Специальные курсы кафедры высшей геометрии и топологии

2021/2022 учебный год

Осенний семестр

название
статус
курс
год/
полгода

лектор(ы)
время
ауд.
C*-алгебры и K-теория
Лекции проходят в режиме дистанционном режиме. Информация по ссылке.
Первая лекция 20 сентября
по выб. каф.
4-5
год
проф. В.М.Мануйлов,
проф. Е.В.Троицкий
понед.
16:45-18:20
дист.
Алгебраическая топология
Первая лекция 16 сентября
по выб. каф.
3-6, асп.
год
доц. Л.А.Алания
четв.
16:45-18:20
454 2 ГУМ
Топологические инварианты особенностей
Первая лекция 23 сентября
по выб. каф.
3-6, асп.
год
проф. С.М.Гусейн-Заде
четв.
16:45-18:20
14-14
Квантовый метод обратной задачи и некоммутативная геометрия
Лекции проходят в режиме дистанционном режиме. Для получения доступа необходимо связаться с лектором.
Первая лекция 23 сентября
по выб. каф.
3-6, асп.
полгода
д.ф.-м.н. Д.В.Талалаев
четв.
16:45-18:20
дист.
Спектральная геометрия
Лекции проходят в режиме дистанционном режиме. Для получения доступа необходимо связаться с лектором.
Первая лекция 7 сентября
по выб. каф.
3-6, асп.
полгода
д.ф.-м.н. А.В.Пенской
вторник
17:30-19:00
дист.
Кобордизмы и действия тора
Первая лекция 13 сентября
по выб. каф.
3-6, асп.
полгода
проф. Т.Е.Панов
понед.
17:30-19:00
НМУ, ауд. 303
Дополнительные главы геометрии
Первая лекция 13 сентября

2
год
доц. С.В.Смирнов
понед.
16:45-18:20
14-03

Спецкурсы предыдущих лет: 2000/2001 2001/2002 2002/2003 2003/2004,осень 2003/2004,весна 2004/2005 2005/2006 2006/2007 2007/2008, осень 2007/2008, весна 2008/2009 2009/2010, осень 2009/2010, весна 2010/2011, осень 2010/2011, весна 2011/2012, осень 2011/2012, весна 2012/2013 2013/2014, осень 2013/2014, весна 2014/2015, осень 2014/2015, весна 2015/2016, осень 2015/2016, весна 2016/2017, осень 2016/2017, весна 2017/2018, осень 2017/2018, весна 2018/2019, осень 2018/2019, весна 2019/2020, осень 2019/2020, весна 2020/2021, осень 2020/2021, весна


Спецкурс "Дополнительные главы геометрии"

(С.В.Смирнов, понедельник, 16:45-18:20, ауд. 14-03 ГЗ)

Годовой спецкурс для студентов второго курса. Первая лекция в ссеннем семестре 13 сентября.

Предварительная программа
1. Вещественные и комплексные аффинные преобразования, соответствующие группы. Аффинные преобразования плоскости, как взаимно-однозначные преобразования, переводящие прямую в прямую. Изометрические преобразования, теорема о структуре изометрического преобразования.
2. Вещественные и комплексные проективные пространства, однородные координаты. Проективные преобразования. Метрическая, аффинная и проективная классификация квадрик (вещественный и комплексный случай).
3. Вещественная проективная прямая, двойное отношение четырех точек. Проективные преобразования и проектирования.
4. Комплексная проективная прямая. Свойства дробно-линейных отображений. Комплексный язык в геометрии.
5. Поляритет на проективной плоскости. Проективная двойственность, двойственная квадрика.
6. Классические проективные теоремы на вещественной проективной плоскости (теоремы Паппа, Паскаля, Брианшона).
7. Кубические кривые, приводимость, особые точки. Пересечение кубики и прямой. Кубики на проективной плоскости. Комплексные проективные кубики. Гессиан, точки перегиба.
8. Приведение неособой кубики к нормальной форме Вейерштрасса.
9. Сложение на кониках, вещественный и комплексный случай.
10. Групповой закон на кубике.
11. Некоторые вопросы перечислительной геометрии: сколько существует квадрик, проходящих через заданные точки и касающиеся заданных прямых?
12. Кватернионы, параметризация Кэли-Клейна и углы Эйлера.
13. Сферическая геометрия: группа движений, прямые, окружности, сферическая тригонометрия.
14. Стереографическая проекция, конформность. Сферическая геометрия на плоскости. Группа движений.
15. Геометрия на псевдосфере мнимого радиуса. Группа движений.
16. Стереографическая проекция псевдосферы. Модели Пуанкаре геометрии Лобачевского в единичном круге и в верхней полуплоскости. Группы движений.
17. Метрические соотношения в геометрии Лобачевского: теоремы синусов и косинусов, формулы для длины окружности и площади круга. Неизометричность евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского.
18. Модель Клейна геометрии Лобачевского. Связь с моделью Пуанкаре.
19. Три типа собственных движений геометрии Лобачевского.
20. Замощение треугольниками сферы и плоскости Лобачевского. Модулярная группа, ее фундаментальная область.
21. Теорема Пуанкаре о фундаментальном многоугольнике на плоскости Лобачевского.
22. Пространство Лобачевского.
23. Выпуклые множества в аффинном пространстве, выпуклые многогранники.
24. Теорема Минковского Вейля о выпуклых многогранниках.
25. Плюккеровы координаты подпространства, грассманиан. Вложение грассманиана в проективное пространство. Соотношения Плюккера.
26. Пфаффиан и его свойства.
27. Нормальная форма Фробениуса линейного оператора.

