Основные результаты

• q-цепочки Дарбу.
  Хорошо известно, что дискретный спектр гармонического осциллятора состоит из одной арифметической прогрессии и полностью определяется соответствующим алгебраическим соотношением; его собственные функции выражаются через полиномы Эрмита и потому образуют полное семейство в соответствующем гильбертовом пространстве. На протяжении 90-х годов прошлого века рассматривались различные модели q-осциллятора, т.е. оператора, удовлетворяющего деформированному соотношению Гейзенберга. В частности, Атакишиеву, Франку и Вольфу удалось реализовать q-осциллятор ограниченными разностными операторами на целочисленной решетке на прямой.
  Веселов и Шабат исследовали так называемую одевающую цепочку, т.е. циклически замкнутую последовательность операторов Шредингера, связанных преобразованиями Дарбу (цепочка длины 1 приводит к гармоническому осциллятору). В статьях [1,2] изучен дискретный q-аналог одевающей цепочки Веселова-Шабата (обобщение q-осциллятора). Показано, что соответствующие операторные соотношения можно реализовать ограниченными разностными операторами, собственные функции которых образуют полные семейства в гильбертовом пространстве квадратично-суммируемых функций на целочисленной решетке на прямой, и что эти операторы имеют чисто дискретный спектр, состоящий из нескольких q-арифметических прогрессий.

• Отображение Адлера.
  Неоднозначность разложения преобразования Дарбу в композицию элементарных преобразований приводит к появлению дискретных симметрий у соответствующей системы уравнений на коэффициенты, т.е., в случае операторов Шредингера, у одевающей цепочки Веселова-Шабата; при этом каждая из этих симметрий локальна в следующем смысле: она действует лишь на коэффициеты двух последовательных операторов в цепочке, оставляя коэффициенты остальных неизменными. В.Адлером было замечено, что отображение, задающее эту дискретную симметрию, после некоторой дополнительной перестановки переменных удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера (сейчас это отображение часто называется отображением Адлера). В известной работе Адлера, Бобенко и Суриса были классифицированы все квадрирациональные отображения Янга-Бакстера, и отображение Адлера было одним из этого классификационного списка.
  В препринте [3] выписаны явные формулы для дискретного q-аналога отображения Адлера, т.е. для дискретной симметрии q-цепочки Дарбу. Показано,что это отображение также удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера и соответствует еще одному классу из списка Адлера-Бобенко-Суриса.

• Полудискретные и дискретные цепочки Тоды.
  В конце 70-х годов двадцатого века Богоявленским были рассмотрены обобщенные цепочки Тоды. Эти системы обыкновенных дифференциальных уравнений обобщают простейшую цепочку Тоды, описывающую поведение системы частиц на прямой, в которой взаимодействие между дюбыми двумя соседними частицами экспоненциально. Средствами теории алгебр Ли Богоявленским были построены представления Лакса для обобщенных цепочек Тоды, соответствующих всем сериям классических простых алгебр Ли и исключительным алгебрам Ли. Затем Михайловым, Ольшанецким и Переломовым эти результаты были обобщены на двумерный случай, а именно, ими были рассмотрены двумеризованные цепочки Тоды, соответствующие простым алгебрам Ли, и была доказана их интегрируемость (в простейшем случае такая цепочка сводится к классическому уравнению Лиувилля). В налале 90-х годов Сурис рассмотрел дискретные аналоги одномерных обобщенных цепочек Тоды и построил представления Лакса для них. Однако, ситуация с дискретными и полудискретными аналогами двумеризованных цепочек Тоды несколько сложнее -- аналоги не всех серий очевидны. В работе [4] построен полудискретный аналог двумеризованной цепочки Тоды серии C и методом, предложенным Хабибуллиным, найдено представление Лакса для него.
  Симметрии двумеризованной цепочки Тоды (в отличии от одномерного случая) требуют введения нелокальных переменных. В полудискретом случае ситуация обстоит похожим образом: в работе [4] построены нелокальные переменные для полудискретной бесконечной цепочки Тоды и исследованы граничные условия, совместимые с симметриями второго и третьего порядка. Показано, что они исчерпываются условиями обрыва, приводящими к цепочкам серий A и C (точнее, к их полудискретным аналогам). Здесь картина тоже похожа на непрерывный случай -- аналогичные результаты были получены Хабибуллиным в 1997 году.
  Как известно, двумеризованные цепочки Тоды, соответствующие простым алгебрам Ли, интегрируемы по Дарбу, т.е. они обладают полными наборами "независимых в главном" интегралов вдоль обеих характеристик. В 2011-2012 годах Хабибуллиным (с соавторами) были введены полудискретные и дискретные аналоги систем экспоненциального типа, обобщающих двумеризованные цепочки Тоды. Поскольку данные системы строились, исходя из того, чтобы сохранились такие атрибуты интегрируемости, как интегралы вдоль характеристик и высшие симметрии, было естественно ожидать, что полученные дискретизации будут интегрируемы по Дарбу. В работе [5] доказана интегрируемость по Дарбу для полудискретных и чисто дискретных цепочек, соответствующих матрицам Картана серий A и C. Предложено два различных метода построения интегралов вдоль характеристик. Первый метод основан на использовании нелокальных переменных, в терминах которых выражаются симметрии бесконечной цепочки, а второй -- на построении дифференциального (разностного) оператора, коэффициенты которого являются y-интегралами (n-интегралами) рассматриваемой системы.
  В статье [8] показано, что предложенная Хабибуллиным дискретизация двумеризованных цепочек Тоды сохраняет характеристические интегралы: если некоторая функция является характеристическим y-интегралом экспоненциальной системы, то эта же функция задает характеристический n-интеграл для ее полудискретного аналога (в качестве гипотезы это утверждение было ранее высказано Хабибуллиным). В частности, отсюда следует существование полных наборов характеристических n-интегралов для полудискретных двумеризованных цепочек Тоды, соответствующих всем сериям простых алгебр Ли и исключительным алгебрам Ли. Кроме того, в [8] для этих полудискретных систем доказана конечномерность характеристических алгебр, откуда вытекает существование полных наборов характеристических интегралов по непрерывной переменной. Вместе эти утверждения дают интегрируемость по Дарбу полудискретных двумеризованных цепочек Тоды, соответствующих матрицам Картана всех серий простых алгебр Ли.

