(В.М.Бухштабер, Т.Е.Панов, А.А.Гайфуллин, среда, 16:20-17:55, ауд. 15-04)

Понятие кобордантности многообразий --- одно из фундаментальных и наиболее естественных понятий алгебраической топологии. Теория (ко)бордизмов --- теория (ко)гомологий, в которой роль циклов и коциклов играют замкнутые многообразия. В настоящее время она является одним изнаиболее мощных инструментов решения задач алгебраической топологии и ее приложений. Это обеспечивается во многом ее геометричностью, благодаря которой удается использовать глубокие результаты дифференциальной топологии, алгебраической геометрии, теории особенностей и теории представлений. В центре внимания данного спецкурса будут именно геометрические аспекты теории кобордизмов.

Будет дано построение

- теории кобордизмов как экстраординарной теории когомологий;

- характеристических классов векторных расслоений со значениями в кобордизмах;

- формальной группы геометрических кобордизмов;

- когомологических операций Ландвебера-Новикова и операций Стинрода-Дика;

В результате будет дана классификация стабильно комплексных многообразий с точностью до кобордантности, опирающаяся только на геометрическую природу этого понятия. Существенная часть спецкурса будет посвящена прриложениям теории кобордизмов в классических и современных задачах о действиях групп на многообразиях.

Курс ориентирован на слушателей, научные интересы которых лежат в области алгебраической топологии, алгебраической геометрии и теории особенностей.

(А.С.Мищенко, Е.В.Троицкий, понедельник, 18:05-19:40, ауд. 16-01)

Спецкурс по выбору кафедры

Программа курса:

1. Теория гомотопий.

Гомотопные отображения, гомотопические класы отображений, гомотопическая эквивалентность. Гомотопические группы топологических пространств. Коммутативность гомотопических групп для больших размерностей. Точная гомотопическая последовательность пары. Фундаментальная группа топологического пространства. Пердставление фундаментальной группы для полиэдров. Вычисление фундаментальной группы двумерных поверхностей. Группа кос как фундаментальная группа конфигурационного пространства системы точек. Вычисление k-мерных гомотопических групп $n$-мерной сферы для k<=n. Слабая гомотопическая эквивалентность. H-пространства и группа гомотопических классов отображений в H-пространство. Коммутативность фундаментальной группы H--пространств.

2. Теория гомологий.

Группы сингулярных гомологий и когомологий. Симплициальные и клеточные разбиения пространств. Симплициальные и клеточные гомологии и когомологии, из связь с сингулярными. Гомотопическая инвариантность групп гомологий. Эйлерова характеристика. Умножение в когомологиях. Точные гомологическая и когомологическая последовательности пары. Надстройки и теорема Фрейденталя. Гомоморфизм Гуревича. Связь фундаментальной группы и группы одномерных гомологий. Теорема Гуревича. Гомологии и когомологии с коэффициентами. Формула универсальных уоэффициентов. Двойственность Пуанкаре для многообразий.

Теории гомологий и когомологий. Теорема единственности для гомологий и когомологий. Обобщенные теории гомологий и когомологий. Пространства Эйленберга-Маклейна. Группы когомологий как группы классов отображений в пространства Эйленберга-Маклейна.

Кольцо когомологий H--пространства как алгебра Хопфа. Классификация градуированных алгебр Хопфа над полем рациональных чисел. Гомологии и кольца когомологий проективных пространств. Клетки Шуберта и гомологии многообразий Грассмана.

3. Теория расслоенных пространств.

Накрытия. Лемма о накрывающей гомотопии. Регулярные накрытия. Универсальное накрытие. Накрытие и фундаментальная группа.

Аксиома о накрывающей гомотопии и расслоение в смысле Серра. Пространство путей и петель, лемма о накрывающей гомотопии для расслоения путей. Локально тривиальные расслоения. Сечения. Точная гомотопическая последовательность расслоения.

Векторные расслоения. Прямая сумма и тензорное произведение векторных расслоений. Многообразие Грассмана как база универсального векторного расслоения. Пространства Тома и изоморфизм Тома в гомологиях и когомологиях. Характеристические классы векторных расслоений. Понятие группы K(X).

4. Вычислительные методы.

Основные понятия теории препятствий (препятствующий коцикл и первое препятствие к сечению расслоения). Спектральная последовательность в (ко)гомологиях расслоения. Формула Кюннета.

Когомологические операции. Оператор Бокштейна. Квадраты Стинрода. Алгебра Стинрода. Спектральная последовательность Адамса.

5. Обобщенные теории (ко)гомологий.

Бордизмы и кобордизмы. Операции Новикова-Ландвебера. Спектральная последовательность Адамса-Новикова. Формальные группы в кобордизмах и K--теории.

Приглашаются студенты 3,4 курсов.

(Е.Г.Скляренко, среда, 16:20-17:55, ауд. 20-17)

Классические гомологии и когомологии, в том числе с непостоянными коэффициентами, в том числе по бесконечным циклам и конечным коциклам. Точные последовательности пар, троек, триад. Сингулярная теория, теории Чеха и Александера-Спаньера. Вопросы аксиоматики. Типичные применения (инвариантность размерности, области, неподвижные точки, индексы, степень отображения (в том числе для неориентируемых многообразий)). Двойственность Пуанкаре, точки совпадения для отображений многообразий (в том числе без ограничений ориентируемости). Универсальные коэффициенты, формулы Кюннета.