k

Семинар ``Геометрия, топология и математическая физика"
(руководители С.П.Новиков, В.М.Бухштабер)

Среда, 18:30, ауд. 16-22

Аннотации докладов (2014/2015 учебный год)
9 сентября 2015 П.Г.Гриневич (МГУ)

Рациональные вырождения М-кривых, строго положительные грассманианы и солитонные решения уравнения Кадомцева-Петвиашвили 2

Известно, что вещественные регулярные многосолитонные решения иерархии Кадомцева-Петвиашвили 2 отвечают матрицам коэффициентов преобразования Дарбу, все главные миноры которых неотрицательны. Матрицы такого типа впервые возникли в работах 30х годов 20 века (Шонеберг, Гантмахер и Крейн). С другой стороны, гладкие вещественные конечнозонные решения этой иерархии отвечают M-кривым (спектральным кривым с максимально возможным числом вещественных овалов). Мы показываем что все солитонные решения общего положения (все главные миноры сторого положительны) получаются из рациональных вырождений M-кривых.
2 сентября 2015 А.И.Эстеров (ВШЭ)

Тропическая и исчислительная геометрия

Я расскажу про тропическую геометрию -- алгебраическую геометрию над тропическим полуполем, представляющем собой вещественные числа с операциями максимума и суммы.Тропическая геометрия позволяет отвечать на многие вопросы исчислительной геометрии в том смысле, что ответы на них оказываются одними и теми же над тропическими и комплексными числами (этот не вполне понятый пока феномен называется тропическим соответствием), а перечисление геометрических объектов над тропическими числами -- уже чисто комбинаторная задача. Самый востребованный и трудный из известных результатов такого рода -- теорема соответствия Михалкина, утверждающая, что инварианты Громова-Виттена проективной плоскости над комплексными и тропическими числами равны. Многие ранее известные факты про многогранники Ньютона, такие как формула Кушниренко и описание многогранников Ньютона дискриминантов Гельфанда-Капранова-Зелевинского, также можно проинтерпретировать как частные проявления тропического соответствия.
26 августа 2015 Л.О.Чехов (МИАН)

Геометрическая природа квантовых кластерных алгебр

Отправной точкой конструкции является геометрическая картина слияния двух дырок (или сторон одной дырки) на римановой поверхности в униформизации Пуанкаре. В пределе возникают граничные каспоидальные особенности, а ламинации, состоящие до предельного перехода из замкнутых кривых, после взятия предела содержат как замкнутые кривые6 так и арки -- геодезические начинающиеся и заканчивающиеся в декорированных граничных каспах. Экспоненты от половинных длин таких арок соответствуют лямбда-длинам, или кластерным переменным. Они явно задаются в терминах специальных координат сдвига (shear coordinates) предельной теории. Будет дано явное комбинаторное представление для таких лямбда длин и будет показано, как в пределе соотношение скейна для исходных геодезических переходит в соотношение Птолемея для лямбда длин. Если имеется хотя бы один граничный касп, то для поверхности произвольного рода с произвольным числом дырок имеется явное 1-1 соответствие между координатами сдвигов и арками (кластерными переменными); индуцированные пуассоновы и квантовые соотношения для арок из одной ламинации (одного зерна (seed) в кластерной терминологии) оказываются в точности квантовыми кластерными алгебрами Беренштейна и Зелевинского. Попутно удается решить проблему квантового упорядочения для квантовых лямбда длин.
19 августа 2015 С.Б.Шлосман (ИППИ)

Airy diffusions and N^{1/3} fluctuations in the 2D and 3D Ising models.

Consider the 3D Ising model at a low temperature. We will look at the level lines of the Ising droplet near its edge. I will explain that their fluctuations are of the order of N^{1/3}. When scaled by N^{1/3}, their limiting behavior for large N is given by the Airy diffusion process.

