Семинар ``Геометрия, топология и математическая физика"
(руководители С.П.Новиков, В.М.Бухштабер)

Среда, 18:30, ауд. 16-22

Аннотации докладов (2016/2017 учебный год)

19 апреля 2017 О.И.Мохов (МГУ)

Метрики диагональной кривизны

Рассматривается специальный класс метрик, возникающий в современных задачах математической физики. Эти метрики характеризуются существованием специальных ортогональных координат, в которых диагонализуется риманова кривизна метрики, и описываются интегрируемой системой уравнений. В частности, все двумерные метрики являются метриками диагональной кривизны, а также метриками диагональной кривизны являются метрики постоянной кривизны, метрики гиперповерхностей, метрики полугамильтоновых систем гидродинамического типа. Общие метрики диагональной кривизны пока мало исследованы. Будут представлены результаты по изучению метрик диагональной кривизны и связанных с ними интегрируемых систем.
5 апреля 2017 М.В.Павлов (ФИАН)

Multi-Dimensional Conservation Laws and Integrable Systems

We introduce and investigate a new phenomenon in the Theory of Integrable Systems -- the concept of multi-dimensional conservation laws for two- and three-dimensional integrable systems. Existence of infinitely many local two-dimensional conservation laws is a well-known property of two-dimensional integrable systems. We show that pairs of commuting two-dimensional integrable systems possess infinitely many three-dimensional conservation laws. Examples: the Benney hydrodynamic chain, the Korteweg de Vries equation. Simultaneously three-dimensional integrable systems (like the Kadomtsev-Petviashvili equation) have infinitely many three-dimensional quasi-local conservation laws. We illustrate our approach considering the dispersionless limit of the Kadomtsev-Petviashvili equation and the Mikhalev equation. Applications in three-dimensional case: the theory of shock waves, the Whitham averaging approach.
22 марта 2017 П.Г.Гриневич (МГУ, ИТФ им. Л.Д.Ландау)

Геометрическая интерпретация действия неизоспектральных симметрий КдФ и КП на конечнозонных решениях

Большой класс бесконечномерных интегрируемых систем, в который, в частности, входят уравнение Кортевега-дк Фриза и уравнение Кадомцева-Петвиашвили, допускает бесконечномерную абелеву алгебру симметрий, отвечающих высшим уравнениям иерархии. Эта алгебра может быть расширена до большей, уже неабелевой алгебры, которая для случая уравнения КдФ содержит подалгебру полиномиальных векторных полей на прямой, а для КП - алгебру Вирасоро с нулевым центральным зарядом. Мы дает простое геометрическое описание этих симметрий на конечнозонных решениях. Если вычислить действие на тау-функцию уравнения КП, то центральный заряд становится ненулевым.

Доклад основан на совместной с А.Ю.Орловым работе.
1 марта 2017 М.А.Карпухин (НМУ, McGill University, Canada)

Метрики на поверхностях, экстремальные для собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами

Настоящий доклад посвящен задаче геометрической оптимизации собственных значений оператора Лапласа. Для фиксированного замкнутого многообразия собственные значения оператора Лапласа-Бельтрами можно рассматривать как функционалы на пространстве метрик единичного объема. В случае поверхностей, согласно работам Кореваара, Ли, Янга и Яу, они оказываются ограниченными. Возникает вопрос нахождения максимальных метрик и точной верхней границы для функционалов собственных значений. В последние годы этот вопрос получил особый интерес вследствие связи с теорией минимальных помногообразий в сферах. Используя эту связь, Пенской получил примеры экстремальных метрик на торе и бутылке Клейна. В данном докладе мы приведем новые примеры экстремальных метрик, полученные докладчиком, а также обсудим их максимальность.
22 февраля 2017 А.П.Веселов (МГУ, Univesity of Loughborough, UK)

В поисах идеальной формы многогранников

Для любого многоугольника рассмотрим новый, полученный соединением середин сторон исходного. Итерация этой процедуры приводит к форме, аффинно эквивалентной правильному многоугольнику. Этот феномен обычно приписывается графу де Бюффону, знаменитому своей иглой, хотя он по видимому был известен гораздо раньше.

