Доктор физико-математических наук. Профессор.

Доктор физико-математических наук (1974). Профессор кафедры высшей геометрии и топологии механико-математического факультета (1979). Ведущий научный сотрудник математического института им. В.A.Стеклова PAH. Член специализированных советов по математике при МГУ и при Казанском Госуниверситете. Член редколлегий 5 журналов. Лауреат премии Московского математического общества (1971). Лауреат Государственной премии Российской Федерации в области науки и техники (1996). Лауреат Ломоносовской премии Московского государствекного университета за педагогическую деятельность (2001). В сентябре 2001 г. состоялась международная конференция «Топология, анализ и смежные вопросы», посвященная 60-летию А.С.Мищенко.  Заслуженный профессор Московского университета с 2006 г. В 2011 г. награжден медалью "Дружба" (Friendship award) правительства Китайской народной республики за выдающися вклад в развитие экономики и социальный прогресс Китая, учрежденной для награждения иностранных ученых .
 

Область научных интересов: геометрия и топология и их приложения. Основное направление его работ связано с изучением и применением алгебраических и функциональных методов в теории гладких многообразий. Им найдены необходимые и достаточные условия отсутствия элементов бесконечной фильтрации в К-теории, доказана гипотеза Атья-Хирцебруха о К-группах классифицирующих пространств групп. Ли, найдены явные формулы для логарифма универсальной формальной группы в терминах бордизмов. Построил алгебраические сигнатурные инварианты не односвязных многообразий и теорию фредгольмовых представлений дискретных групп. Доказал гомотопическую инвариантность высших сигнатур (гипотеза Новикова) для широкого класса фундаментальных групп, включающего дискретные подгруппы некомпактных групп Ли. Дал метод интегрирования гамильтоновых систем по некоммутативной алгебре первых интегралов, в частности, установил полную интегрируемость геодезических потоков на симметрических пространствах, установил связь условий квантования для канонического оператора Маслова с гомологическими инвариантами лагранжевого многообразия, дал решение линейной дифференциальной игры преследования без дискриминации убегающего объекта, дал оценку числа стационарных решений нелинейного стохастического уравнения. Им разработана теория фредгольмовых представлений, контролируемых в бесконечности, получены формулы для аналитического кручения не односвязных многообразий над С^* - алгебрами, построена теория почти алгебраических комплексов Пуанкаре и получена комбинаторная локальная формула Хирцебруха. 

Читает основные курсы лекций по линейной алгебре и геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, "прикладные проблемы геометрии", спецкурсы по алгебраической топологии и векторным расслоениям и К-теории.

Подготовил 19 кандидатов и 4 докторов наук. 

Руководит научными семинарами по геометрии и топологии и математическим проблемам в области экологии. 

Автор более 200 научных работ, в т.ч. 5 монографий и 23 издания учебных пособий. Основные труды: 

• "О пространствах с точечно счетной базой" (ДАН СССР, N5, Т.144, 1962).
• "Бесконечномерные представления дискретных групп и высшие сигнатуры" (Извест. АН СССР, серия мат., Т.38, N1, 1974).
• Метод канонического оператора Маслова. Комплексная теория" (совм. с Б.Ю.Стерниным и В.Е.Шаталовым, 1974).
• "Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора" (совм. с Б.Ю.Стерниным и В.Е.Шаталовым, 1978),
• "Курс дифференциальной геометрии и топологии" (совм. с A.Т.Фоменко, 1980, 1988, 2000).
• "Vector Bundles and Their Applications" (совм. с G.Luke, 1998). 
• " Локальная комбинаторная формула Хирцебруха" (Труды МИАН, Т.224, 1999).