Work in progress with D. Ioffe and Y. Velenik.
12 августа 2015 В.О.Мантуров

Инварианты и картинки

"Если диаграмма достаточно сложна, то она воспроизводит сама себя".

Этот принцип был сформулирован докладчиком в теории виртуальных узлов и реализован посредством многочисленных инвариантов, принимающих значения в диаграммах виртуальных узлов и их линейных комбинациях. Он же очевидным образом реализуется в свободных группах.

Доказанные с его помощью теоремы имеют ряд мгновенных следствий, позволяющих судить об исходном объекте (узле, косе, элементе группы) по его единственной диаграмме (слову), если она достаточно сложна.

Будет доказана общая теорема об инвариантах систем движения частиц весьма общего вида со значением в картинках (диаграммах, словах).

Простейший частный случай теории представляет собой динамика движения точек на плоскости. Моменты, когда три точки находятся на одной прямой, соответствуют образующим группы, деформации общего положения --- соотношениям группы.

Это приводит к точным представлениям групп кос и их обобщений, действиях различных групп на картинках и свободных группах.

Важным промежуточным звеном являются введенные докладчиком группы G_{n}^{k}. Благодаря многочисленным гомоморфизмам между группами G_{n}^{k} описанная теория переносится на старшие размерности.

В докладе будут затронуты вопросы о приложениях групп G_{n}^{k} в теориях
1) узлов и кос, в частности, многомерных
2) групп
3) дискриминантов
4) конфигураций прямых и плоскостей, грассманианов
5) графов

В каждом случае основные инварианты строятся по принципу: набор сечений (динамика) - вырождения коразмерности 1 - группа G_{n}^{k} (или ее обобщение) - картинка или свободная группа.

В некотором смысле группа G_{n}^{k} являются категорификацией для числа сочетаний C_{n}^{k}: каждая образующая группы соответствует набору из k элементов n-элементного множества, но будучи рассмотрена как буква в слове, она несет в себе информацию в виде картинки.
5 августа 2015 Е.В.Ферапонтов (University of Loughborough)

Геометрия однородных гамильтоновых операторов третьего порядка

Будет обсуждена конструкция n-компонентных операторов третьего пордка для n<5. Доклад основан на совместной с М.Павловым и Р.Витоло работе.
29 июля 2015 А.Ю.Буряк

Циклы двойных ветвлений и интегрируемые системы

Я расскажу про новую конструкцию, которая произвольной когомологической теории поля сопоставляет гамильтонову систему уравнений в частных производных. Ключевую роль в конструкции играют некоторые подмногообразия в пространстве модулей кривых, называемые циклами двойных ветвлений. Гипотетически, получающиеся иерархии эквивалентны иерархиям топологического типа, введенным Б.А.Дубровиным и Ю Жангом. Новые иерархии имеют богатую структуру, включающую эффективные операторы рекурсии, тау-структуру, а также естественное квантование.
22 июля 2015 В.Е.Назайкинский

Теоремы об относительном индексе, спектральный поток и рождение электронно-дырочных пар в графене

В докладе будет кратко рассказано о принципе суперпозиции относительного индекса и его аналогах в теории К-гомологий и КК-теории. Основное внимание будет уделено приложению принципа суперпозиции для относительного индекса к задаче о рождении электронно-дырочных пар в листе графена при включении внешнего внешнего магнитного поля. Число рождающихся пар равно спектральному потоку гомотопии, связывающей невозмущенный (поле выключено) и возмущенный (поле включено) решеточные гамильтонианы. Такой поток равен потоку гомотопии двумерного оператора Дирака с классическими (локальными) граничными условиями на компактном римановом многообразии с краем (аппроксимирующего решеточный гамильтониан вблизи дираковских точек K и K' зоны Бриллюэна). В результате число рождающихся пар вычисляется в топологических терминах. Доклад основан на результатах, полученных в [1] и [2].

