Семинар ``Геометрия, топология и математическая физика"
(руководители С.П.Новиков, В.М.Бухштабер)

Среда, 18:30, ауд. 16-22

Аннотации докладов (2015/2016 учебный год)
31 августа 2016 В.А.Клепцын

Магические углы, рассеяние и борьба с туннелированием в графене

Мой доклад будет посвящен исследованию туннелирования носителя заряда в дву- и однослойном графене. На однослойном графене носителями заряда являются квазичастицы, подчиняющиеся уравнению Дирака (но со в 300 раз меньшей "скоростью света") ; на двуслойном --- уравнению аналогичному, но другому.

В работе [1] были обнаружены, а в работе [2] исследовались "магические"; углы: углы, при падении на цилиндрический барьер под которыми вероятность туннелирования оказывалась близка к 1. Их наличие представляет собой препятствие к реализации на графене обычных n-p-n транзисторов.

При этом, математически их наличие выглядело странно: это комплексное уравнение (вероятность отражения равна нулю) на одну вещественную переменную (угол падения).

Я расскажу, откуда эти "магические" углы берутся, и как построить пример барьера на двуслойном графене, который почти идеально блокирует прохождение (для носителей из некоторой полосы энергий).

Кроме того, я расскажу прямой (не-пертурбативный) вывод теоремы об отсутствии рассеяния строго назад, и, если время позволит, объясню, почему на однослойном графене (или на нанотрубке) даже не-цилиндрический потенциал не может обеспечить слишком хорошую блокировку прохождения.

Мой рассказ будет основан на совместных работах с М. И. Кацнельсоном, А. Окуневым, И. Щуровым, Д. Зубовым, А. Роговой, К. Рейндерсом.

Ссылки:
[1] M. I. Katsnelson, K. S. Novoselov, and A. K. Geim, Nature Phys. 2, 620 (2006).
[2] T. Tudorovskiy, K. J. A. Reijnders, and M. I. Katsnelson, Phys. Scripta T146, 014010 (2012).
24 августа 2016 О.К.Шейнман

Модули матричных дивизоров на римановых поверхностях (по следам работ А.Н.Тюрина)

Матричные дивизоры введены в работе А.Вейля 1938 года, от которой отсчитывается история голоморфных расслоений на римановых поверхностях. Классификация эффективных матричных дивизоров - один из основных этапов в работах А.Н.Тюрина 1965-66 гг. по классификации голоморфных векторных расслоений на римановых поверхностях. В ходе рассуждений А.Н.Тюрина имеются сомнительные утверждения, хотя контрпримеров к его результатам нет. Не видно обобщения доказательств Тюрина, да и самого понятия эффективного матричного дивизора, на случай расслоений с простой структурной групой. Однако если в качестве эквивалентности матричных дивизоров допустить действие группы, тесно связанной с алгебрами операторов Лакса, введенными И.М.Кричевером и автором в 2007 г., и в более общем виде автором в 2014 г., то результат Тюрина приобретает более прозрачную интерпретацию. При таком подходе классификация А.Н.Тюрина матричных дивизоров естественно обобщается на случай G-расслоений, где G - произвольная комплексная простая связная группа Ли.
17 августа 2016 Е.Л.Лакштанов

Недавний прогресс в DBar методе и применения к нелинейным уравнениям

В конце 70х - начале 80х был обнаружен ряд 2+1 нелинейных систем (Веселов-Новиков, Кадомцев-Петвиашвилли II, -Дэви-Стюартсон II) решаемых методом обратной задачи. Точные решения возникающих обратных задач были найдены тогда лишь в случае маленьких начальных данных Коши и долгое время общая задача оставалась открытой. Недавно [1],[2] мы распространили метод на случай произвольных данных Коши. В ходе доклада будет сделан обзор 1+1 и 2+1 нелинейных систем решаемых методом обратной задачи, обсуждены сложности (возникновение исключительных точек) на долгое время затормозившие развитие точно решаемых обратных задач, и наконец, разберем разработанный нами метод и его применение к нелинейным системам.

[1] Lakshtanov, E. L., Novikov, R. G., Vainberg, B. R. (2015). A global Riemann-Hilbert problem for two-dimensional inverse scattering at fixed energy. arXiv preprint arXiv:1509.06495.

