(В.М.Бухштабер, А.А.Гайфуллин, Т.Е.Панов, среда, 16:45-18:20, ауд. 15-04)

Спецкурс возобновляется в весеннем семестре 17 февраля.

Спецкурс по выбору кафедры

Комбинаторная топология - важнейший раздел топологии, изучающий топологические пространства методами разбиений их на части, имеющие простое комбинаторное строение. В классической комбинаторной топологии рассматриваются разбиения на симплексы или кубы. В последнее время появились глубокие результаты, использующие разбиения на так называемые простые многогранники. Исследование взаимосвязи между комбинаторной топологией многообразий и теорией гладких многообразий было одним из главных направлений развития топологии во второй половине XX века.

Каждому триангулируемому многообразию можно сопоставить пространство его триангуляций. Интерес к изучению таких пространств стимулирован тем, что они естественно возникают в ряде современных задач, в том числе в задачах, пришедших из теоретической и статистической физики. Пространство триангуляций многообразия трудно обозримо, но на нём имеются естественные метрики, определяемые элементарными преобразованиями триангуляций - звёздными и бизвёздными преобразованиями. В спецкурсе будет рассказано о замечательных свойствах этих преобразований. Мы обсудим как классические результаты, начиная с теорем Александера (30-е годы XX века), так и самые современные.

Другой подход к изучению пространства триангуляций использует естественные функции на нём. Ключевыми функциями на пространстве триангуляций являются функции f_i, сопоставляющие триангуляции число её i-мерных симплексов. Нахождение триангуляций, на которых достигаются минимумы этих функций, является одной изцентральных задач развиваемой теории. Уже в случае двумерных многообразий условие минимальности триангуляций формулируется в терминах важных алгебро-топологических инвариантов многообразия. Теория минимальных триангуляций привлекательна богатыми связями с различными разделами математики, такими как алгебраическая топология, комбинаторная геометрия, теория кристаллографических групп.

В спецкурсе планируется обсудить задачу вычисления алгебро-топологических инвариантов многообразия, в том числе его характеристических классов, непосредственно по его триангуляции. Особое внимание будет уделено результатам, основанным на связи комбинаторной топологии с торической топологией - новой, активно развивающейся областью математики, на стыке алгебраической топологии, алгебраической и симплектической геометрии и комбинаторики.

Темы первого семестра:

1. Основные понятия комбинаторной топологии: симплициальные и кубические комплексы, комбинаторные сферы и многообразия.

2. Преобразования триангуляций: звёздные подразделения и бизвёздные преобразования. Теоремы Александера и Пахнера.

3. Минимальные триангуляции многообразий.

4. Комбинаторные характеристические классы.

5. Триангуляции и кубильяжи трёхмерных многообразий. Теорема Купер-Тёрстона.

6. Приложения торической топологии к комбинаторной топологии. Теория момент-угол комплексов.

Спецкурс рассчитан на студентов 2-5 курсов.

Приглашаются все желающие.

(А.С.Мищенко, Е.В.Троицкий, среда, 16:45-18:20, ауд. 13-03)

Спецкурс по выбору кафедры

Программа курса:

1. Теория гомотопий.

Гомотопные отображения, гомотопические класы отображений, гомотопическая эквивалентность. Гомотопические группы топологических пространств. Коммутативность гомотопических групп для больших размерностей. Точная гомотопическая последовательность пары. Фундаментальная группа топологического пространства. Пердставление фундаментальной группы для полиэдров. Вычисление фундаментальной группы двумерных поверхностей. Группа кос как фундаментальная группа конфигурационного пространства системы точек. Вычисление k-мерных гомотопических групп $n$-мерной сферы для k<=n. Слабая гомотопическая эквивалентность. H-пространства и группа гомотопических классов отображений в H-пространство. Коммутативность фундаментальной группы H--пространств.

2. Теория гомологий.

Группы сингулярных гомологий и когомологий. Симплициальные и клеточные разбиения пространств. Симплициальные и клеточные гомологии и когомологии, из связь с сингулярными. Гомотопическая инвариантность групп гомологий. Эйлерова характеристика. Умножение в когомологиях. Точные гомологическая и когомологическая последовательности пары. Надстройки и теорема Фрейденталя. Гомоморфизм Гуревича. Связь фундаментальной группы и группы одномерных гомологий. Теорема Гуревича. Гомологии и когомологии с коэффициентами. Формула универсальных уоэффициентов. Двойственность Пуанкаре для многообразий.

Теории гомологий и когомологий. Теорема единственности для гомологий и когомологий. Обобщенные теории гомологий и когомологий. Пространства Эйленберга-Маклейна. Группы когомологий как группы классов отображений в пространства Эйленберга-Маклейна.

Кольцо когомологий H--пространства как алгебра Хопфа. Классификация градуированных алгебр Хопфа над полем рациональных чисел. Гомологии и кольца когомологий проективных пространств. Клетки Шуберта и гомологии многообразий Грассмана.

3. Теория расслоенных пространств.

Накрытия. Лемма о накрывающей гомотопии. Регулярные накрытия. Универсальное накрытие. Накрытие и фундаментальная группа.

Аксиома о накрывающей гомотопии и расслоение в смысле Серра. Пространство путей и петель, лемма о накрывающей гомотопии для расслоения путей. Локально тривиальные расслоения. Сечения. Точная гомотопическая последовательность расслоения.

Векторные расслоения. Прямая сумма и тензорное произведение векторных расслоений. Многообразие Грассмана как база универсального векторного расслоения. Пространства Тома и изоморфизм Тома в гомологиях и когомологиях. Характеристические классы векторных расслоений. Понятие группы K(X).

4. Вычислительные методы.

Основные понятия теории препятствий (препятствующий коцикл и первое препятствие к сечению расслоения). Спектральная последовательность в (ко)гомологиях расслоения. Формула Кюннета.

Когомологические операции. Оператор Бокштейна. Квадраты Стинрода. Алгебра Стинрода. Спектральная последовательность Адамса.

5. Обобщенные теории (ко)гомологий.

Бордизмы и кобордизмы. Операции Новикова-Ландвебера. Спектральная последовательность Адамса-Новикова. Формальные группы в кобордизмах и K--теории.

Приглашаются студенты 3,4 курсов.

(В.М.Мануйлов, Е.В.Троицкий, пятница, 15:00-16:35, ауд. 12-26б)

1. Будет изложена общая теория C*-алгебр (включая теорию коммутативных С*-алгебр, теорию представлений, коммутативную и некоммутативную теорему Вейля).

2. Будет рассказано о свойствах основных классов C*-алгебр (алгебры мультипликаторов, ядерные и точные С*-алгебры) и  описаны основные примеры С*-алгебр (алгебра компактных операторов, алгебра Калкина, алгебры Кунца, алгебры иррационального вращения, групповые С*-алгебры, скрещенные произведения).

3. Будут изложены основные функторы и инварианты, используемые для классификации C*-алгебр (K-теория, EXT, KK, ранг).

4. Будут описаны приложения, в том числе к дифференциальной топологии.