Семинар ``Геометрия, топология и математическая физика"
(руководители С.П.Новиков, В.М.Бухштабер)

Среда, 18:30, ауд. 16-22

Аннотации докладов (2013/2014 учебный год)
3 сентября 2014 С.К.Ландо (ВШЭ)

Доказательство Мирзахани гипотезы Виттена

Гипотеза Виттена (1991) утверждает эквивалентность двух моделей двумерной квантовой гравитации. С математической точки зрения, она означает, что производящая функция для индексов пересечений характеристических классов некоторых специальных линейных расслоений над пространствами модулей комплексных кривых с отмеченными точками является решением уравнения Кортевега--де Фриза (или, эквивалентно, всей иерархии уравнений КдФ). Уравнение КдФ можно понимать как рекуррентное соотношение на индексы пересечения. Известные к настоящему времени доказательства этой гипотезы используют либо гиперболическую геометрию двумерных поверхностей и их пространств модулей, либо являются чисто алгебро-геометрическими (как и предусматривает формулировка гипотезы). Доказательство М.Мирзахани содержится в двух работах 2007 года, составляющих ее диссертацию, и опирается на гиперболическую геометрию. Оно состоит из двух основных частей. Первая часть представляет собой формулу для объема Вейля--Петерссона пространства модулей $\overline{\cal M}_g(L_1,\dots,L_n)$; это пространство гиперболических метрик постоянной отрицательной кривизны~$-1$ на двумерных поверхностях рода~$g$ с~$n$ геодезическими границами длин $L_1,\dots,L_n$ соответственно. Формула Мирзахани дает выражение для объема через индексы пересечений на пространствах модулей стабильных комплексных алгебраических кривых рода~$g$ с~$n$ отмеченными точками~$\overline{\cal M}_{g;n}$. Получающаяся формула имеет вид многочлена от переменных~$L_1^2,\dots,L_n^2$, причем коэффициент при старшем члене этого многочлена --- индекс пересечения, входящий в гипотезу Виттена. Вторая часть доказательства это рекуррентное соотношение на объемы. По своей природе оно является соотношением топологической рекурсии, получаемой как результат вырезания пар штанов из поверхности. Это соотношение --- далекое обобщение формулы Г.~Макшейна для суммы по простым замкнутым геодезическим на данной поверхности некоторых явных выражений от их длин. Для старшего коэффициента многочлена объема соотношение топологической рекурсии оказывается эквивалентным рекуррентному соотношению КдФ.
27 августа 2014 М.В.Павлов (ФИАН)

"Естественные" гидродинамические редукции уравнения Лин-Рейснер-Циен

Мы рассматриваем уравнение Лин-Рейснер-Циен известное в аэродинамике (1948), которое совпадает с уравнением Хохлова-Заболоцкой (в нелинейной акустике) и с бездисперсионным уравнением Кадомцева-Петвиашвили (в гидродинамике). Его решения, ранее найденные методом гидродинамических редукций, мы показываем как можно получить используя аппарат теории обобщенных функций (тета функция Хэвисайда и дельта-функция Дирака). Ключевой объект в данной конструкции -- кинетическое уравнение Власова и связанная с ним цепочка моментов Бенни, описывающая поведение длинных волн на поверхности жидкости конечной глубины.
20 августа 2014 П.Г.Гриневич (МГУ, ИТФ им. Ландау)

Задача Коши для уравнения Павлова

В настоящее время идет активное исследование многомерных интегрируемых уравнений с нулевой дисперсией (уравнений гидродинамического типа). В серии недавних работ Манакова и Сантина была предложена схема интегрирования таких уравнений, однако переход от формального уровня к строго-аналитическому оказался крайне сложной задачей. В данной работе мы решаем задачу Коши для простейшего модельного примера --- уравнения Павлова, по крайней мере в предположении достаточно малой нормы начальных данных. Доклад основан на совместной работе с П.М.Сантини и Д.Ву.
13 августа 2014 О.К.Шейнман (МИАН)