[2] Lakshtanov, E., Vainberg, B. (2016). Solution of the initial value problem for the focusing Davey-Stewartson II system. arXiv preprint arXiv:1604.01182.
3 августа 2016 А.П.Веселов

Динамика чисел Маркова

В работе 1880 года А.А.Марков исследовал решения замечательного диофантова уравнения
x^2+y^2+z^2=3xyz,
называемые теперь Марковскими тройками, и показал их важную роль в теории Диофантовых приближений. С тех пор Марковские тройки появились в различных частях математики, включая теорию пространств Тейхмюллера и алгебраическую геометрию.

Тройки Маркова можно естественным образом реализовать на трехвалентном дереве, тропическим аналогом которого является дерево Евклида.

Я расскажу о некоторых недавних результатах, связанных с ростом троек Маркова и Евклида, полученных совместно с К.Спалдинг.
27 июля 2016 В.В.Веденяпин

Гидродинамическая подстановка в уравнениях Власова и Лиувилля

В докладе рассмотрен гидродинамический анзац в уравнениях Власова и Лиувилля и его связь с методом Гамильтона-Якоби, дважды дивергентной формой Годунова для магнитной гидродинамики и топологией стационарный решений уравнений гидродинамических следствий уравнений типа Власова и Арнольду-Козлову.

Доклад основан на совместных работах с М.А.Негматовым и Н.Н.Фиминым.
20 июля 2016 М.И.Кацнельсон

Theory of graphene: CERN on the desk

Graphene, a recently (2004) discovered two-dimensional allotrope of carbon (this discovery was awarded by Nobel Prize in physics 2010), has initiated a huge activity in physics, chemistry and materials science, mainly, for three reasons. First, a peculiar character of charge carriers in this material makes it a "CERN on the desk" allowing us to simulate subtle and hardly achievable effects of high energy physics. Second, it is the simplest possible membrane, an ideal testbed for statistical physics in two dimensions. Last not least, being the first truly two-dimensional material (just one atom thick) it promises brilliant perspectives for the next generation of electronics which uses mainly only surface of materials.

I will tell about the first aspect of graphene physics, some unexpected relations between materials science and quantum field theory and high-energy physics.

Electrons and holes in this material have properties similar to ultrarelativistic particles (two-dimensional analog of massless Dirac fermions). This leads to some unusual and even counterintuitive phenomena, such as finite conductivity in the limit of zero charge carrier concentration (quantum transport by evanescent waves) or transmission of electrons through high and broad potential barriers with a high probability (Klein tunneling). This allows us to study subtle effects of relativistic quantum mechanics and quantum field theory in condensed-matter experiments, without accelerators and colliders. Some of these effects were considered as practically unreachable. Apart from the Klein tunneling, this is, for example, a vacuum reconstruction near supercritical charges predicted many years ago for collisions of ultra-heavy ions and recently experimentally discovered for graphene.

It is demonstrated now both experimentally and theoretically that graphene is usually not flat but covered by ripples resulting from both intrinsic flexural instability of two-dimensional membranes and roughness of substrate. Thus charge carriers are not just Dirac fermions but Dirac fermions moving in a curved space. The effect of the corrugations on the electron spectrum can be described in terms of gauge (pseudo-magnetic) fields which result, in particular, in formation of pseudo-Landau levels recently predicted theoretically and already found experimentally. These gauge fields can be used for "strain engineering", including tunable gap opening, quantum pumping and creation of valley-polarized current. Ripples can induce puddles, that is, charge inhomogeneities. The scattering by the ripples is also one of the limiting factors restricting the charge carrier mobility in graphene.
6 июля 2016 Д.В.Талалаев

2-узлы, 3-х мерные статистические модели и уравнение тетраэдров

В докладе пойдет речь о задаче построения инвариантов 2-узлов, то есть классов изотопий вложений 2-мерных поверхностей в четырехмерное пространство. Будет дан краткий экскурс в метод Картера, Саито и др. Кроме этого, будет изложен метод работ Корепанова, Шарыгина и Талалаева построения квазиинвариантов 2-узлов с помощью статистических моделей, основанных на уравнении тетраэдров Замолодчикова.
29 июня 2016 В.О.Мантуров

Группы G_{n}^{k} и теория узлов

В работе http://arxiv.org/abs/1501.05208 был сформулирован общий принцип "Если для динамических систем, описывающих движение $n$ частиц, имеется хорошее свойство общего положения коразмерности 1, зависящее от $k$ частиц, то такие динамические системы имеют инварианты со значениями в группах $G_{n}^{k}$." Простейший пример отвечает динамике движения $n$ точек на плоскости.