• Преобразования Дарбу-Лапласа.
  Преобразования Дарбу являются дискретными симметриями определенного вида для дифференциальных (разностных) уравнений. Они играют важную роль в теории интегрируемых систем. Преобразования Дарбу-Лапласа являются частным случаем преобразований Дарбу для двумерных гиперболических операторов. Преобразования Лапласа, использовавшиеся Дабру, Гурса и многими другими при изучении классической дифференциальной геометрии поверхностей, также являются частным случаем этой конструкции. Как известно, в одномерном случае произвольное преобразование Дарбу для дифференциального (или разностного) оператора раскладывается в произведение элементарных преобразований. В двумерном случае это уже не так. Тем не менее, как было показано Шемяковой, произвольное преобразование Дарбу-Лапласа для двумерного гиперболического оператора эквивалентно (в некотором смысле) произведению элементарных проеобразований. В работе [6] показано, что в полудискретном и в чисто дискретном случаях произвольное преобразование Дарбу-Лапласа для гиперболического оператора также может быть разложено в произведение элементарных на уровне классов эквивалентности.

• Характеристические алгебры и симметрии экспоненциальных систем.
  Харакетристическая алгебра -- некоторая специальная алгебра Ли дифференциальных операторов, отвечающая за интегрируемость системы гиперболических уравнений. Характеристические алгебры широко использовались уфимской школой по теории интегрируемых систем для изучения гиперболических систем как в непрерывном, так и в (полу)-дискретном случае. Известно, что интегрируемые по Дарбу системы имеют конечномерные характеристические алгебры. Кроме того, для известных примеров гиперболических уравнений, не являющихся интегрируемыми по Дарбу, но допускающих бесконечную иерархию высших симметрий (уравнение sin-Гордон, уравнение Цицейки) соответствующие харакетристические алгебры оказываются бесконечномерными, но медленно растущими. В статье [7] показано, что характеристические алгебры экспоненциальных систем, соответствующих аффинным матрицам Картана ранга 2, имеют линейный рост, а для такой системы серии A в явном виде построен переводящий симметрии в симметрии и повышающий градуировку оператор, откуда вытекает наличие бесконечной иерархии высших симметрий у этой системы. Кроме того, в [7] показано, что в дискретном случае понятие характеристической алгебры требует некоторой модификации: ее надо рассматривать не как алгебру Ли, а как алгебру Ли-Райнхарта.