[1] М. И. Кацнельсон, В. Е. Назайкинский, Эффект Ааронова-Бома для безмассовых дираковских фермионов и спектральный поток операторов типа Дирака с классическими граничными условиями, ТМФ, 172:3 (2012), 437-453

[2] V. Nazaikinskii, B.-W. Schulze, B. Yu. Sternin, The Localization Problem in Index Theory of Elliptic Operators, Springer/Birkhaueser, 2014.
8 июля 2015 О.Р.Мусин

Гомотопические инварианты покрытий и леммы типа Шпернера

Для любого открытого покрытия пространства Т будут определены гомотопические классы отображений Т в n-мерные сферы. Эти гомотопические инварианты являются препятствиями для расширения покрытий с подпространства на все пространство. Они могут быть использованы для обобщения классических лемм Кнастера - Куратовского - Мазуркевича (ККМ) и Шпернера.
17 июня 2015 П.М.Лушников

Branch cuts of Stokes wave

Complex analytical structure of Stokes wave for two-dimensional potential flow of the ideal incompressible fluid with free surface and infinite depth is studied both analytically and numerically. Stokes wave is the fully nonlinear periodic gravity wave propagating with the constant veloci1ty. Simulations with the quadruple (32 digits) and variable precisions (more than 200 digits) are performed to find Stokes wave with high accuracy and study the Stokes wave approaching its limiting form with 120 degrees angle on the crest. A conformal map is used which maps a free fluid surface of Stokes wave into the real line with fluid domain mapped into the lower complex half-plane. The Stokes wave is fully characterized by the complex singularities in the upper complex half-plane. These singularities are addressed by rational (Pad\'e) interpolation of Stokes wave in the complex plane. Convergence of Pad\'e approximation to the density of complex poles with the increase of the numerical precision and subsequent increase of the number of approximating poles reveals that the only singularities of Stokes wave are branch cuts. We identified that this singularity is the square-root branch point. That branch cut defines the second sheet of the Riemann surface if we cross the branch cut. Second singularity is also the square-root and located in that second (nonphysical) sheet of the Riemann surface in the lower half-plane. Crossing corresponding branch cut in second sheet one arrives to the third sheet of Riemann surface with another singularity etc forming infinite number of sheets. As the nonlinearity increases, all singularities approach the real line forming the classical Stokes solution (limiting Stokes wave) with the branch point of power 2/3.
10 июня 2015 И.А.Тайманов

Преобразование Мутара двумерных операторов Дирака

Мы обсудим связь преобразования типа Мутара для двумерного оператора Дирака с конформной геометрией поверхностей в трехмерном пространстве и покажем как с помощью минимальных поверхностей строить частные решения модифицированного уравнения Веселова-Новикова, разрушающиеся за конечное время.
13 мая 2015 А.С.Анохина

Явное вычисление полиномов узлов с помощью квантовых R-матриц

Я расскажу о вычислении некоторых инвариантов узлов (полиномов ХОМФЛИ) с помощью R-матриц. Оказывается, что если с узлом связать четырехвалентный граф --- проекцию узла на плоскость, то полином ХОМФЛИ узла можно определить как среднее от полной свертки некоторых операторов, стоящих в вершинах. Полученная таким образом величина будет топологически инвариантной, если на эти операторы выполнены определенные соотношения. Если, помимо этих соотношений, операторы удовлетворяют характреристическим уравнениям специального вида (скейн-соотношениям), то окажется, что инвариант произовольного узла, определенный как среднее от операторной свертки, можно вычислить с помощью соотношений между средними (тождеств Уорда), следующих из перечисленных операторных тождеств (дополненных условиями нормировки).

С другой стороны, для операторов можно написать явные выражения, пользуясь тем, что одно из условий топологической инвариантности (связанное с третьим движением Редемейстера) оказывается уравнением Янга-Бакстера, решения которого хорошо известны в теории интегрируемых систем. Метод R-матриц, в отличие от метода скейн-соотношений, позвляет также вычислять инварианты более общего вида: так называемые раскрашенные полиномы ХОМФЛИ. Кроме того, есть надежда адаптипровать этот метод для изучения так называемых суперполиномов узлов.