1) В первой части я построю гомоморфизм из группы крашеных кос из $n$ нитей в обобщение группы $G_{n}^{3}$. Обычный гомоморфизм в $G_{n}^{3}$ отвечает при $k=3$ свойству "три точки лежат на одной прямой" и описан явно в совместной работе с И.М.Никоновым: http://arxiv.org/abs/1507.03745 и рассказан в докладе "Инварианты и картинки http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?option_lang=rus&presentid=12150

2) Во второй части доклада будет построено копредставление, сопоставляющее каждой крашеной косе $beta$ из $n$ нитей, слово $Q(beta)$ из двух видов образующих: стандартных образующих Артина $sigma_{i},i=1,dots, n-1$ и ``новых'' образующих $a_{ijk}$, такое что удаление новых образующих $a_{ijk}$ приводит к исходному слову, записывающему $beta$ в образующих Артина. Таким образом, по любой записи (крашеного) слова-косы можно однозначным способом восстановить ``воображаемые'' образующие, дающие много новой информации о классических перекрестках классической косы.

3) В третьей части доклада будет рассказано, как описанные выше методы переносить с кос на классические узлы и зацепления. Оказывается, классическому узлу $K\subset R^{3}$ можно сопоставить двумерный комплекс $alpha(K)$, таким образом, что комплексы $alpha(K),alpha(K')$, отвечающие изотопным классическим узлам, получаются друг друга известными в теории двумерных узлов движениями Розмана. http://arxiv.org/abs/1604.06597

Это позволяет переносить на классические узлы инварианты двумерных (виртуальных) узлов. Описанные выше темы породили множество задач, как в теории групп, так и в маломерной топологии и геометрии.
22 июня 2016 О.Р.Мусин

Теоремы типа ККМ с граничными условиями

Теорема Кнастера - Куратовского - Мазуркевича (ККМ) - Шпернера является комбинаторным аналогом теоремы Брауэра о неподвижной точке. У этой теоремы много обобщений и приложений, в частности, в теории игр, математической экономике и задачах о справедливом распределении.

В докладе для любого покрытия пространства Т будут определены гомотопические классы отображений Т в n-мерные сферы. Эти инварианты являются препятствиями для расширения покрытий с подпространства на все пространство. Они могут быть использованы для обобщения леммы ККМ для шаров на границе которых инварианты покрытий не равны нулю. Мы обсудим также возможные приложения этих результатов.
15 июня 2016 В.М.Бухштабер

Проблема четырех красок, фуллерены и топология шестимерных многообразий

Выпуклый трёхмерный многогранник называется простым, если, в каждой его вершине сходится в точности 3 ребра. В торической топологии \cite{Bu-Pa15}каждому простому многограннику $P$ с $m$ двумерными гранями сопоставляется гладкое $(m+3)$-мерное момент угол многообразие $\mathcal{Z}_P$ с действием компактного тора $T^m$. Решение проблемы четырёх красок обеспечивает существование целочисленной $((m-3)\times m)$-матрицы $\Lambda$, задающей $(m-3)$-мерную подгруппу в $T^m$ свободно действующую на $\mathcal{Z}_P$. Пространство орбит этого действия называется квазиторическим многообразием $M^6(P,\Lambda)$. Мы имеем $\mathcal{Z}_P/T^m=M^6/T^3=P$.

Математический фуллерен представляет собой простой трёхмерный многогранник все двумерные грани которого пятиугольники или шестиугольники.

Доклад посвящен следующим результатам.

Два фуллерена $P$ и $Q$ комбинаторно эквивалентны тогда и только тогда, когда существует градуированный изоморфизм колец когомологий $H^*(\mathcal{Z}_P,\mathbb Z)\simeq H^*(\mathcal{Z}_Q,\mathbb Z)$ (см. \cite{BE15b} и \cite{FMW15}). Градуированный изоморфизм $H^*(M^6(P,\Lambda_P),\mathbb Z)\simeq H^*(M^6(Q,\Lambda_Q),\mathbb Z)$ даёт градуированный изоморфизм $H^*(\mathcal{Z}_P,\mathbb Z)\simeq H^*(\mathcal{Z}_Q,\mathbb Z)$ (см. \cite{BEMPP-16}). Используя известные теоремы о классификации гладких шестимерных односвязных многообразий мы получаем: многообразия $(M^6(P,\Lambda_P)$ и $(M^6(Q,\Lambda_Q),\mathbb Z)$ диффеоморфны тогда и только тогда, когда существует градуированный изоморфизм $H^*(M^6(P,\Lambda_P),\mathbb Z)\simeq H^*(M^6(Q,\Lambda_Q),\mathbb Z)$ (см. \cite{BEMPP-16}).