Спецкурс "C*-алгебры и К-теория"

(В.М.Мануйлов, Е.В.Троицкий, понедельник, 16:45-18:20, дистанционно, информация по ссылке).

Годовой спецкурс по выбору кафедры. Первая лекция в осеннем семестре 20 сентября. Рассчитан на студентов 4-5 курсов.

Предварительная программа
1. Будет изложена общая теория C*-алгебр (включая теорию коммутативных С*-алгебр, теорию представлений, коммутативную и некоммутативную теорему Вейля).
2. Будет рассказано о свойствах основных классов C*-алгебр (алгебры мультипликаторов, ядерные и точные C*-алгебры) и описаны основные примеры C*-алгебр (алгебра компактных операторов, алгебра Калкина, алгебры Кунца, алгебры иррационального вращения, групповые C*-алгебры, скрещенные произведения).
3. Будут изложены основные функторы и инварианты, используемые в классификации C*-алгебр (K-теория, Ext, KK, ранг).
4. Будут описаны приложения, в том числе, к дифференциальной топологии.

Спецкурс "Алгебраическая топология"

(Л.А.Алания, четверг 16:45-18:20, ауд. 454 2 ГУМ).

Годовой спецкурс по выбору кафедры. Первая лекция в осеннем семестре 16 сентября. Рассчитан на студентов 3-6 курсов и аспирантов.

Предварительная программа.

Спецкурс "Спектральная геометрия"

(А.В.Пенской, вторник, 17:30-19:00).

Полугодовой спецкурс по выбору кафедры. Первая лекция в осеннем семестре 7 сентября. Рассчитан на студентов 3-6 курсов и аспирантов.

Предварительная программа.
1. Оператор Лапласа в евклидовом пространстве, задачи Дирихле, Неймана и Стеклова, физический смысл.
2. Метод разделения переменных, спектр простейших областей.
3. Вариационное описание собственных чисел оператора Лапласа и простые следствия из него.
4. Элементарные неравенства для собственных чисел, вилка Дирихле-Неймана.
5. Теорема Вейля и ее доказательство для областей в евклидовом пространстве. Гипотеза Вейля.
6. Доказательство Филонова неравенства Фридландера. Другие неравенства.
7. Теорема Берса. Нодальные области, нодальный граф, теорема Куранта о нодальных областях. Нодальная геометрия. Теоремы Плейеля и Брюнинга. Нодальная топология.
8. Сферическое перекладывание и доказательство неравенства Фабера-Крана.
9. Оператор Лапласа-Бельтрами на римановом многообразии. Связь собственных функций с минимальными поверхностями (теорема Такахаси).
10. Геометрическая оптимизация собственных чисел на поверхностях. Экстремальные метрики. Связь экстремальных метрик с минимальными поверхностями (теорема Надирашвили - Эль-Суфи - Илиаса).
11. Теорема Херша. Максимизация собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на конкретных поверхностях.
12. Экстремальные метрики в конформном классе, связь с гармоническими отображениями.
13. Задача Стеклова на поверхностях, связь с минимальными поверхностями в шаре.
14. Магнитный лапласиан.

Спецкурс "Квантовый метод обратной задачи и некоммутативная геометрия"

(Д.В.Талалаев, четверг, 16:45-18:20).

Полугодовой спецкурс по выбору кафедры. Первая лекция в осеннем семестре 23 сентября. Рассчитан на студентов 3-6 курсов и аспирантов.

Предварительная программа.
1. Краткое введение в теорию классических интегрируемых систем
2. Деформационное квантование и некоммутативная геометрия
3. Классические алгебраические структуры теории интегрируемых систем
3.1. Пуассоновы алгебры
3.2. Ли-биалгебры
3.3. Кограничные Ли-биалгебры
3.4. Группы Ли-Пуассона
4. Квантовые алгебраические структуры
4.1. Биалгебры
4.2. Алгебры Хопфа
4.3. Кограничные биалгебры и уравнение Янга-Бакстера
5. Квантовый метод обратной задачи
5.1. Алгебры Решетихина-Тахтаджяна
5.2. Матрицы Манина и полуквантовые алгебры
5.3. Коммутативные семейства
5.4. Тождество Гамильтона-Кэли
5.5. Тождество Капелли
6. Приложения в статистической механике
6.1. Точно-решаемые модели статистической механики и интегрируемые модели КМОЗ
6.2. Многомерные аналоги уравнения Янга-Бакстера и алгебраическая теория электрических сетей

Спецкурс "Топологические инварианты особенностей"

(С.М.Гусейн-Заде, четверг, 16:45-18:20)

Годовой спецкурс по выбору кафедры. Первая лекция в осеннем семестре 23 сентября. Рассчитан на студентов 3-6 курсов и аспирантов.

Предварительная программа осеннего семестра
1. Морсовские функции на гладких многообразиях и представление многообразий в виде CW-комплексов. Неравенства Морса.
2. Простейшие свойства комплексных многообразий.
3. Функция расстояния на комплексных аффинных многообразиях и их топология.
4. Комплексные проективные многообразия и их гиперплоские сечения.
5. Локальное многообразие уровня функции около критической точки. Локальное многообразие уровня функции около невырожденной критической точки.
6. Гомотопический тип локального многообразия уровня функции около изолированной критической точки (теорема Милнора).
7. Вычисление топологических инвариантов изолированной критической точки функции.
8. Проективные комплексные гиперповерхности и их группы гомологий.
9. Гомотопический тип полного пересечения около изолированной критической точки определяющей его системы уравнений.
10. Проективные полные пересечения и их группы гомологий.