Основные статьи

• [1] С.В.Смирнов, И.А.Дынников. Точно решаемые циклические q-цепочки Дарбу. УМН, 57:6(348) (2002), 183-184. rus eng
• [2] С.В.Смирнов. Циклические q-цепочки Дарбу. Алгебра и анализ, 15:5 (2003), 228-253. rus
• [3] S.V.Smirnov. Adler map for Darboux q-chain. Препринт (2007). eng
• [4] С.В.Смирнов. Полудискретные цепочки Тоды. ТМФ, 172:3 (2012), 387-402. rus eng
• [5] С.В.Смирнов. Интегрируемость по Дарбу дискретных двумеризованных цепочек Тоды. ТМФ, 182:2 (2015), 231-255. rus eng
• [6] С.В.Смирнов. Факторизация преобразований Дарбу-Лапласа для дискретных гиперболических операторов. ТМФ, 199:2 (2019), 175-192. rus eng
• [7] Д.В.Миллионщиков, С.В.Смирнов. Характеристические алгебры и интегрируемые системы экспоненциального типа. Уфимск. матем. журн., 13:2 (2021), 44-73. rus
• [8] S.V.Smirnov. Integral preserving discretization of 2D Toda lattices. J.Phys.A: Math.Theor. 56:26 (2023), 265204. eng

Недавние доклады

• Integral preserving discretization of 2D-Toda lattices. Warsaw, Poland, conference "Symmetries and Integrability of Difference Equations", 21.06.2023
• Что такое интегрируемость? Мини-курс на летней школе для студентов мехмата, Красновидово, 6.08.2022-7.08.2022
• Lie algebras and integrable hyperbolic equations, mini-course at summer school (joint with D.V.Millionshchikov). Northwesern Polytechnical University, Xi'An, China, 27.06.2022-7.09.2022
• Алгебры Ли и интегрируемость гиперболических уравнений. Популярная лекция, мини-школа "Геометрия, топология и математическая физика", ИТФ им. Л.Д.Ландау, Черноголовка, 29.09.2019
• Darboux integrability of discrete Toda lattices. Yaroslavl, Russia, conference "Solitons, Collapces and Turbulence: Achievements, Developments and Perspectives", 05.08.2019
• Darboux integrability of discrete 2D-Toda lattices. University of Lisbon, Portugal, seminar "Geometry and Physics", 19.06.2019
• Полиномиальные алгебры Ли, рост их подалгебр Ли и высшие симметрии уравнений в частных производных (совм. c Д.В.Миллионщиковым). НМУ, семинар "Римановы поверхности, алгебры Ли и математическая физика", 06.04.2018.
• Характеристические алгебры и интегрируемость гиперболических уравнений в непрерывном и дискретном случаях. Кафедральный семинар "Геометрия, Топология и Математическая Физика", 28.03.2018
• Darboux integrable equations: 2D-Toda lattices. Krasnoyarsk, Russia, conference "Several complex variables", 14.09.2017
• Darboux integrability of discrete Toda lattices. НМУ, Москва, конференция "Взрослая математика вокруг детских рисунков", 25.05.2017
• On Darboux integrability of discrete 2D-Toda lattices. St-Adele, Quebec, Canada, conference "Symmetries and Integrability of Difference Equations", 5.07.2016
• On Darboux integrability of discrete 2D-Toda lattices. Ascona, Switzerland, conference "Integrability in Algebra, Geometry and Physics", 14.07.2015
• Darboux transformations in theory of integrable systems. Popular lecture, Nazarbaev University, Astana, 22.05.2015
• On Darboux integrability of discrete 2D-Toda lattices. SkolTech, Moscow, conference "Geometry, Topology and Integrability", 21.10.2014
• Интегрируемость по Дарбу дискретных цепочек Тоды. Кафедральный семинар "Геометрия, Топология и Математическая Физика", 15.10.2014
• Discretization of two-dimensional Toda lattice: symmetries and integrals. Nordfjordeid, Norway, conference "Nonlinear mathematical pysics: 20 years of JNMP", 6.06.2013.
• Semidiscrete Toda Lattices. Universita Roma Tre, Italy, 29.11.2012.
• Semidiscrete Toda Lattices. Zlatibor, Serbia, conference "XVII Geometrical Seminar", 6.09.2012.
• Semidiscrete Toda Lattices. Xikou, Ningbo, conference "Symmetries and Integrability of Difference Equations", 14.06.2012.
• Semidiscrete Toda Lattices. University of Glasgow, Scotland, conference "Matrix Models, Tau-functions and Geometry", 3.03.2012.
• Semidiscrete Toda Lattices. IRMA, Strasbourg, France, conference "Discrétisation en Mathématiques et en Physique", 10.09.2011.