[Bu-Pa15] V.M. Buchstaber, T.E. Panov, ``Toric Topology,'' AMS Math. Surveys and monogrpaphs. vol. 204, 2015. 518 pp.

[BE15b] V.M. Buchstaber, N.Yu. Erokhovets, ``Construction of fullerenes'', arXiv 1510.02948v1, 2015.

[FMW15] F.~Fan, J.~Ma, X.~Wang, ``$B$-Rigidity of flag 2-spheres without 4-belt", arXiv:1511.03624.

[BEMPP-16] V.M. Buchstaber, N.Yu.Erokhovets, M.Masuda, T.E.Panov, S.Park, ``Cohomological rigidity of -dimensional toric manifolds and simple -polytopes", in preparation.
11 мая 2016 О.И.Морозов

Деформированные когомологии псевдогрупп симметрий и накрытия дифференциальных уравнений

В докладе будет рассказано о применении деформированных когомологий псевдогрупп симметрий дифференциальных уравнений к задаче нахождения дифференциальных накрытий. Примеры будут включать уравнение Хохлова--Заболотской и уравнение Бойера--Финли.
27 апреля 2016 В.М.Бухштабер

Координатные алгебры Ли как замечательный класс бесконечномерных алгебр Ли

Координатные алгебры Ли представляют собой бесконечномерные алгебры Ли со структурой конечномерного модуля над координатными кольцами алгебраических многообразий. Теории и приложениям таких алгебр посвящена наша работа с А.В.Михайловым (университет г.Лидс, Великобритания). В основе работы результаты о полиномиальных алгебрах Ли, введенных В.М.Бухштабером и Д.В.Лейкиным и результаты об автоморфных алгебрах Ли, введенных А.В.Михайловым.
6 апреля 2016 М.В.Фейгин

О ПБВ-подалгебрах в алгебрах Чередника

Я планирую обсудить две подалгебры в рациональной алгебре Чередника, связанной с группой Кокстера. Эти подалгебры удовлетворяют свойству Пуанкаре-Биркгофа-Витта, и они задаются квадратичными соотношениями. Подалгебры деформируют полупрямое произведение факторов универсальных обертывающих алгебр so(n) и gl(n) с групповой алгеброй группы Кокстера, и они связаны, соответственно, с квантованием функций на грассманиане двумерных плоскостей и на пространстве матриц ранга не выше 1. Центральные генераторы этих алгебр определяют гамильтонианы, связанные с системами Калоджера-Мозера. Доклад основан на совместной работе с Т. Хакобяном.
30 марта 2016 В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк

Языки Арнольда в модели эффекта Джозефсона и голоморфные решения биконфлюентного уравнения Гойна

Рассматривается семейство динамических систем на торе, моделирующее эффект Джозефсона в теории сверхпроводимости.

Языком Арнольда уровня n (n-ой зоной захвата фазы в эффекте Джозефсона), называется множество параметров с непустой внутренностью, на котором число вращения принимает значение n.

В нашем случае, в отличие от открытой В.И.Арнольдом картины языков, зоны захвата существуют только для целых значений числа вращения (эффект квантования числа вращения, открыт и доказан В.М.Бухштабером,О.В.Карповым и С.И.Тертычным и чуть позднее доказан Ю.С.Ильяшенко). Более того, каждая зона захвата представляет собой бесконечную цепочку областей на плоскости, разделенных перемычками. Эта цепочка уходит на бесконечность в направлении координатной оси.Границы её имеют бесселеву асимптотику (замечено физиками С.Шапиро, А.Янусом и С.Холли (1964 г.) и недавно доказано А.В.Клименко и О.Л.Ромаскевич).

Рассматриваемое семейство систем на торе эквивалентно семейству биконфлюэнтных уравнений Гойна (доказано В.М.Бухштабером и С.И.Тертычным), представляющему собой семейство линейных дифференциальных уравнений, имеющих на сфере Римана только две особые точки, которые иррегулярны.

