(А.С.Мищенко, Е.В.Троицкий, понедельник, 18:05-19:40, ауд. 16-01)

Спецкурс по выбору кафедры

Программа курса:

1. Теория гомотопий.

Гомотопные отображения, гомотопические класы отображений, гомотопическая эквивалентность. Гомотопические группы топологических пространств. Коммутативность гомотопических групп для больших размерностей. Точная гомотопическая последовательность пары. Фундаментальная группа топологического пространства. Пердставление фундаментальной группы для полиэдров. Вычисление фундаментальной группы двумерных поверхностей. Группа кос как фундаментальная группа конфигурационного пространства системы точек. Вычисление k-мерных гомотопических групп $n$-мерной сферы для k<=n. Слабая гомотопическая эквивалентность. H-пространства и группа гомотопических классов отображений в H-пространство. Коммутативность фундаментальной группы H--пространств.

2. Теория гомологий.

Группы сингулярных гомологий и когомологий. Симплициальные и клеточные разбиения пространств. Симплициальные и клеточные гомологии и когомологии, из связь с сингулярными. Гомотопическая инвариантность групп гомологий. Эйлерова характеристика. Умножение в когомологиях. Точные гомологическая и когомологическая последовательности пары. Надстройки и теорема Фрейденталя. Гомоморфизм Гуревича. Связь фундаментальной группы и группы одномерных гомологий. Теорема Гуревича. Гомологии и когомологии с коэффициентами. Формула универсальных уоэффициентов. Двойственность Пуанкаре для многообразий.

Теории гомологий и когомологий. Теорема единственности для гомологий и когомологий. Обобщенные теории гомологий и когомологий. Пространства Эйленберга-Маклейна. Группы когомологий как группы классов отображений в пространства Эйленберга-Маклейна.

Кольцо когомологий H--пространства как алгебра Хопфа. Классификация градуированных алгебр Хопфа над полем рациональных чисел. Гомологии и кольца когомологий проективных пространств. Клетки Шуберта и гомологии многообразий Грассмана.

3. Теория расслоенных пространств.

Накрытия. Лемма о накрывающей гомотопии. Регулярные накрытия. Универсальное накрытие. Накрытие и фундаментальная группа.

Аксиома о накрывающей гомотопии и расслоение в смысле Серра. Пространство путей и петель, лемма о накрывающей гомотопии для расслоения путей. Локально тривиальные расслоения. Сечения. Точная гомотопическая последовательность расслоения.

Векторные расслоения. Прямая сумма и тензорное произведение векторных расслоений. Многообразие Грассмана как база универсального векторного расслоения. Пространства Тома и изоморфизм Тома в гомологиях и когомологиях. Характеристические классы векторных расслоений. Понятие группы K(X).

4. Вычислительные методы.

Основные понятия теории препятствий (препятствующий коцикл и первое препятствие к сечению расслоения). Спектральная последовательность в (ко)гомологиях расслоения. Формула Кюннета.

Когомологические операции. Оператор Бокштейна. Квадраты Стинрода. Алгебра Стинрода. Спектральная последовательность Адамса.

5. Обобщенные теории (ко)гомологий.

Бордизмы и кобордизмы. Операции Новикова-Ландвебера. Спектральная последовательность Адамса-Новикова. Формальные группы в кобордизмах и K--теории.

Приглашаются студенты 3,4 курсов.

(Е.Г.Скляренко, среда, 16:20-17:55, ауд. 20-17)

Программа курса:

Классические понятия и задачи. Распространение и накрытие отображений и гомотопий. Стягивание и ретрагирование, гомотопическая классификация. Окрестностные ретракты и экстензоры. Фундаментальная группа и накрывающие пространства, связь с задачами теории групп. Расслоенные пространства, векторные расслоения. Гомотопические группы. Гомологии и когомологии.

Приглашаются студенты 1-3 курсов.

(А.В.Чернавский, четверг, 16:20-17:55, ауд. 13-02)

Программа курса:

Гомоморфизмы и топологические вложения. Теория ручек в топологическом, кусочно-линейном и гладком случаях. Теория погружений.

Приглашаются студенты 2-3 курсов.

(П.Г.Гриневич, четверг, 18:05-19:40, ауд. 16-24)

Данный курс ориентирован на студентов 3-5 курса и представляет собою попытку изложения основ теории римановых поверхностей ближе к подходу конца 19 века -- начала 20 века. Этот подход оказывается полезен при эффективизаци тэта-функциональных формул, и, в частности, при построении теории сигма-функций многих переменных.

Примерная программа курса.

Многочлены. Основная теорема алгебры. Системы алгебраических уравнений. Результант. Теорема Гильберта о нулях. Базисы Гребнера.

Римановы поверхности. Определение, топологическое описание. Род римановой поверхности. Алгебраические поверхности. Формула Римана-Гурвица. Пространство Тейхмюллера и пространство модулей (без доказательства). (n,s)- кривые.

Базис циклов на римановой поверхности. Билинейные соотношения Римана. Накрытия римановых поверхностей.

Мероморфные функции на римановых поверхностях. Голоморфные и мероморфные дифференциалы на римановых поверхностях. Особые точки. Разрешение особенностей. Теорема Римана-Роха.

Эллиптические кривые. Эллиптические функции Вейерштасса и Якоби. Тэта-функции и сигма-функция одной переменной.

Дивизоры. Отображение Абеля. Задача об обращении отображения Абеля. Якобиан кривой. Тэта-функции Римана сигма-функция многих переменных.

Примиан кривой с голоморфной инволюцией. Тэта-функции Прима.