Программа годового специального курса
"Прикладные проблемы геометрии"
лектор А.C. Мищенко
1. Конфигурационное
пространство. Примеры нетривиальных конфигурационных пространств: плоский
маятник пространственный маятник, двузвенный плоский маятник, твердое тело с
закрепленной точкой.
2. Фазовое пространство, примеры.
3. Касательное расслоение.
4. Вариационные задачи, уравнения Эйлера.
5. Определение симплектического пространства M_{2n}.
6. Симплектическая форма на симплектическом пространстве, ее свойства.
7. Функция Гамильтона, система уравнений
Гамильтона.
8. Косой градиент функции, скобка Пуассона
9. Первый интеграл.
10. Векторные
поля и их обобщения - распределения плоскостей.
11. Теорема
Фробениуса. Несколько формулировок.
12. Приведение
симплектической формы к каноническому виду.
Теорема Дарбу.
13.
Коммутирующие векторные поля и группы диффеморфизмов.
14.
Конечномерные алгебры Ли векторных полей и группы диффеоморфизмов
15. Теорема
Неттер о симметриях и первых интегралах
16. Теорема
Лиувилля о полной интегрируемости гамильтоновых систем
17.
Некоммутативная версия полной интегрируемости
18. Пример
интегрируемости динамики твердого тела с закрепленной точкой.
19. Понятие
дифференциального оператора на многообразии, главный символ оператора.
20. Псевдодифференциальныне операторы (ПДО) на многообразиях.
21. Соболевские
нормы и ограниченность ПДО в соболевских пространствах.
22. Теорема
вложения Соболева (о компактности вложения собролевских пространств).
23. Компактные и
фредгольмовы операторы.
24. Индекс
фредгольмова оператора и его свойства.
25. Альтернатива
Фредгольма.
26. Обощение
эллиптической задачи на случай векторных расслоений.
27. Трактовка
эллиптичности в терминах векторных расслоений.
28.
Гомологическая формула Атья-Зингера для вычисления индекса эллиптического
оператора
Рекомендуемая литература
1. Хирш М.,
Дифференциальная топология, Мир, М.,(1979).
2. Том Р.,
Некоторые свойства "в целом" дифференцируемых многообразий, В книге
"Расслоенные пространства и их приложения", "ИЛ," М.,(1958),с. 293 -
351
3. Трофимов В.В., Фоменко А.Т., Алгебра и геометрия интегрируемых
гамильтоновых дифференциальных уравнений, М., "Факториал," (1995).
4. Арнольд В.И.,
Козлов В.В., Нейштадт А.И., Математические аспекты классической и небесной
механики, ВИНИТИ, Итоги науки и техники, серия "Современные проблемы
математики. Фундаментальные направления, Динамические системы" - 3,
Том 3 (1985), с. 9 - 43.
5. Мищенко А.С.,
Векторные расслоения и их приложения, М., "Наука", (1984).
|