Алгебры операторов Лакса, градуировки полупростых алгебр и интегрируемые системы

В 2001 г. И.М.Кричевер определил операторы Лакса со спектральным параметром на римановой поверхности в терминах параметров Тюрина голоморфных расслоений на римановых поверхностях, и применил эту конструкцию к исследованию систем типа Хитчина/Калоджеро и их обобщений, в частности к доказательству их гамильтоновости. В 2006 г. в совместной работе И.М.Кричевера и автора были обнаружены мультипликативные свойства операторов Лакса этого класса, и построены их аналоги со значениями в классических алгебрах Ли. Рассматриваемые как мероморфные функции спектрального параметра, эти операторы образуют бесконечномерные алгебры Ли, непосредственно обобщающие алгебры петель. Они являются почти градуированными и обладают нетривиальными центральными расширениями. Из особых алгебр Ли позднее удалось построить алгебру операторов Лакса для G_2. Выяснилась следующая закономерность: замкнутость операторов Лакса относительно коммутатора и гамильтоновость соответствующих уравнений эквивалентны одним и тем же соотношениям на параметры Тюрина. Некоторые свойства операторов Лакса, такие как порядки их полюсов в точках Тюрина, оставались необъясненными. В докладе будет рассмотрена общая конструкция алгебр операторов Лакса для произвольной комплексной полупростой алгебры Ли, позволяющая дать единое доказательство их основных свойств. Будет показано как в рамках этой конструкции возникают параметры Тюрина, что вероятно указывает на связь голоморфных расслоений и полупростых алгебр Ли. Если позволит время, в аналогичных терминах будет дана конструкция M-операторов и сформулирована теорема о существовании коммутативной иерархии лаксовых уравнений.
6 августа 2014 А.Л.Скубачевский (РУДН)

О разрешимости первой смешанной задачи для уравнения Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре

Уравнения Власова-Пуассона описывают эволюцию потенциала самосогласованного электрического поля и плотностей распределения заряженных частиц высокотемпературной разряженной плазмы. Интерес к этим уравнениям связан прежде всего с их применением к описанию процессов управляемого термоядерного синтеза. Как известно, в случае попадания большого числа частиц на стенки вакуумной камеры термоядерного реактора может произойти разрушение реактора. Поэтому в теории плазмы возникает задача удержания плазменного шнура на некотором расстоянии от стенок вакуумной камеры. С точки зрения уравнений Власова-Пуассона необходимо найти решения с носителями, не пересекающимися с границей. Для этого используется достаточно сильное внешнее магнитное поле специального вида. В докладе будут сформулированы результаты о существовании стационарного решения первой смешанной задачи для системы уравнений Власова-Пуассона с носителем, лежащим строго внутри цилиндра, а также о существовании и единственности классического решения с подобным носителем, если начальные плотности распределения заряженных частиц мало отличаются от стационарно решения.
30 июля 2014 В.В.Голышев (ИППИ РАН)

Зеркальная симметрия и многообразия Фано

Я расскажу о продвижениях в программе, целью которой является классификация многообразий Фано посредством классификации зеркально двойственных вариаций (по совместной работе с Галкиным, Капчиком, Коутсом и Корти).
23 июля 2014 В.М.Бухштабер, Е.Ю.Нетай (МИАН)

Специальные послойно мультипликативные роды Хирцебруха. Особые алгебраические многообразия и эллиптические когомологии.

