(В.М.Бухштабер, А.А.Гайфуллин, Т.Е.Панов, среда, 16:45-18:20, ауд. 16-03)

Спецкурс по выбору кафедры

Торическая топология - новая область исследований на стыке эквивариантной топологии, комбинаторики многогранников, алгебраической, комплексной и симплектической геометрий, активно развивающаяся последние 15 лет. Основной объект изучения - действия компактного тора с богатой комбинаторной структурой на пространствах орбит. Такие действия естественно возникают в различных разделах математики.

В первом вводном семестре мы изложим методы и результаты комбинаторной коммутативной алгебры и их приложения в торической топологии. Будут введены понятия кольца граней симплициального комплекса (кольца Стенли-Райснера), колец и комплексов Коэна-Маколея и Горенштейна, описаны комбинаторные инварианты многогранников и триангуляций, построение которых опирается на конструкции гомологической алгебры.

Затем мы перейдем к рассмотрению фундаментальных классов пространств с действием тора (момент-угол-комплексов, торических и квазиторических многообразий и др.), описанию их топологии и геометрических структур на них.

Спецкурс рассчитан на студентов 2-5 курсов и аспирантов.

Приглашаются все желающие.

(А.С.Мищенко, Е.В.Троицкий, среда, 16:45-18:20, ауд. 13-03)

Спецкурс по выбору кафедры

Программа курса:

1. Теория гомотопий.

Гомотопные отображения, гомотопические класы отображений, гомотопическая эквивалентность. Гомотопические группы топологических пространств. Коммутативность гомотопических групп для больших размерностей. Точная гомотопическая последовательность пары. Фундаментальная группа топологического пространства. Пердставление фундаментальной группы для полиэдров. Вычисление фундаментальной группы двумерных поверхностей. Группа кос как фундаментальная группа конфигурационного пространства системы точек. Вычисление k-мерных гомотопических групп $n$-мерной сферы для k<=n. Слабая гомотопическая эквивалентность. H-пространства и группа гомотопических классов отображений в H-пространство. Коммутативность фундаментальной группы H--пространств.

2. Теория гомологий.

Группы сингулярных гомологий и когомологий. Симплициальные и клеточные разбиения пространств. Симплициальные и клеточные гомологии и когомологии, из связь с сингулярными. Гомотопическая инвариантность групп гомологий. Эйлерова характеристика. Умножение в когомологиях. Точные гомологическая и когомологическая последовательности пары. Надстройки и теорема Фрейденталя. Гомоморфизм Гуревича. Связь фундаментальной группы и группы одномерных гомологий. Теорема Гуревича. Гомологии и когомологии с коэффициентами. Формула универсальных уоэффициентов. Двойственность Пуанкаре для многообразий.

Теории гомологий и когомологий. Теорема единственности для гомологий и когомологий. Обобщенные теории гомологий и когомологий. Пространства Эйленберга-Маклейна. Группы когомологий как группы классов отображений в пространства Эйленберга-Маклейна.

Кольцо когомологий H--пространства как алгебра Хопфа. Классификация градуированных алгебр Хопфа над полем рациональных чисел. Гомологии и кольца когомологий проективных пространств. Клетки Шуберта и гомологии многообразий Грассмана.

3. Теория расслоенных пространств.

Накрытия. Лемма о накрывающей гомотопии. Регулярные накрытия. Универсальное накрытие. Накрытие и фундаментальная группа.

Аксиома о накрывающей гомотопии и расслоение в смысле Серра. Пространство путей и петель, лемма о накрывающей гомотопии для расслоения путей. Локально тривиальные расслоения. Сечения. Точная гомотопическая последовательность расслоения.

Векторные расслоения. Прямая сумма и тензорное произведение векторных расслоений. Многообразие Грассмана как база универсального векторного расслоения. Пространства Тома и изоморфизм Тома в гомологиях и когомологиях. Характеристические классы векторных расслоений. Понятие группы K(X).

4. Вычислительные методы.

Основные понятия теории препятствий (препятствующий коцикл и первое препятствие к сечению расслоения). Спектральная последовательность в (ко)гомологиях расслоения. Формула Кюннета.

Когомологические операции. Оператор Бокштейна. Квадраты Стинрода. Алгебра Стинрода. Спектральная последовательность Адамса.

5. Обобщенные теории (ко)гомологий.

Бордизмы и кобордизмы. Операции Новикова-Ландвебера. Спектральная последовательность Адамса-Новикова. Формальные группы в кобордизмах и K--теории.

Приглашаются студенты 3,4 курсов.

(В.М.Мануйлов, Е.В.Троицкий, пятница, 15:00-16:35, ауд. 12-26б)

1. Будет изложена общая теория C*-алгебр (включая теорию коммутативных С*-алгебр, теорию представлений, коммутативную и некоммутативную теорему Вейля).

2. Будет рассказано о свойствах основных классов C*-алгебр (алгебры мультипликаторов, ядерные и точные С*-алгебры) и  описаны основные примеры С*-алгебр (алгебра компактных операторов, алгебра Калкина, алгебры Кунца, алгебры иррационального вращения, групповые С*-алгебры, скрещенные произведения).

3. Будут изложены основные функторы и инварианты, используемые для классификации C*-алгебр (K-теория, EXT, KK, ранг).

4. Будут описаны приложения, в том числе к дифференциальной топологии.

(О.И.Мохов, четверг, 16:45-18:20, ауд.

В рамках спецкурса планируется ввести основные понятия и дифференциально-геометрические структуры теории интегрируемых систем гидродинамического типа.