В своем сообщении я подробно разберу простые примеры вычислений полиномов ХОМФЛИ с помощью скейн-соотношений и R-матриц, обращая внимание на сходство и различие этих методов, а также на различные тонкости приложения метода R-матриц к явному вычислению полиномов узлов. Затем я кратко сформулирую, с какими проблемами мы столкнулись, применяя этот метод, и как именно нам удалось продвинуться в их решении.
22 апреля 2015 А.Б.Жеглов

О коммутирующих дифференциальных операторах и соответствующих им геометрических спектральных данных

В докладе я планирую сделать небольшой обзор недавних результатов об известной задаче о классификации коммутативных колец дифференциальных операторов. Каждому такому кольцу соответствует набор геометрических спектральных данных. В случае колец обыкновенных дифференциальных операторов, согласно хорошо известной теореме Кричевера, эти данные состоят из спектральной кривой, дивизора или расслоения (собственных функций) на ней с нулевыми когомологиями, и некоторых данных тривиализации. При этом верно и обратное утверждение: по геометрическим данным можно построить соответствующее кольцо, причем никаких ограничений ни на геометрию кривой, ни на выбор расслоения нет. В случае колец дифференциальных операторов в частных производных это не так: появляются нетривиальные условия на спектральные данные, существенно ограничивающие геометрию спектрального многообразия и структуру пучка собственных функций. Я планирую рассказать об этих условиях, и проиллюстрировать их на примере рациональной квантовой системы Калождеро-Мозера. Доклад основан на совместных работах с Х.Курке, Д.Осиповым и И.Бурбаном
8 апреля 2015 А.В.Виноградов

Решение уравнения теплопроводности с помощью редукции к обыкновенным дифференциальным уравнениям

Доклад будет посвящен обыкновенным дифференциальным уравнениям четвертого и пятого порядков, решение которых позволяет получить решение уравнения теплопроводности с помощью специального анзаца, а также их связи с системой Дарбу-Альфана и другими квадратичными симметрическими динамическими системами.
1 апреля 2015 А.П.Веселов

Интегрируемые волчки и многогранники Сташефа

Я расскажу про связь пространства модулей некоторого класса многомерных интегрируемых волчков и известных многогранников Сташефа. Обобщения этого результата связывают вещественные подлагебры Годена и так называемые граф-ассоциэдры.

Доклад основан на совместных работах с Агирре и Фельдером.
25 марта 2015 Д.Н.Оскорбин

Об операторах кривизны на группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками

Одной из важных проблем римановой геометрии является установление связи между кривизной и топологией риманова пространства. Наиболее важными примерами в этом направлении являются теоремы Адамара-Картана, М.Громова, теорема о сфере, теорема сравнения углов треугольника А.Д.Александрова-В.А.Топоногова, исследования Дж.Милнора по кривизнам левоинвариантных римановых метрик на группах Ли и ряд других результатов.

В данной работе исследуются операторы кривизны: секционной, одномерной, Риччи, спектры данных операторов, функция delta-защемленности на группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой. В случае четырехмерных метрических групп Ли строятся обобщенные базисы Дж.Милнора, и вычисляются спектры вышеуказанных операторов.
18 марта 2015 Д.В.Туницкий

Разделение систем гидродинамического типа на блочно-треугольно взаимодействующие подсистемы