В докладе будет сделан обзор результатов о геометрии зон захвата, полученных методами аналитической теории комплексных дифференциальных уравнений. В центре внимания будет задача о координатах перемычек,в том числе результаты, полученные недавно авторами в совместной работе, использующей идеи из гиперболической теории динамических систем.
23 марта 2016 И.К.Бабенко

Площадь конечно представимых групп и их симплициальная сложность

С каждой конечно представимой группой естественным образом связан метрический инвариант -- её систолическая площадь. Эта площадь обобщает обычную площадь поверхностей при некотором ограничении на длины замкнутых геодезических. Оказывается, что такая площадь всегда положительна, если исходная группа не является свободной. При естественном дополнительном условии число попарно неизоморфных групп ограниченной сверху площади всегда конечно. Кроме того, площадь группы тесно связана с чисто комбинаторным инвариантом, называемым симплициальной сложностью группы. Этому кругу вопросов, а также возникающим здесь открытым проблемам и будет посвящён доклад.
16 марта 2016 М.В.Павлов

Интегрируемые системы типа "Калоджеро Голд Фиш"

Рассматриваются системы обыкновенных уравнений, которые являются редукциями интегрируемых гидродинамических цепочек. Простейшим примером является система Калоджеро Голд Фиш, которая является редукцией цепочки Бенни (этот результат принадлежит Ю.И. Манину). Мы показываем как такие системы могут быть проинтегрированы.
9 марта 2016 А.А.Гайфуллин

Гипотеза кузнечных мехов для изгибаемых многогранников в неевклидовых пространствах

Изгибаемый многогранник в n-мерном пространстве -- это многогранная (n-1)-мерная поверхность, допускающая деформацию (изгибание), в процессе которой комбинаторный тип поверхности остаётся неизменным, её (n-1)-мерные грани остаются конгруэнтными себе, а двугранные углы при (n-2)-мерных гранях изменяются непрерывным образом. При этом представляют интерес как вложенные, так и самопересекающиеся изгибаемые многогранники. Примеры изгибаемых многогранников (в размерностях 3 и выше) строить не очень просто. Достаточно сказать, что, несмотря на то, что самопересекающиеся изгибаемые октаэдры -- так называемые октаэдры Брикара -- известны ещё с конца 19-го века, первый пример вложенного изгибаемого многогранника в трёхмерном пространстве был построен Р. Коннелли только в 1977 году, а первые примеры (самопересекающихся) изгибаемых многогранников в пространствах размерностей 5 и выше были построены докладчиком только в 2015 году.

В конце 1970-х была выдвинута гипотеза, что объём любого изгибаемого многогранника постоянен в процессе изгибаения. Сейчас эта гипотеза известна как гипотеза кузнечных мехов. Одним из наиболее ярких достижений в теории изгибаемых многогранников стало доказательство И.Х. Сабитовым в 1996 году этой гипотезы для изгибаемых многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве (первоначально гипотеза была выдвинута Р. Коннелли именно для этого случая). Гипотеза кузнечных мехов для евклидовых пространств старших размерностей была доказана докладчиком в 2012 году.

В докладе будет я постараюсь рассказать о своих более свежих результатах по гипотезе кузнечных мехов, а именно, о том, как гипотеза кузнечных мехов доказывается для ограниченных изгибаемых многогранников в нечётномерных пространствах Лобачевского и для изгибаемых многогранников с достаточно малыми длинами рёбер в сферических пространствах и пространствах Лобачевского всех размерностей. Доказательства основаны на изучении свойств аналитического продолжения функции объёма изгибаемого многогранника на комплексификацию его конфигурационного пространства.
2 марта 2016 С.К.Ландо (ВШЭ, НМУ)

О комбинаторике инваринатов Васильева

Около 1990 года В.А.Васильев ввел понятие инварианта узлов конечного порядка и предложил описывать эти инварианты в терминах весовых систем. Весовые системы представляют собой функции на хордовых диаграммах (такая диаграмма - это окружность с набором хорд, не имеющих общих концов), удовлетворяющие некоторым специальным линейным соотношениям. Большой класс явных конструкций весовых систем строится по полупростым алгебрам Ли. Однако до сих пор непонятно, какая именно часть комбинаторной информации о хордовой диаграмме существенна для определения и вычисления таких весовых систем.

