитан на студентов и аспиратнов, интересующихся применением
математических идей в физике. В данном семестре излагается геометрическая
теория фундаментальных физических взаимодействий как теория калибровочных
полей в термнах геометрии расслоенных пространств. Рассматривается также теория
гравитации с высшими производными и свойства частицеподобных решений
уравнений калибровочных полей. Данная часть спецкурса может слушаться
независимо от предыдущей его части.
Гомологии гладких многообразий
(Е.Г.Скляренко)
Ориентирующеей линейное расслоение над многообразием. Дифференциальные
формы с локально постоянными коэффициентами. Интегрирование форм, плотностей,
функций. Общая формула Стокса (в том числе на неориентируемых многообразиях).
Когомологии де Рама с локально постоянными коэффициентами. Когомологическая
форма двойственности Пуанкаре (в том числе неориентируемый случай).
Фундаментальный класс когомологий многообразия. Степень собственного
отображения. Собственные отображения без степени. Дивергенция от поливекторов
как граничный оператор. Гомологии, дуальные когомологиям де Рама.
Фундаментальный класс гомологий. Двойственность Пуанкаре. Топологические
версии теоремы Коши о вычетах, принципа аргумента, теоремы Руше.
Дифференциальная форма телесного угла и интегральные представления
вещественных и комплексных функций.
Теоремы Брауэра
(А.В.Чернавский)
Теоремы Брауэра (инвариантность области, размерность эвклидова пространства,
неподвижная точка, неретрагируемость шара на край, теорема Жордана-Брауэра,
степень отображения и др.) составляют базис топологии. Будут даны новые
доказательства, в рамках теории ретрактов. Будут также приведены
основные приложения к анализу.
|