Доклад посвящен системам $n$ неоднородных уравнений гидродинамического типа с двумя независимыми переменными. Для таких систем имеет место восходящая к Г.Ф.Б.Риману геометрическая формализация, позволяющая сопоставить системе гидродинамического типа поле линейных операторов и векторное поле на соответствующем векторном расслоении. В терминах этих полей получен ряд признаков приведения неоднородных систем гидродинамического типа к блочно-треугольному виду и разделения их на блочно-треугольно взаимодействующие подсистемы. Эти признаки дополняют известные результаты О.И.Богоявленского о приведении однородных систем гидродинамического типа к блочно-диагональному виду и разделении их на невзаимодействующие подсистемы.
4,11 марта 2015 Д.В.Талалаев

Уравнение тетраэдра, когомологии тетраэдрального комплекса и квази-инварианты 2-узлов

В докладе пойдет речь о задаче построения инвариантов 2-узлов методами статистической физики. Ключевым объектом данных построений является решение уравнения тетраэдров. Оно играет роль, аналогичную уравнению Янга-Бакстера в задаче построения инвариантов 1-узлов.

Я расскажу о тетраэдральном комплексе, который определяется по решению теоретико-множественного уравнения тетраэдров. Он является обобщением комплекса Янга-Бакстера. Оказывается что с помощью некоторых классов когомологий данного комплекса можно строить квази-инварианты 2-узлов (инварианты по отношению к выделенному подмножеству движений Розмана √ аналога движения Рейдемейстера).

Также в докладе пойдет речь о трехмерных интегрируемых статистических моделях, связанных с решениями уравнения тетраэдров.
25 февраля 2015 В.В.Соколов (ИТФ им. Л.Д.Ландау)

Algebraic quantum Hamiltonians on the plane

We consider second order differential operators P with polynomial coefficients that preserve the vector space V_k of polynomials of degrees not greater then k. Additionally we assume that the metric associated with the symbol of P is flat and that the operator P is potential. In the case of two independent variables we obtain some classification results and find polynomial forms for the elliptic A_2 and G_2 Calogero-Moser Hamiltonians and for the elliptic Inozemtsev model.

М.Г.Матушко (ВШЭ)

Polynomial form for the elliptic A_n Calogero-Moser system

A conjecture on a change of variables that brings the A_n elliptic Calogero-Moser Hamiltonian to a polynomial form is formulated. In the case n=1,2,3 a proof is presented.
18 февраля 2015 R.Vitolo (University of Salento, Italy)

Projective-geometric aspects of homogeneous third-order Hamiltonian operators and applications to WDVV equations

In this talk we will consider third-order homogeneous Hamiltonian operators, introduced by B.A. Dubrovin and S.P. Novikov in 1984. It was recently found that they are in correspondence with quadratic line complexes, which are algebraic varieties in the space of all lines of a complex projective space. This enabled us to classify them in the 2 component case, and, using Segre-Weiler classification of quadratic line complexes, in the 3 component case. Third-order homogeneous operators appear in the formulation of WDVV equations as hydrodynamic-type systems. Thanks to a new set of compatibility conditions between the matrix of velocities of the system and third-order homogeneous Hamiltonian operators we are able to prove existence and uniqueness theorems of such operators for many WDVV systems. The remarkable fact that a quadratic line complex is attached to each WDVV system is maybe related with the underlying projective-geometric nature of the WDVV equations.

The talk is based on joint work with E.V.Ferapontov and M.V.Pavlov.
14 января 2015 А.В.Михайлов (University of Leeds and Skolkovo Institute of Science and Technology)

Darboux transformations and integrable differential--difference equations associated with Kac-Moody Lie algebras

It is well known that with every Kac-Moody Lie algebra one can associate an integrable two dimensional Toda type system. In paticular the sinh-Gordon equation corresponds to the algebra $A_1^{(1)}$, the Tzitzeica equation to $A_2^{(2)}$, the usual periodic Toda lattice to $A_n^{(1)}$, etc. In our work we construct integrable chains of Backlund transformations for Toda type systems associated with the classical families of Kac-Moody algebras and derive Darboux transformations for the corresponding Lax operators. We also discuss integrable finite difference systems corresponding to the Bianchi permutability of the Backlund transformations.
17 декабря 2014 Е.В.Ферапонтов (Loughborough University)