Дифференциально-геометрический подход к системам гидродинамического типа. Аффинор системы гидродинамического типа. Диагонализуемые системы гидродинамического типа. Инварианты Римана. Тензоры Нейенхейса и Хантьеса. Тензорный критерий диагонализуемости аффинора. Разделение переменных и тензор Нейенхейса. Гамильтоновы системы гидродинамического типа. Гамильтонов подход Дубровина--Новикова. Скобки Дубровина--Новикова и риманова геометрия. Плоские метрики. Критерий гамильтоновости аффинора. Нелокальные гамильтоновы операторы, порождаемые метриками постоянной римановой кривизны. Нелокальные гамильтоновы операторы, порождаемые подмногообразиями с плоской нормальной связностью. Диагональные гамильтоновы системы гидродинамического типа. Условия гамильтоновости диагонального аффинора. Полугамильтоновы диагональные системы. Диагональные метрики, коэффициенты Ламе и коэффициенты вращения метрики. Полугамильтоновы диагональные метрики и уравнения Дарбу. Плоские диагональные метрики и криволинейные ортогональные системы координат в плоском пространстве. Уравнения Ламе. Интегрируемость уравнений Дарбу и уравнений Ламе. Метод обратной задачи рассеяния (метод одевания) и метод редукций Захарова для уравнений Ламе. Егоровские метрики. Интегрируемость уравнений для криволинейных ортогональных систем координат в пространстве постоянной римановой кривизны. Законы сохранения и симметрии систем гидродинамического типа. Теорема Царева об интегрируемости диагонализуемых гамильтоновых и полугамильтоновых систем (обобщенный метод годографа). Фробениусовы алгебры. Фробениусовы многообразия. Реализация фробениусовых многообразий как подмногообразий в псевдоевклидовых пространствах. Согласованные и почти согласованные псевдоримановы метрики и тензор Нейенхейса. Согласованные скобки Дубровина--Новикова, плоские пучки согласованных метрик и интегрируемые редукции уравнений Ламе. Бигамильтоновы системы гидродинамического типа и интегрируемые иерархии. Уравнения ассоциативности и недиагонализуемые интегрируемые системы гидродинамического типа. Однородные скобки Дубровина--Новикова третьего порядка и гамильтоновы структуры уравнений ассоциативности.

(А.А.Гайфуллин, понедельник, 18:00-19:35, Математический институт им. В.А.Стеклова РАН, ауд. 430)

Первая лекция состоится 13 февраля

Широко используются два основных способа задания топологических пространств, в частности, многообразий. Первый - задание с помощью уравнений. Второй, который можно назвать синтетическим, - склеивание по определённым правилам из каких-либо простейших "кусочков", строение которых нам известно. Традиционно в качестве таких "кусочков" берутся симплексы или кубы, что приводит нас к изучению триангуляций и кубических разбиений многообразий. Однако, как правило, триангуляции и кубические разбиения даже достаточно простых многообразий имеют весьма сложное комбинаторное строение. В частности, до сих пор неизвестно достаточно хороших триангуляций комплексных проективных пространств CP(n) при n>2. Возникает естественное желание упростить правила склейки "кусочков", возможно, за счёт некоторого усложнения самих этих "кусочков", что приводит к рассмотрению многообразий, склеенных из произвольных выпуклых многогранников, но с достаточно простыми правилами склейки. Эта идея оказалась очень продуктивной и привела, начиная с 1980-х годов, к построению большого количества важных примеров многообразий, обладающих многими интересными свойствами. Отметим связь таких многообразий с теорией кривизны в смысле А.Д.Александрова. Введённый А.Д.Александровым и развитый М.Громовым и другими математиками подход к понятию кривизны можно назвать глобальным, так как он оперирует непосредственно с функцией расстояния, а не с инфинитезимальным метрическим тензором. Такой подход оказался очень эффективным для пространств, имеющих "синтетическое" происхождение.

Спецкурс будет преследовать две основных цели. С одной стороны, будут рассмотрены различные конструкции склеивания многообразий из многогранников и показано, что полученные многообразия обладают многими интересными свойствами и полезны во многих актуальных задачах. С другой стороны, будет дано введение в теорию ограниченной сверху кривизны в смысле А.Д.Александрова (так называемые CAT(k)-пространства). Эти две темы очень хорошо дополняют друг друга, так как, во-первых, многие свойства пространств, склеенных из многогранников, устанавливаются именно с помощью кривизны в смысле А.Д.Александрова, а во-вторых, многие свойства CAT(k)-пространств лучше всего видны именно на примере многообразий, склеенных из многогранников. Тематика спецкурса почти не требует предварительных знаний (за исключением понятия фундаментальной группы и некоторых фактов о накрытиях), но в то же время позволяет достаточно быстро добраться до весьма глубоких результатов, таких как теорема М.Дэвиса о существовании замкнутого многообразия, универсальная накрывающая которого стягиваема, но не гомеоморфна евклидову пространству, теорема К.Томеи о строении изоспектрального многообразия симметрических трёхдиагональных матриц и результаты лектора о реализации циклов любого пространства образами фундаментальных классов накрытий над многообразиями Томеи. Довольно большое внимание планируется уделить многочисленным связям рассматриваемых конструкций с другими областями математики, в частности, с теорией групп Кокстера, торической топологией, геометрией и комбинаторикой выпуклых многогранников.

Спецкурс может быть зачтён на механико-математическом факультете МГУ. Планируется, что спецкурс будет доступен студентам начиная со 2 курса.

Лекции будут проходить в Математическом институте им. В.А.Стеклова по адресу ул. Губкина, д. 8 (между станциями метро "Академическая" и "Университет").