(В.М.Бухштабер, А.А.Гайфуллин, Т.Е.Панов, среда, 16:45-18:20, ауд. 16-03)

Спецкурс по выбору кафедры

Спецкурс посвящён изучению торических многообразий с различных точек зрения: алгебраической, топологической и комбинаторной. Вначале мы рассмотрим классическую конструкцию торических многообразий через вееры. Специальный случай этой конструкции устанавливает соответствие между выпуклыми многогранниками и проективными торическими многообразиями. Одним из важных приложений торических многообразий в комбинаторной геометрии является доказательство известной гипотезы Макмюллена о числах граней симплициальных выпуклых многогранников. Эта гипотеза была доказана Стенли в 1980 году на основе одной из фундаментальных теорем алгебраической геометрии~--- сильной теоремы Лефшеца. В спецкурсе будет дано доказательство теоремы Лефшеца и, как следствие, доказательство гипотезы Макмюллена.

Далее будет рассмотрена конструкция торических многообразий и их обобщений как пространств орбит действия торов на полных пересечениях вещественных квадратичных гиперповерхностей. Будут изложены основанные на этой конструкции приложения теории торических многообразий к классическим и современным задачам теорий комплексных и симплектических многообразий.

Спецкурс рассчитан на студентов 2-5 курсов и аспирантов.

Первая лекция состоится 19 сентября.

(А.С.Мищенко, Е.В.Троицкий, среда, 16:45-18:20, ауд. 13-03)

Спецкурс по выбору кафедры

Программа курса:

1. Теория гомотопий.

Гомотопные отображения, гомотопические класы отображений, гомотопическая эквивалентность. Гомотопические группы топологических пространств. Коммутативность гомотопических групп для больших размерностей. Точная гомотопическая последовательность пары. Фундаментальная группа топологического пространства. Пердставление фундаментальной группы для полиэдров. Вычисление фундаментальной группы двумерных поверхностей. Группа кос как фундаментальная группа конфигурационного пространства системы точек. Вычисление k-мерных гомотопических групп $n$-мерной сферы для k<=n. Слабая гомотопическая эквивалентность. H-пространства и группа гомотопических классов отображений в H-пространство. Коммутативность фундаментальной группы H--пространств.

2. Теория гомологий.

Группы сингулярных гомологий и когомологий. Симплициальные и клеточные разбиения пространств. Симплициальные и клеточные гомологии и когомологии, из связь с сингулярными. Гомотопическая инвариантность групп гомологий. Эйлерова характеристика. Умножение в когомологиях. Точные гомологическая и когомологическая последовательности пары. Надстройки и теорема Фрейденталя. Гомоморфизм Гуревича. Связь фундаментальной группы и группы одномерных гомологий. Теорема Гуревича. Гомологии и когомологии с коэффициентами. Формула универсальных уоэффициентов. Двойственность Пуанкаре для многообразий.

Теории гомологий и когомологий. Теорема единственности для гомологий и когомологий. Обобщенные теории гомологий и когомологий. Пространства Эйленберга-Маклейна. Группы когомологий как группы классов отображений в пространства Эйленберга-Маклейна.

Кольцо когомологий H--пространства как алгебра Хопфа. Классификация градуированных алгебр Хопфа над полем рациональных чисел. Гомологии и кольца когомологий проективных пространств. Клетки Шуберта и гомологии многообразий Грассмана.

3. Теория расслоенных пространств.

Накрытия. Лемма о накрывающей гомотопии. Регулярные накрытия. Универсальное накрытие. Накрытие и фундаментальная группа.

Аксиома о накрывающей гомотопии и расслоение в смысле Серра. Пространство путей и петель, лемма о накрывающей гомотопии для расслоения путей. Локально тривиальные расслоения. Сечения. Точная гомотопическая последовательность расслоения.

Векторные расслоения. Прямая сумма и тензорное произведение векторных расслоений. Многообразие Грассмана как база универсального векторного расслоения. Пространства Тома и изоморфизм Тома в гомологиях и когомологиях. Характеристические классы векторных расслоений. Понятие группы K(X).

4. Вычислительные методы.

Основные понятия теории препятствий (препятствующий коцикл и первое препятствие к сечению расслоения). Спектральная последовательность в (ко)гомологиях расслоения. Формула Кюннета.

Когомологические операции. Оператор Бокштейна. Квадраты Стинрода. Алгебра Стинрода. Спектральная последовательность Адамса.