В докладе будет рассказано о достигнутом за последние 2-3 года прогрессе в выявлении существенной информации. Доклад основан на совместных результатах докладчика с Г.Л.Рыбниковым, а также студентами факультета математики ВШЭ В.Жуковым, Е.Кулаковой и Т.Мухутдиновой.
24 февраля 2016 П.Г.Гриневич (МГУ)

Преобразование Мутара для обобщенных аналитических функций и двумерная обратная задача рассеяния при энергиях выше основного состояния

В работе П.Г.Гриневича и С.П.Новикова 1988 года при рассмотрении задачи рассеяния для двумерного оператора Шредингера при фиксированной отрицательной энергии выше основного состояния естественно возникают обобщенные аналитические функции с особенностями полюсного типа на контурах, причем, по-видимому, необходимо накладывать на особенности данных d-bar задачи довольно жесткие условия вблизи этих контуров. До недавнего времени не удавалось найти подхода к созданию теории обобщенных аналитических функция с такими особенностями.

Нами показано, что на обобщенных аналитических функциях действуют преобразования Мутара, причем если регулярные решения переходят в особые, то в случае общего положения возникают в точности особенности, описанные в работе П.Г.Гриневича и С.П.Новикова. Верно и обратное - описанные в этой работе особенности могут быть, по крайней мере локально, устранены преобразованием Мутара.
17 февраля 2016 А.Е.Миронов (НГУ, Новосибирск)

Угловой бильярд и гипотеза Биркгофа

В докладе будет рассмотрена динамическая система "угловой бильярд" на дополнении к выпуклой области на плоскости. Оказывается, что эта динамическая система в окрестности границы является двойственной к бильярду Биркгофа, в частности, в окрестности границы существует бесконечно много инвариантных кривых как и в теореме Лазуткина (при некоторых ограничениях на гладкость и кривизну границы). С помощью этой динамической системы получены новые результаты, относящиеся к гипотезе Биркгофа об интегрируемых бильярдах, которые дополняют известные результаты С.В.Болотина. Результаты, которые будут обсуждаться в докладе получены совместно с М.Бялым.
23 декабря 2015 О.Р.Мусин (University of Texas, USA)

Гомотопические инварианты покрытий и леммы типа Шпернера-ККМ

В докладе будет рассказано об обобщениях леммы Шпернера и теоремы Кнастера - Куратовского - Мазуркевича (ККМ), В частности, мы разберем два обобщения, полученные выдающимися математиками и экономистами Д. Гейлом и Л. Шепли. Лемма Гейла - это "цветная" версия ККМ, которая нашла применения в теории игр и задачах справедливого распределения. Теорема Шепли (KKMS) - важный инструмент в теории равновесия экономического анализа. Мы покажем, что для этих теорем можно не накладывать жесткие "граничные условия ККМ". Теоремы остаются верными, если на границе гомотопический инвариант покрытия будет ненулевым.
9 декабря 2015 О.К.Шейнман (МИАН)

Алгебры операторов Лакса, интегрируемые системы и голоморфные расслоения

Связь интегрируемых систем с алгебрами Ли с одной стороны, и с голоморфными расслоениями на римановых поверхностях с другой стороны хорошо известна. Эти связи в разных комбинациях используются при рассмотрении большинства интегрируемых систем. Фундаментальных идей здесь по большому счету две: 1) с интегрируемой системой типа Лакса связано расслоение собственных подпространств лаксовой пары над спектральной кривой (Кричевер); 2) интегрируемость большинства систем связана с явной или скрытой симметрией относительно некоторой группы Ли (Переломов и Ольшанецкий). В докладе будет сформулирован анзац, позволяющий связать все три в одно. Будут рассматриваться конечномерные интегрируемые системы со спектральным параметром на римановой поверхности (в частности, с рациональным спектральным параметром). Этот класс содержит системы Хитчина, Калоджеро-Мозера, классические волчки, и другие.
25 ноября 2015 И.А.Дынников (МГУ)

Минимальность перекладываний отрезков с целочисленными линейными ограничениями на параметры

Известно, что перекладывание отрезков с неприводимой перестановкой и параметрами общего положения минимально. Это доказал М.Кин почти 40 лет назад. Несколько позже Х.Мазур и У.Вич независимо доказали, что неприводимые перекладывания почти всегда строго эргодичны. Однако в некоторых задачах естественным образом возникают перекладывания, в которых параметры связаны целочисленными линейными соотношениями, и тогда эти общие результаты неприменимы. В зависимости от того, какие именно наложены ограничения, минимальность может быть как "типичным" свойством, так и "экзотическим". Мы формализовали, в чем состит отличие этих двух ситуаций, введя понятие устойчивости для минимальных перекладываний с ограничениями, и сформулировали простое условие, которое согласно нашей гипотезе отвечает за устойчивость. Ряд известных в литературе примеров, имеющих разное происхождение, подтверждает нашу гипотезу.