Dispersionless integrable systems in 3D and Einstein-Weyl geometry

For several classes of second-order dispersionless PDEs, we show that the symbols of their formal linearizations define conformal structures that must be Einstein-Weyl in 3D (or self-dual in 4D) if and only if the PDE is integrable by the method of hydrodynamic reductions. This demonstrates that the integrability of dispersionless PDEs can be seen from the geometry of their formal linearizations. Talk is based on joint work with Boris Kruglikov.
26 ноября 2014 P.Dehornoy (Fourier Institute, Grenoble)

Almost commensurability of 3-dimensional Anosov flows

Two flows are almost commensurable if, up to removing finitely many periodic orbits and taking finite coverings, they are topologically equivalent. We prove that all suspensions of automorphisms of the 2-dimensional torus and all geodesic flows on unit tangent bundles to hyperbolic 2-orbifolds are pairwise almost commensurable. The proof relies in particular on the existence of some specific genus one Birhoff sections for geodesic flows, a construction that we will explain.
19 ноября 2014 А.С.Скрипченко (ВШЭ)

Результаты Артура Авилы в тейхмюллеровой динамике

Артур Авила - франко-бразильский математик, который в 2014 году стал лауреатом премии Филдса. Я расскажу про некоторые его результаты, касающиеся перекладываний отрезков и свойств потока Тейхмюллера. Речь идет, в частности, о работе Артура и Джованни Форни о том, что почти все перекладывания являются слабо перемешивающими, и о доказательстве гипотезы Концевича-Зорича о простоте спектра их коцикла, которое Артур получил совместно с Марсело Вианой.
12 ноября 2014 Я.М.Дымарский

Расслоение на гиперповерхности семейства периодических краевых задач

Аннотацию доклада можно найти здесь.
29 октября 2014 Ф.Ф.Воронов (University of Manchester, UK; визитер Математической Научной Программы "Toric Topology and Integrability")

Нелинейный аналог обратного образа функций, морфизмы гомотопических алгебр и "микроформальная геометрия"

Морфизмы L-бесконечность алгебр (т.е., гомотопического аналога алгебр Ли) геометрически представляют собой нелинейные отображения супермногообразий. Конструкция подобных морфизмов --- нетривиальная задача. В поисках естественной конструкции для L-бесконечность морфизмов "гомотопических скобок Пуассона" мы обнаружили нетривиальный аналог поднятия функций относительно гладких отображений, который является формальным нелинейным отображением бесконечномерных функциональных (супер)многообразий. Это отображение строится методами гамильтонова формализма (или симплектической геометрии) типа производящих функций и обладает крайне любопытными свойствами. В частности, оно решает исходную задачу и связывает конечномерную геометрию "управляющих гамильтонианов" и бесконечномерную геометрию функциональных гомологических векторных полей. Можно представлять себе так, что обычная категория гладких (супер)многообразий вкладывается в некую "формальную категорию", которая является ее формальной окрестностью. Морфизмы этой формальной категории и индуцируют названные нелинейные отображения пространств гладких функций.
15 октября 2014 С.В.Смирнов (МГУ)

Интегрируемость по Дарбу дискретных цепочек Тоды

Еще в середине 19 века Лиувиллем было найдено общее решение уравнения u_xy=e^u. Затем классиками в связи с задачами дифференциальной геометрии активно изучались и другие гиперболические уравнения. В частности, в многотомном труде Дарбу по теории поверхностей (начало 20 века) можно встретить именно ту систему уравнений, которая более полувека спустя получила название ``двумеризованной цепочки Тоды''. В простейшем случае эта система сводится к уравнению Лиувилля. Новый импульс изучению подобных систем был придан со стороны теории интерируемых систем в последней четверти 20 века. Было показано, что не только цепочка, описанная в книге Дарбу, но и ее обобщения, соответствующие матрицам Картана простых алгебр Ли могут быть, подобно уравнению Лиувилля, полностью проинтегрированы.