Род Хирцебруха L называется комплексным F-мультипликативным (далее для краткости F-мультипликативным), если L[M]=L[F]L[B] для любого расслоения p:M->B со слоем F, где p -- отображение стабильно комплексных многообразий. Известно, что род L является F-мультипликативным для любого стабильно комплексного многообразия тогда и только тогда, когда он задаётся классическим \chi_y-родом комплексных многообразий. В частности, задаёт род Тодда, сигнатуру, эйлерову характеристику. F-мультипликативный род L называется специальным, если L[F]=0. За последние 20 лет теория комплексных кобордизмов нашла новые приложения в проблеме алгебро-топологических инвариантов особых алгебраических многообразий. Как показал Burt Totaro, важную роль в этом играют специальные F-мультипликативные роды, где F -- стабильно комплексные многообразия, диффеоморфные комплексным проективным пространствам \mathbb{C}P(n). Теория таких родов оказалась тесно связанной с теорией функций на семействах эллиптических кривых. В настоящее время здесь наиболее известным является род Кричевера, задаваемый функцией Бейкера--Ахиезера, который является универсальным специальным \mathbb{C}P(3)_*-мультипликативным родом, где \mathbb{C}P(3)_* -- это \mathbb{C}P(3) с канонической SU(2)-структурой. Частным случаем рода Кричевера является знаменитый род Ошанина, задаваемый эллиптическим синусом Якоби. Недавно в наших работах был построен универсальный специальный \mathbb{C}P(2)-мультипликативный род. Он представляет собой двупараметрическое семейство эллиптических родов, в которое не входит род Ошанина. Получен явный вид соответствующей формальной группы и, в качестве следствия, построена эллиптическая теория когомологий с кольцом скаляров \mathbb{Z}_{(2)}[a,b], где \mathbb{Z}_{(2)} -- кольцо целых 2-адических чисел, \deg a =-2, \, \deg b =-6. Неожиданным и важным оказалось то,что наш специальный \mathbb{C}P(2)-мультипликативный род реализуется в виде рода Кричевера, то есть является также специальным \mathbb{C}P(3)_*-мультипликативным родом.
7 мая 2014 Ф.Ф.Вороновъ (Manchester University, UK)

Об объемах некоторых классических супермногообразий

В суперслучае объем (определяемый по метрике или симплектической структуре) выражается через березинский интеграл и может проявлять неожиданные свойства. Например, быть нулем для нетривиального супермногообразия. Так, Березин обнаружил (в 1970-е гг.), что полная мера Хаара унитарной супергруппы равна нулю. Исходя из своих соображений, Виттен недавно предположил, что тождественно нулевым будет лиувиллев объем для всякого компактного супермногообразия с четной симплектической структурой. Это не так; и в качестве контрпримера можно взять супераналог комплексного проективного пространства с формой Фубини-Штуди. Сам вид формулы для объема оказывается весьма интересным. Его можно понимать как аналитическое продолжение формулы для обычного комплексного проективного пространства. Такая же ситуация для некоторых других классических супермногообразий (типа многообразия Штифеля). Мы опишем эти примеры и, в частности, дадим простое объяснение (и обобщение) утверждения Березина про объем унитарной супергруппы. Недавно к аналитическим формулам для объемов (для групп Ли) возник интерес с другой стороны, а именно в работах Мкртчяна и Веселова, исходивших из физических мотивировок и теории "универсальной алгебры Ли" Вожэ-Делиня. Возможно, тут есть связь.
7 мая 2014 М.В.Павлов (ФИАН)

Бигамильтонова структура кинетического уравнения Власова

Мы показываем, как развивая подход, предложенный Джоном Гиббонсом, можно построить би-Гамильтонову структуру для кинетического уравнения Власова, связанного с цепочкой Бенни.
16,23 апреля 2014 В.В.Голышев (ИППИ РАН)

Гамма-гипотеза для трехмерных многообразий Фано ранга 1

Задавшись трехмерным многообразием Фано с одномерной решеткой вторых когомологий, мы напомним, как построить его квантовое дифференциальное уравнение. Мы покажем, как извлечь из этого уравнения гамма-класс многообразия: сформулируем гамма-гипотезы I и II и докажем гамма-гипотезу I в частном случае многообразия V_12, пользуясь связью с уравнением Апери, играющим ключевую роль в доказательстве иррациональности zeta (3)(совместная работа с Д. Загиром).
26 марта 2014 Д.В.Артамонов (МГУ)