5. Обобщенные теории (ко)гомологий.

Бордизмы и кобордизмы. Операции Новикова-Ландвебера. Спектральная последовательность Адамса-Новикова. Формальные группы в кобордизмах и K--теории.

Приглашаются студенты 3,4 курсов.

(В.М.Мануйлов, Е.В.Троицкий, пятница, 15:00-16:35, ауд. 12-26б)

1. Будет изложена общая теория C*-алгебр (включая теорию коммутативных С*-алгебр, теорию представлений, коммутативную и некоммутативную теорему Вейля).

2. Будет рассказано о свойствах основных классов C*-алгебр (алгебры мультипликаторов, ядерные и точные С*-алгебры) и  описаны основные примеры С*-алгебр (алгебра компактных операторов, алгебра Калкина, алгебры Кунца, алгебры иррационального вращения, групповые С*-алгебры, скрещенные произведения).

3. Будут изложены основные функторы и инварианты, используемые для классификации C*-алгебр (K-теория, EXT, KK, ранг).

4. Будут описаны приложения, в том числе к дифференциальной топологии.

(О.И.Мохов, С.В.Смирнов, понедельник, 16:45-18:20, ауд. 425)

Цель данного спецкурса --- дать элементарное введение в теорию интегрируемых систем --- науку, находящуюся на стыке различных математических дисциплин и активно развивавшуюся в последней трети двадцатого века.

Примерный план курса.

Лагранжев формализм: элементы вариационного исчисления, уравнения Эйлера--Лагран\-жа, лагранжев подход в ньютоновой механике, вариационная природа геодезических, теорема Нетер, обобщенная вариационая задача с высшими производными.

Гамильтонов формализм: уравнения Гамильтона, гамильтоновость лагранжевых систем, скобка Пуассона и первые интегралы.

Интегрируемость по Лиувиллю: Теорема Лиувилля, переменные ``действие-угол''.

Классические примеры: задача Кеплера, волчок Эйлера, волчок Лагранжа, геодезические на трехосном эллипсоиде.

Представление Лакса: нахождение первых интегралов, спектральный параметр.

Цепочка Тоды: представление Лакса, интегрируемость по Лиувиллю, метод обратной задачи, связь с QR-алгоритмом.

Одевающая цепочка Веселова--Шабата: преобразования Дарбу, представление Лакса, интегрируемость по Лиувиллю, связь с уравнениями Пенлеве.

Бигамильтоновы системы: схема Ленарда--Магри.

Пуассоновы многообразия: связь с симплектической структурой, теорема Дарбу, симплектические листы, функции Казимира.

Интегрируемые дискретные уравнения на квад-графах: трехмерная совместность, представление нулевой кривизны, формулировка классификационной теоремы Адлера--Бобенко--Суриса, постановка задачи Коши.

Двумеризованная цепочка Тоды: преобразования Дарбу--Лапласа, инварианты Лапласа, уравнение Лиувилля, x-интегралы и y-интегралы, представление Лакса, интегрируемость по Дарбу.

Второй семестр будет посвящен двумерным интегрируемым системам типа уравнения Кортевега--де Фриза. Планируется обсудить следующие сюжеты: представление Лакса для уравнения КдФ, иерархия КдФ, теория рассеяния для одномерного оператора Шредингера с быстро убывающим потенциалом и интегрирование КдФ, многосолитонные решения КдФ, преобразования Бэклунда, преобразование Миуры, скобка Гарднера--Захарова--Фаддеева, бигамильтоновость; асимптотические линиии на поверхностях постоянной отрицательной кривизны и уравнение sin-Гордон.

Спецкурс рассчитан на студентов 3-го курса. Никаких дополнительных знаний, кроме материала обязательных курсов первых двух лет мехматской программы не потребуется. Первая лекция состоится 17 сентября.

(Б.А.Дубровин, А.Е.Миронов, четверг, 16:45-18:20, ауд. 434)

Программа

1. Римановы поверхности. Примеры.

2. Абелевы дифференциалы. Периоды абелевых дифференциалов. Многообразие Якоби римановой поверхности.

3. Теорема Абеля.

4. Тэта-функции.

5. Задача обращения Якоби.

6. Теорема Римана--Роха.

7. Приложения. Конечнозонные решения уравнения Кортевега--де Фриза и уравнения Кадомцева--Петвиашвили.

Первая лекция состоится 27 сентября.