(В.М. Бухштабер, Т.Е. Панов, Н.Ю. Ероховец, среда, 16:45-18:20, ауд. 16-16)

28 апреля и 5 мая спецкурс ТОЛЬКО ОНЛАЙН по ссылке

Годовой спецкурс по выбору кафедры. (Можно сдавать как два полугодовых спецкурса.) Первая лекция в весеннем семестре 17 февраля. Рассчитан на студентов 2-6 курсов и аспирантов.

В алгебраической топологии и её приложениях фундаментальную роль играют так называемые "теоремы двойственности". В рамках спецкурса планируется рассказать, в том числе, о двойственности между гомологиями и когомологиями ориентируемого многообразия, компактов и их дополнений в сферах, между гладким многообразием и пространством Тома его нормального расслоения в сфере. Доказательство этих теорем использует глубокие связи алгебраической топологии с алгебраической геометрией, комбинаторно геометрией, теорией действия групп на многообразиях.

Предварительная программа.
1. Комбинаторная двойственность Пуанкаре.
2. Симплициальная двойственность Александера.
3. Двойстенность Пуанкаре для топологических многообразий.
4. Двойственность Александера.
5. Двойственность Лефшеца.
6. Двойственность Атьи.
7. Двойственность Спеньера-Уайтхеда.
8. Двойственность Экмана-Хилтона.
9. Эквивариантные когомологии и эквивариантные двойственности.

Конспект лекций и задачи.

Архив видеозаписей лекций: ссылка и ссылка.

(О.И.Мохов, С.В.Смирнов, понедельник, 16:45-18:20, дистанционно)

Годовой спецкурс по выбору кафедры. (Можно сдавать как два полугодовых спецкурса.) Первая лекция в весеннем семестре 1 марта. Рассчитан на студентов 3-6 курсов и аспирантов.

Предварительная программа.
1. Лагранжев формализм: элементы вариационного исчисления, уравнения Эйлера--Лагранжа, лагранжев подход в ньютоновой механике, вариационная природа геодезических, теорема Нетер, обобщенная вариационая задача с высшими производными.
2.Гамильтонов формализм: уравнения Гамильтона, гамильтоновость лагранжевых систем, скобка Пуассона и первые интегралы.
3. Симплектические и пуассоновы многообразия, теорема Дарбу. Гамильтоновые векторные поля. Симплектические листы, функции Казимира. 4. Интегрируемость по Лиувиллю: Теорема Лиувилля, переменные ``действие-угол''.
5. Классические примеры: задача Кеплера, волчок Эйлера, волчок Лагранжа, геодезические на трехосном эллипсоиде.
6. Представление Лакса: нахождение первых интегралов, спектральный параметр.
7. Цепочка Тоды: представление Лакса, интегрируемость по Лиувиллю, метод обратной задачи, связь с QR-алгоритмом.
8. Одевающая цепочка Веселова--Шабата: преобразования Дарбу, представление Лакса, интегрируемость по Лиувиллю, связь с уравнениями Пенлеве.
9. Бигамильтоновы системы: схема Ленарда--Магри.
10. Интегрируемые дискретные уравнения на квад-графах: трехмерная совместность, представление нулевой кривизны, формулировка классификационной теоремы Адлера-Бобенко-Суриса, постановка задачи Коши.
11. Изоспектральные деформации оператора Шредингера и уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ). Односолитонное решение КдФ.
12. Подход Гельфанда-Дикого: псевдодифференциальные операторы и извлечение квадратного корня из оператора Шредингера. Иерархия КдФ.
13. Элементы теории рассеяния для оператора Шредингера с быстро убывающим потенциалом.
14. Безотражательные потенциалы и многосолитонные решения КдФ. Взаимодействие решений. Асимптотика решений КдФ.
15. Модифицированное уравнение КдФ, преобразование Миуры. Преобразование Бэклунда для КдФ. Метод Хироты.
16. Скобка Гарднера-Захарова-Фаддеева. Гамильтонова структура КдФ, бигамильтоновость.
17. Полиномиальные интегралы движения, полная интегрируемость КдФ.
18. Асимптотические линии на поверхностях постоянной отрицательной кривизны и уравнение sin-Гордон.
19. Элементы дифференциальной геометрии систем гидродинамического типа.

(В.М.Мануйлов, Е.В.Троицкий, понедельник, 16:45-18:20, дистанционно, информация по ссылке).

Годовой спецкурс по выбору кафедры. Первая лекция в весеннем семестре 22 февраля. Рассчитан на студентов 4-5 курсов.