Я расскажу про трехмерной вариант этой задачи и ее связи со спектральной теорией графов, в частности с замечательными работами Колен де Вердье и Ловаса.
15 февраля 2017 Д.В.Артамонов (МГУ)

Явление Стокса в иррегулярной системе Гельфанда-Капранова-Зелевинского, связанной с решёткой ранга 1

Теория иррегулярных особенностей связностей в линейных расслоениях над одномерными комплексными многообразиями была создана еще в 19-ом веке Стоксом. Обобщение этой теории на случай многообразий большей размерности появилось лишь недавно в работах Т. Мочезуки. Конкретных примеров детального описания иррегулярных особенностей в одномерном случае не так много, а в многомерном - такие до недавнего времени отсутствовали вовсе. В докладе будет рассказан нетривиальный пример многомерной связности (а именно, это будет система Гельфанда-Капранова-Зелевинского, связанная с решёткой ранга 1) для которой удасться получить полное описание иррегулярных особенностей.
18 января 2017 А.Б.Шабат (ИТФ им.Л.Д.Ландау)

О конструктивной теории рассеяния

Рассматривается задача о факторизации матрицы рассеяния для уравнения Шредингера на вещественной оси. Найдены элементарные блоки факторизации в финитном и нефинитном случаях. Установлена связь с матричной задачей сопряжения. Указана общая схема построения широкого класса матриц рассеяния допускающих квазирациональную факторизацию.
11 января 2017 А.В.Пенской (МГУ, ВШЭ)

Максимизация второго собственного числа на проективной плоскости

Задача геометрической оптимизации собственных чисел оператора Лапласа - одна из самых классических задач спектральной геометрии, восходящая к Лорду Рэлею, продвижения в этой задаче даются нелегко и довольно редки. В недавней совместной работе с Н.Надирашвили мы доказали, что второе ненулевое собственное число на вещественной проективной плоскости площади 1 не превосходит 20pi, причем это значение может быть достигнуто как предел на последовательности метрик, сходящихся к метрике на касающихся проективной плоскости и сфере со стандартными метриками, такими, что площади проективной плоскости и сферы относятся как 3:2.
28 декабря 2016 В.О.Мантуров (РУДН)

Нерейдемейстеровские теории узлов и кос

В 2015 году докладчиком были определены группы G_{n}^{k}, зависящие от двух положительных чисел n>k, и сформулирован общий принцип: "Если у динамических систем, описывающих движение n точек, имеется хорошее свойство коразмерности 1, регулируемое k точками, то эти динамические системы имеют топологические инварианты со значениями в группе G_{n}^{k}."

Если рассматривать движение n попарно различных точек по плоскости и выбрать в качестве хорошего свойства свойство "три точки лежат на одной прямой", мы получим гомоморфизм из группы (крашеных) кос в группу G_{n}^{3}.

Затем докладчик ввел "узловой" аналог теории групп G_{n}^{3}. Имеется корректно определенное отображение alpha из узлов в двумерные (виртуальные) узлы, где тройные точки отвечают горизонтальным трисекантам. Можно ли по новой картине восстановить обычную теорию кос и узлов с перекрестками и стандартными движениями Рейдемейстера?

Это достигается за счет добавления одной вертикальной нити (компоненты). В случае кос мы получаем копредставление группы, внутри которого можно "увидеть" как обычное артиновское копредставление группы кос, так и группу G_{n}^{3}. В случае узлов мы получаем двумерное зацепление, одна из компонент которого выступает как "экран", на котором видна вся обычная теория узлов с движениями Рейдемейстера.

Будет также рассказано об усилениях группы G_{n}^{3} и связанных с ними инвариантах узлов и кос.
21 декабря 2016 В.М.Бухштабер (МГУ, МИАН)

Когомологически жесткие многообразия

Семейство гладких многообразий называется когомологически жестким, если любые два многообразия этого семейства диффеоморфны тогда и только тогда, когда имеет место изоморфизм их колец целочисленных когомологий. В центре внимания доклада будет полученное недавно доказательство (Бухштабер-Ероховец-Масуда-Панов-Пак), того, что семейства 3- и 6-мерных многообразий, определяемых замечательным классом 3-мерных многогранников являются когомологически жесткими. Этот класс многогранников содержит все фуллерены, многогранники у которых только 5-и 6-угольные грани и другие многогранники, которые естественно возникали в задачах различных областей математики. Например, каждый многогранник этого класса, который мы назвали многогранником Погорелова, согласно теореме Погорелова и Андреева, обладает прямоугольной реализацией в пространстве Лобачевского, которая определена единственно с точностью до изометрии.