W-алгебры и высшие аналоги уравнения Книжника-Замолодчикова

При выводе уравнения Книжника-Замолодчикова в теории WZW ключевую роль играет тензор энергии-импульса, построенный по центральному элементу Казимира второго порядка в универсальной обертывающей алгебре для соответствующей алгебры Ли. В докладе будет рассказано о возможности построения аналогов уравнения Книжника-Замолодчикова на основе центральных элементов высших порядков. Рассматриваются элементы Гельфанда третьего порядка для простой алгебры Ли серии A и элементы Капелли четвертого порядка для серий B, D. В первом случае такое построение оказывается невозможным, во втором удается получить желаемое уравнение.

Доклад основан на совместной работе с В.А. Голубевой.
19 марта 2014 П.Г.Гриневич (МГУ)

Строго положительные грассманианы и вырожденные M-кривые

Как известно, решения иерархии KP-2, получающиеся из тривиального n-кратным преобразованием Дарбу, регулярны тогда и только тогда, когда сответствующая точка грассмианиана может быть реализована матрицей, у которой все главные миноры неотрицательны. Мы показываем, что эти решения, по крайней мере для клетки максимальной размерности (все максимальные миноры строго положительны), отвечают некоторой вырожденной M-кривой. В докладе будут изложены результаты, полученные совместно с S.Abenda.
12 марта 2014 А.Е.Миронов (НГУ)

Интегрируемые геодезические потоки на двумерном торе

На двумерном торе существуют два вида метрик c интегрируемыми геодезическими потоками, при этом первые интегралы являются полиномами первой или второй степени по импульсам. Существование интегрируемых метрик с полиномиальными по импульсам интегралами степени больше чем два - открытая проблема. В докладе эта проблема будет обсуждаться с точки зрения полугамильтоновых систем квазилинейных уравнений. В частности будет показано, что интегрируемые метрики с полиномиальными интегралами четвертой степени отвечают критичеким точкам некоторого специального функционала, уравнение Эйлера-Лагранжа которого имеет формальные периодические решения в виде степенных рядов по малому параметру. Результаты получены совместно с М.Бялым.
5 марта 2014 А.Морозов (МГУ)

Вычисления в теории узлов

В данном докладе мы рассмотрим метод Тураева-Решетихина для вычисления полиномов ХОМФЛИ. Этот метод основан на использовании R-матриц (решений уравнения Янга-Бакстера). Также мы опишем метод эволюции, позволяющий получить ответы для раличных серий узлов.
26 февраля 2014 Н.А.Тюрин (ОИЯИ, ВШЭ)

Псевдоторические структуры и экзотические лагранжевы торы

Псевдоторическая структура на симплектическом многообразие была введена как обобщение торической структуры. А именно, если на симплектическом многообразии имеется неполный набор первых интегралов, то можно попробовать построить семейство подмногообразий, каждое из которых при ограничении набора первых интегралов становится вполне интегрируемой системой, а само семейство параметризуется другим торическим многообразием. Иными словами основную идею можно выразить так: прямое произведение двух торических многообразий является торическим, но если произведение "скрученное", то можно получить не торическое, а псевдоторическое многообразие (скрученность здесь аналогична топологической нетривиальности расслоения).

Неожиданно оказалось, что экзотические лагранжевы торы, предложенные Ю. Чекановым в случае C^n, CP^n и некоторых других, имеют очень естественное описание в терминах псевдоторической структуры. В связи с этим кажется возможным строить экзотические лагранжевы торы типа Чеканова на произвольных торических многообразиях.

В докладе я приведу полное определение псевдоторической структуры, представлю примеры таких структур на торических и неторических многообразиях, и покажу, как экзотический лагранжев тор может быть получен в рамках псевдоторической геометрии.
19 февраля 2014 А.А.Гайфуллин (МГУ, МИАН)

Изгибаемые кросс-политопы и эллиптические функции Якоби.