Предварительная программа.
1. С*-алгебры. Основные свойства.
2. Спектральная теорема.
3. Аппроксимативные единицы, идеалы.
4. Положительность. Состояния. Представления. Теорема Гельфанда-Наймарка.
5. Тензорные произведения.
6. Алгебра мультипликаторов.
7. Проекторы. Эквивалентности проекторов.
8. Определение группы К_0.
9. Точная последовательность.
10. Гомотопическая инвариантность К_0.
11. Стабильность К_0.
12. Группа К_1. Надстройка. Связь с К_0.
13. Граничный гомоморфизм.
14. Длинная точная последовательность в К-теории.
15. Гомоморфизм Ботта. Периодичность Ботта.
16. К-теория алгебр мультипликаторов.
17. Вычисление К-групп для основных примеров.
18. Векторные расслоения и топологическая К-теория.
19. Индекс и его свойства.
20. Гильбертовы модули.
21. Операторы. Операторы, допускающие сопряженный. Компактные операторы.
22. Дополняемость и полярное разложение.
23. Конечно- и счетно-порожденные гильбертовы модули.
24. Теорема Кюйпера в гильбертовых модулях.
25. Теорема Аткинсона с коэффициентами в С*-алгебре, обобщенный индекс.

(И.А.Дынников, дистанционно, Zoom meeting id: 937 7379 0733, ссылка).

Годовой спецкурс по выбору кафедры. Первая лекция в осеннем семестре - 26 сентября. Рассчитан на студентов 3-6 курсов и аспирантов.

Предварительная программа.

Осенний семестр
1. Категории, функторы.
2. Гомотопия, относительная гомотопия. Гомотопическая эквивалентность.
3. Фундаментальная групп.
4. Ретракты. Пара Борсука.
5. Операции над топологическими пространствами. Конструкция джойна и надстройки.
6. Симплициальные комплексы.
7. Подкомплексы. Симплициальные пары.
8. Подразделение. Комбинаторная эквивалентность.
9. Кусочно-линейные отображения.
10. Симплициальная аппроксимация отображений.
11. Цепные комплексы и отображения. Цепная гомотопия.
12. Симплициальные гомологии и когомологии.
13. Гомотопическая инвариантность (ко)гомологий.
14. Эйлерова характеристика.
15. Сингулярные гомологии и когомологии.
16. Точные последовательности пары и тройки.
17. Точная последовательность Майера-Вьеториса.
18. Изоморфизм гомологий при отображении вырезания.
19. Группы гомологий сфер.
20. Неподвижные точки отображений. Теорема Брауэра. Число Лефшеца.
21. Аксиомы Эйленберга-Стинрода.
22. Фундаментальный класс многообразия.
23. Гомологии и когомологии с произвольными коэффициентами. Функторы Tor и Ext.
24. Формулы универсальных коэффициентов.
25. Формула Кюннета
26. Аппроксимация диагонального отображения. Умножение в когомологиях.
27. Кольцо когомологий поверхностей.

Весенний семестр
1. Накрытия. Свойство поднятия гомотопии.
2. Высшие гомотопические группы. Умножение Уайтхеда.
3. Инвариант Хопфа.
4. Клеточные пространства.
5. Гомологии и когомологии клеточных пространств.
6. Гомоморфизм Гуревича.
7. Препятствия к поднятию отображений.
8. Пространства Эйленберга-Маклейна.
9. Гомоморфизм надстройки. Стабильные гомотопические группы.
10. Индекс пересечения. Двойственность Пуанкаре.
11. Локально тривиальные расслоения.
12. Расслоения в смысле Серра.
13. Длинная точная последовательность гомотопических групп.
14. Точные последовательности Гизина и Вана.
15. Спектральные последовательности расслоения.
16. Вычисление кольца когомологий классических групп Ли.

(С.М.Гусейн-Заде, четверг, 16:45-18:20, дистанционно, Zoom meeting id: 308 669 8731, pswd: 625989)

Полугодовой спецкурс по выбору кафедры. Первая лекция в весеннем семестре 4 марта. Рассчитан на студентов 3-6 курсов и аспирантов.

Предварительная программа.
1. Морсовские функции на гладких многообразиях и представление многообразий в виде CW-комплексов. Неравенства Морса.
2. Простейшие свойства комплексных многообразий.
3. Функция расстояния на комплексных аффинных многообразиях и их топология.
4. Комплексные проективные многообразия и их гиперплоские сечения.
5. Локальное многообразие уровня функции около критической точки. Локальное многообразие уровня функции около невырожденной критической точки.
6. Гомотопический тип локального многообразия уровня функции около изолированной критической точки (теорема Милнора).
7. Вычисление топологических инвариантов изолированной критической точки функции.
8. Проективные комплексные гиперповерхности и их группы гомологий.
9. Гомотопический тип полного пересечения около изолированной критической точки определяющей его системы уравнений.
10. Проективные полные пересечения и их группы гомологий.