Будут описаны конструкции многогранников Погорелова и их характеризация в терминах операций перестройки многогранников. Показано, что этот класс намного более широкий, чем класс фуллеренов, а именно,для любой конечной последовательности целых чисел р_7, ..., р_к существует многогранник Погорелова, у которого число к-угольных граней равно р_к, при этом р_5 задаётся классической формулой, а р_6 больше 7.

Основу доклада составят результаты работ Бухштабера-Панова, Бухштабера-Ероховца и Бухштабера-Ероховца-Масуды-Панова-Пак.
7 декабря 2016 В.С.Оганесян (МГУ)

Скалярные и матричные коммутирующие дифференциальные операторы

Доклад будет посвящен теории коммутирующих скалярных и матричных дифференциальных операторов. Будет рассказано о новых примерах скалярных коммутирующих дифференциальных операторов ранга 2 и о явном виде их общих собственных функций. Также будут затронуты новые результаты о АКНС иерархии и матричные коммутирующие операторы ранга 2 и векторного ранга (2,2) для произвольного рода.
16 ноября 2016 С.М.Гусейн-Заде (МГУ)

Многочлен Александера алгебраического зацепления с симметриями

Алгебраическое зацепление - это пересечение множества нулей ростка f:(C^2,0)\to(C,0) голоморфной функции двух переменных, имеющего изолированную критическую точку в начале координат, со сферой малого радиуса с центром в начале координат в C^2. Известно, что многочлен Александера от нескольких переменных определяет топологический тип алгебраического зацепления, а многочлен Александера от одной переменной его не определяет. Оказывается, что если компоненты кривой f=0 переставляются действием группы, то многочлен Александера от одной переменной определяет топологический тип алгебраического зацепления. Аналогичное утверждение имеет место, если кривая состоит из нескольких наборов компонент, в каждой из которых компоненты переставляются группой. В этом случае надо рассматривать многочлен Александера от количества переменных, равного количеству наборов компонент. Многочлен Александера алгебраического зацепления совпадает с так называемым рядом Пуанкаре набора нормирований, определяемых компонентами кривой. Это позволяет сформулировать и доказать аналог указанного утверждения для набора нормирований другого типа, так называемых дивизориальных.

Доклад основан на совместной работе с Ф.Дельгадо и А.Кампильо.
26 октября 2016 Г.Б.Шабат

Fullerenes and dessins d'enfants

Fullerenes, being a hot point of modern chemistry and several theoretical sciences, have lots of applications, ranging from quantum computers to medicine.

The mathematical aspects of the fullerenes theory are also diverse. Various fullerenes-related topics of graph theory, finite groups and their representations, geometry of polytopes, isoperimetric problems, etc., can be found in many current papers. The talk is aimed at the considerations of yet another mathematical discipline, the theory of dessins d'enfants, that, hopefully, can promote the understanding of combinatorics and geometry of fullerenes.

The basics of dessins d'enfants theory will be introduced and the calculations related to one of the simplest cases presented.
28 сентября 2016 Н.М.Садыков (ЮУрГУ, Челябинск)

Уравнение пентагона в прямой сумме линейных пространств.

Строятся обширные семейства ортогональных операторов, удовлетворяющих уравнению пентагона в прямой сумме трёх n-мерных векторных пространств. Как следствие, получаются реализации движения Пахнера 2--3 в терминах грассмановых алгебр, причём склеиванию тетраэдров отвечает перемножение их грассмановых весов и взятие интеграла Березина по переменным на тех 2-гранях, по которым происходит склейка.
21 сентября 2016 В.М.Бухштабер (МГУ, МИАН)

Бесконечномерные алгебры Ли, ассоциированные с симметрическими степенями алгебраических кривых

Будет рассказано о явном построении алгебры Ли векторных полей на универсальных расслоениях симметрических квадратов неособых гиперэллиптических кривых. Важную роль в построении играет формула, задающая два коммутирующих поля на симметрическом квадрате любой неособой плоской кривой. Метод построения алгебры Ли использует только теорию симметрических полиномов и опирается на замечательные свойства полиномов Ньютона. В заключительной части доклада мы обсудим связь представленных новых результатов с задачами алгебраической геометрии, теории абелевых функций и теории интегрируемых систем.

Доклад основан на совместных с А.В.Михайловым результатах.