В 1897 году Р. Брикар нашел три типа изгибаемых самопересекающихся октаэдров в трехмерном евклидовом пространстве. С тех пор этот результат обобщался в нескольких направлениях. Во-первых, были построены примеры несамопересекающихся изгибаемых многогранников (первый пример принадлежит Р. Коннелли, 1977). Во-вторых, были построены аналоги октаэдров Брикара в пространстве Лобачевского и в сферическом пространстве. В-третьих, были предприняты попытки построения изгибаемых многогранников в старших размерностях. До недавнего времени эти попытки удавались только в размерности 4, где были построены изгибаемые самопересекающиеся кросс-политопы (А. Вальц, 1998, Х. Штахель, 2000). Высказывалось предположение, что в размерностях 5 и выше изгибаемых многогранников не бывает, так как возникающие системы алгебраических уравнений на длины ребер становятся "слишкомсильно переопределенными". Это предположение оказалось неверным. В докладе будет рассказана конструкция изгибаемых самопересекающихся кросс-политопов в пространствах постоянной кривизны (евклидовом, сферическом и пространстве Лобачевского) произвольных размерностей. Более того, будет дана классификация всех изгибаемых кросс-политопов.

Конструкция почти всех типов изгибаемых кросс-политопов (точнее, всех, кроме одного) опирается на теорему сложения для эллиптической функции Якоби dn. В теории изгибаемых многогранников эллиптические функции Якоби впервые были использованы И.В. Изместьевым для параметризации изгибаемых четырёхугольников на двумерной сфере. В докладе будет рассказано, как эллиптические функции возникают в задачах об изгибаемости.
15 января 2014 И.М.Кричевер (ИТФ, ВШЭ)

Спектральная теория периодических верхнетреугольных разностных операторов и ее приложения.

В последнее время разностные уравнения вида V_+a_i^1 V_{i+1}+...+a_i^k V_{i+k}+V_{i+k+1}=0 с n-периодическими коэффициентами привлекли повышенное внимание и объединили многочисленные исследование в теории интегрируемых систем, в работах по кластерным алгебрам, в теории "friezed patterns". Оказывает, что исходное уравнение допускает естественное введение спектрального пераментра, позволяющее связать эту задачу с теорией коммутируюших разностных операторов, которая проясняет ряд недавних результатов.
9 января 2014 (четв) А.С.Холево (МИАН)

О проблеме гауссовских оптимизаторов в квантовой теории информации.

В классическом анализе известен результат, который кратко формулируется следующим образом: гауссовские ядра имеют (только) гауссовские максимизаторы (Либ, основываясь на работах Бабенко, Бекнера, Карлена и др.). Речь идет о том, что норма интегрального оператора из L_p в L_q с гауссовским ядром (при определенных ограничениях) достигается (только) на гауссовской функции.

Некоммутативным аналогом такого гауссовского оператора является бозонный гауссовский канал --- вполне положительное отображение Ф алгебры канонических коммутационных соотношений. Недавно,после двенадцатилетних усилий, было найдено решение гипотезы о квантовых гауссовских оптимизаторах: показано, что спектр образа любого состояния при отображении Ф мажорируется спектром образа когерентного состояния (чистого квантового гауссовского состояния), причем когерентные состояния характеризуются этим свойством. Отсюда вытекают соответствующие следствия для некоммутативных L_p-норм (норм Шаттена), а также выходных энтропий Реньи и фон Неймана отображения Ф, что позволяет дать явные выражения для пропускной способности моделей каналов связи, наиболее употребительных в квантовой оптике.

Необходимые сведения из квантовой теории информации будут введены по ходу доклада.
25 декабря 2013 М.В.Павлов (ФИАН)

Benney hydrodynamic chain.

