Научная деятельность

Мои научные интересы относятся к теории интегрируемых систем и, в частности, к дискретным интегрируемым системам.

Основные результаты

  • q-цепочки Дарбу.

    Хорошо известно, что дискретный спектр гармонического осциллятора состоит из одной арифметической прогрессии и полностью определяется соответствующим алгебраическим соотношением; его собственные функции выражаются через полиномы Эрмита и потому образуют полное семейство в соответствующем гильбертовом пространстве. На протяжении 90-х годов прошлого века рассматривались различные модели q-осциллятора, т.е. оператора, удовлетворяющего деформированному соотношению Гейзенберга. В частности, Атакишиеву, Франку и Вольфу удалось реализовать q-осциллятор ограниченными разностными операторами на целочисленной решетке на прямой.

    Веселов и Шабат исследовали так называемую одевающую цепочку, т.е. циклически замкнутую последовательность операторов Шредингера, связанных преобразованиями Дарбу (цепочка длины 1 приводит к гармоническому осциллятору). В работах [1,2] изучен дискретный q-аналог одевающей цепочки Веселова-Шабата (обобщение q-осциллятора). Показано, что соответствующие операторные соотношения можно реализовать ограниченными разностными операторами, собственные функции которых образуют полные семейства в гильбертовом пространстве квадратично-суммируемых функций на целочисленной решетке на прямой, и что эти операторы имеют чисто дискретный спектр, состоящий из нескольких q-арифметических прогрессий.

  • Отображение Адлера.

    Неоднозначность разложения преобразования Дарбу в композицию элементарных преобразований приводит к появлению дискретных симметрий у соответствующей системы уравнений на коэффициенты, т.е., в случае операторов Шредингера, у одевающей цепочки Веселова-Шабата; при этом каждая из этих симметрий локальна в следующем смысле: она действует лишь на коэффициеты двух последовательных операторов в цепочке, оставляя коэффициенты остальных неизменными. В.Адлером было замечено, что отображение, задающее эту дискретную симметрию, после некоторой дополнительной перестановки переменных удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера (сейчас это отображение часто называется отображением Адлера). В известной работе Адлера, Бобенко и Суриса были классифицированы все квадрирациональные отображения Янга-Бакстера, и отображение Адлера было одним из этого классификационного списка.

    В работе [3] выписаны явные формулы для дискретного q-аналога отображения Адлера, т.е. для дискретной симметрии q-цепочки Дарбу. Показано,что это отображение также удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера и соответствует еще одному классу из списка Адлера-Бобенко-Суриса.

  • Полудискретные и дискретные цепочки Тоды.

    В конце 70-х годов двадцатого века Богоявленским были рассмотрены обобщенные цепочки Тоды -- системы обыкновенных дифференциальных уравнений, обобщающие простейшую цепочку Тоды, которая описывает систему частиц на прямой, в которой взаимодействие между дюбыми двумя соседними частицами экспоненциально. Средствами теории алгебр Ли Богоявленским были построены представления Лакса для обобщенных цепочек Тоды, соответствующих всем сериям классических простых алгебр Ли и исключительным алгебрам Ли. Затем Михайловым, Ольшанецким и Переломовым эти результаты были обобщены на двумерный случай, а именно, ими были рассмотрены двумеризованные цепочки Тоды, соответствующие простым алгебрам Ли, и была доказана их интегрируемость (в простейшем случае такая цепочка сводится к классическому уравнению Лиувилля). В налале 90-х годов Сурис рассмотрел дискретные аналоги одномерных обобщенных цепочек Тоды и построил представления Лакса для них. Однако, ситуация с дискретными и полудискретными аналогами двумеризованных цепочек Тоды несколько сложнее -- аналоги не всех серий очевидны. В работе [4] построен полудискретный аналог двумеризованной цепочки Тоды серии C и методом, предложенным Хабибуллиным, найдено представление Лакса для него.

    Симметрии двумеризованной цепочки Тоды (в отличии от одномерного случая) требуют введения нелокальных переменных. В полудискретом случае ситуация обстоит похожим образом: в работе [4] построены нелокальные переменные для полудискретной бесконечной цепочки Тоды и исследованы граничные условия, совместимые с симметриями второго и третьего порядка. Показано, что они исчерпываются условиями обрыва, приводящими к цепочкам серий A и C (точнее, к их полудискретным аналогам). Здесь картина тоже похожа на непрерывный случай -- аналогичные результаты были получены Хабибуллиным в 1997 году.

    Как известно, двумеризованные цепочки Тоды, соответствующие простым алгебрам Ли, интегрируемы по Дарбу, т.е. они обладают полными наборами "независимых в главном" интегралов вдоль обеих характеристик. В 2011-2012 годах Хабибуллиным (с соавторами) были введены полудискретные и дискретные аналоги систем экспоненциального типа, обобщающих двумеризованные цепочки Тоды. Поскольку данные системы строились, исходя из того, чтобы сохранились такие атрибуты интегрируемости, как интегралы вдоль характеристик и высшие симметрии, было естественно ожидать, что полученные дискретизации будут интегрируемы по Дарбу. В работе [5] доказана интегрируемость по Дарбу для полудискретных и чисто дискретных цепочек, соответствующих матрицам Картана серий A и C. Предложено два различных метода построения интегралов вдоль характеристик. Первый метод основан на использовании нелокальных переменных, в терминах которых выражаются симметрии бесконечной цепочки, а второй -- на построении дифференциального (разностного) оператора, коэффициенты которого являются y-интегралами (n-интегралами) рассматриваемой системы.

Некоторые статьи

  • [1] Точно решаемые циклические q-цепочки Дарбу (совм. с И.А.Дынниковым). rus eng
  • [2] Циклические q-цепочки Дарбу. rus
  • [3] Adler map for Darboux q-chain. eng
  • [4] Полудискретные цепочки Тоды. rus eng
  • [5] Интегрируемость по Дарбу дискретных двумеризованных цепочек Тоды. rus eng

Недавние доклады

  • On Darboux integrability of discrete 2D-Toda lattices, St-Adele, Quebec, Canada, conference "Symmetries and Integrability of Difference Equations", 5.07.2016
  • On Darboux integrability of discrete 2D-Toda lattices, Ascona, Switzerland, conference "Integrability in Algebra, Geometry and Physics", 14.07.2015
  • Darboux transformations in theory of integrable systems (popular lecture), Astana, Nazarbaev University, 22.05.2015
  • On Darboux integrability of discrete 2D-Toda lattices, Moscow, SkolTech, conference "Geometry, Topology and Integrability", 21.10.2014
  • Интегрируемость по Дарбу дискретных цепочек Тоды, Кафедральный семинар "Геометрия, Топология и Математическая Физика", 15.10.2014
  • Discretization of two-dimensional Toda lattice: symmetries and integrals. Nordfjordeid, Norway, conference "Nonlinear mathematical pysics: 20 years of JNMP", 6.06.2013.
  • Semidiscrete Toda Lattices. Universita Roma Tre, Italy, 29.11.2012.
  • Semidiscrete Toda Lattices. Zlatibor, Serbia, conference "XVII Geometrical Seminar", 6.09.2012.
  • Semidiscrete Toda Lattices. Xikou, Ningbo, conference "Symmetries and Integrability of Difference Equations", 14.06.2012.
  • Semidiscrete Toda Lattices. University of Glasgow, Scotland, conference "Matrix Models, Tau-functions and Geometry", 3.03.2012.
  • Semidiscrete Toda Lattices. IRMA, Strasbourg, France, conference "Discrétisation en Mathématiques et en Physique", 10.09.2011.



???? ??????????