В последние 25 лет в духе господствующего общего тренда были предложены различные дискретизации цепочек Тоды. Хабибуллиным (с соавторами) были построены полудискретный и дискретный аналоги цепочек Тоды, соответствующих матрицам Картана, и была доказана интегрируемость по Дарбу этих цепочек длины 2.

В докладе будет предложено два простых подхода, позволяющих строить интегралы вдоль характеристик для цепочек Тоды как в непрерывном, так и в (полу)дискретном случае и будет доказана полная интегрируемость по Дарбу цепочек серий A и C в (полу)дискретном случае.

Видео доклада доступно по ссылке.
8 октября 2014 А.В.Михайлов (University of Leeds, UK)

Finite reduction groups, automorphic Lie algebras and applications to integrable systems

We discuss structure and some classification results for automorphic Lie algebras associated with finite reduction groups. We construct Lax representations (zero curvature representations) corresponding to these automorphic algebras which lead to systems of integrable partial differential equations, as well as we construct a number of reduction group invariant Darboux transformations which lead to integrable differential difference and finite difference systems.

Видео доклада доступно по ссылке.
17 сентября 2014 В.А.Шастин (МГУ)

Метрика Дынникова на группах классов отображений

В докладе я расскажу о введенной И.А,Дынниковым метрике на группах классов отображений двумерных поверхностей и объясню, как эта метрика связана с метриками Липшица и Тейхмюллера на пространствах Тейхмюллера.
3 сентября 2014 С.К.Ландо (ВШЭ)

Доказательство Мирзахани гипотезы Виттена

Гипотеза Виттена (1991) утверждает эквивалентность двух моделей двумерной квантовой гравитации. С математической точки зрения, она означает, что производящая функция для индексов пересечений характеристических классов некоторых специальных линейных расслоений над пространствами модулей комплексных кривых с отмеченными точками является решением уравнения Кортевега--де Фриза (или, эквивалентно, всей иерархии уравнений КдФ). Уравнение КдФ можно понимать как рекуррентное соотношение на индексы пересечения. Известные к настоящему времени доказательства этой гипотезы используют либо гиперболическую геометрию двумерных поверхностей и их пространств модулей, либо являются чисто алгебро-геометрическими (как и предусматривает формулировка гипотезы). Доказательство М.Мирзахани содержится в двух работах 2007 года, составляющих ее диссертацию, и опирается на гиперболическую геометрию. Оно состоит из двух основных частей. Первая часть представляет собой формулу для объема Вейля--Петерссона пространства модулей $\overline{\cal M}_g(L_1,\dots,L_n)$; это пространство гиперболических метрик постоянной отрицательной кривизны~$-1$ на двумерных поверхностях рода~$g$ с~$n$ геодезическими границами длин $L_1,\dots,L_n$ соответственно. Формула Мирзахани дает выражение для объема через индексы пересечений на пространствах модулей стабильных комплексных алгебраических кривых рода~$g$ с~$n$ отмеченными точками~$\overline{\cal M}_{g;n}$. Получающаяся формула имеет вид многочлена от переменных~$L_1^2,\dots,L_n^2$, причем коэффициент при старшем члене этого многочлена --- индекс пересечения, входящий в гипотезу Виттена. Вторая часть доказательства это рекуррентное соотношение на объемы. По своей природе оно является соотношением топологической рекурсии, получаемой как результат вырезания пар штанов из поверхности. Это соотношение --- далекое обобщение формулы Г.~Макшейна для суммы по простым замкнутым геодезическим на данной поверхности некоторых явных выражений от их длин. Для старшего коэффициента многочлена объема соотношение топологической рекурсии оказывается эквивалентным рекуррентному соотношению КдФ.