Доклад основан на совместных работах с А.С.Скрипченко.
11 ноября 2015 Т.Е.Панов (МГУ)

Пересечения квадрик и гамильтоново-минимальные лагранжевы подмногообразия

Свойство гамильтоновой минимальность (Н-минимальности) лагранжевых подмногообразий является симплектическим аналогом свойства минимальности в римановой геометрии. Лагранжево вложение или погружение назывется Н-минимальным, если вариации его объёма вдоль всех гамильтоновых векторных полей равны нулю.

Используя ряд конструкций торической, симплектической и лагранжевой топологии (момент-угол-многообразия, происходящие из пересечений эрмитовых квадрик; симплектическая редукция; Н-минимальные лагранжевы погружения в комплексное пространство), мы получаем новые серии Н-минимальных лагранжевых подмногообразий в комплексном пространстве, комплексном проективном пространстве и торических многообразиях с весьма сложной и интересной топологией.

Доклад основан на совместных работах с А.Е.Мироновым.
21 октября 2015 В.Э.Адлер (ИТФ им. Л.Д.Ландау)

Разбиения множеств и интегрируемые иерархии

Показано, что статистика для некоторых специальных типов разбиений множеств (B-type, non-overlapping and atomic set partitions) описывается производящими функциями, возникающими в теории интегрируемых уравнений.
14 октября 2015 А.И.Буфетов (МИАН, ВШЭ)

Quasi-Symmetries of Determinantal Point Processes

The classical De Finetti Theorem (1937) states that an exchangeable collection of random variables is a mixture of Bernoulli sequences.

The first result of the talk is that determinantal point processes on Z induced by integrable kernels are quasi-invariant under the action of the infinite symmetric group. The Radon-Nikodym derivative is a regularized multiplicative functional on the space of configurations. A key example is the discrete sine-process of Borodin, Okounkov and Olshanski.

The second result is a continuous counterpart of the first: namely, it is proved that determinantal point processes with integrable kernles on R, a class that includes processes arising in random matrix theory such as Dyson's sine-process, or the processes with the Bessel kernel or the Airy kernel studied by Tracy and Widom, are quasi-invariant under the action of the group of diffeomorphisms of the line with compact support.

While no analogues of these results in higher dimensions are known, in joint work with Yanqi Qiu it is shown that for determinantal point processes corresponding to Hilbert spaces of holomorphic functions on the complex plane C or on the unit disk D, the quasi-invariance under the action of the group of diffeomorphisms with compact support also holds.
23 сентября 2015 С.М.Гусейн-Заде (МГУ)

Новые симметрии между двойственными по Берглунду-Хюбшу-Хеннингсону обратимыми многочленами

Обратимые многочлены - это квазиоднородные многочлены, в которых количество мономов совпадает с количеством переменных. Они были введены в работе Берглунда и Хюбша как суперпотенциалы в моделях Ландау-Гинзбурга. Для обратимого полинома определяется двойственный к нему полином, порождающий "зеркально симметричную" модель Ландау-Гинзбурга.

Для построения симметричных орбифолдных моделей Берглунд и Хеннингсон предложили продолжить двойственность на пары, состоящие из обратимого многочлена и некоторой абелевой группы его симметрий. Между такими парами имеются, в частности, симметрии, описываемые в терминах, близких к теории особенностей (точнее, к некоторой ее орбифолдной версии). О некоторых таких симметриях будет рассказано в докладе.
16 сентября 2015 М.В.Павлов (ФИАН, НГУ)

Двумерные интегрируемые дисперсионные системы и многомерные квазилинейные уравнения

Мы показываем, что существуют (явно предъявляем) трехмерные, четырехмерные, пятимерные и шестимерные квазилинейные уравнения второго порядка, которые имеют дисперсионные редукции, а именно интегрируемые уравнения: Кортевега де Фриза, система Ито, система Каупа-Буссинеска, и бесконечно много других.