We consider relationships between hydrodynamics (Euler equations, better to say their special case: the Benney system), plasma physics (Vlasov kinetic (or collisionless Boltzmann) equation), classical mechanics, aerodynamics (Lin-Reissner-Tsien equation, also known as Khokhlov-Zabolotskaya equation in nonlinear acoustic, or a dispersionless limit of the Kadomtsev-Petviashvili equation) field theory (the associativity WDVV equation), and Laplacian Growth (Loewner equations).
11 декабря 2013 М.А.Карпухин (МГУ)

Максимизация первого собственного значения Лапласиана на компактных поверхностях.

Спектр оператора Лапласа - один из важнейших инвариантов риманова многообразия. Например, минимальные подмногообразия в сферах тесно связаны с задачей нахождения максимума собственных значений на пространстве метрик единичной площади. До недавнего времени, эта задача была решена для крайне ограниченного множества номеров собственных значений на поверхностях неотрицательной эйлеровой характеристики. В докладе будет рассказано решение этой задачи для ориетированной поверхности рода 2. Доклад будет понятен студентам, знакомым с элементарной дифференциальной геометрией.
4 декабря 2013 А.А.Белавин (ИТФ им. Л.Д.Ландау)

Инстантоны, статистические суммы Некрасова и конформная теория поля II.

1.Неабелевые калибровочные поля и инстантоны.

2.Уравнение самодуальности и лемма АВ-БЗ .

3.АДХМ конструкция инстантонов.

4.Пространство модулей инстантонов.

5.Эквивариантные когомологии на пространстве модулей инстантонов.

6.Эквивариантный интеграл по пространству модулей инстантонов.

7.Теорема о локализации.

8.Действие тора на пространстве модулей инстантонов и его фиксированные точки.

9.Инстантонная статсумма Некрасова,явное выражение для нее.

10.Стасумма Некрасова и препотенциал Зайберга-Виттена.

11.АГТ соответствие: Стасумма Некрасова и Конформный блок.

12.Инстантоны , W-алгебры и интегрируемые системы.
27 ноября 2013 О.Г.Смолянов (МГУ)

Формулы Фейнмана и Фейнмана-Каца и их применения.

Формулами Фейнмана называются представления некоторых функций, связанных с эволюционными дифференциальными и псевдодифференциальными уравнениями, с помощью пределов интегралов по конечным декартовым степеням подходящего пространства. Формулами Фейнмана-Каца называются представления тех же функций с помощью интегралов по пространствам функций одномерного или конечномерного аргумента, принимающих значения в том же прострастве. Формулы Фейнмана определяют конечномерные приближения бесконечномерных интегралов из формул Фейнмана-Каца.

В докладе предполагается привести формулы Фейнмана и Фейнмана-Каца для некоторых полугрупп и групп Шредингера, а также для регуляризованных следов дифференциальных операторов. Кроме того, предполагается описать связь таких формул с так называемыми поверхностными мерами на множествах функций вещественного аргумента, принимающих значения в подмногообразиях евклидовых пространств. Поверхностные меры порождаются вероятностными мерами на прстранствах функций в объемлющих евклидовых пространствах, описывающими диффузии в этих пространствах.
20 ноября 2013 А.А.Белавин (ИТФ им. Л.Д.Ландау)

Инстантоны, статистические суммы Некрасова и конформная теория поля I.

1.Неабелевые калибровочные поля и инстантоны.

2.Уравнение самодуальности и лемма АВ-БЗ .

3.АДХМ конструкция инстантонов.

4.Пространство модулей инстантонов.

5.Эквивариантные когомологии на пространстве модулей инстантонов.

6.Эквивариантный интеграл по пространству модулей инстантонов.

7.Теорема о локализации.

8.Действие тора на пространстве модулей инстантонов и его фиксированные точки.

9.Инстантонная статсумма Некрасова,явное выражение для нее.

10.Стасумма Некрасова и препотенциал Зайберга-Виттена.

11.АГТ соответствие: Стасумма Некрасова и Конформный блок.

12.Инстантоны , W-алгебры и интегрируемые системы.
6 ноября 2013 А.С.Скрипченко (МГУ)

Бильярды в многоугольниках с односторонней перегородкой.

Мы рассмотрим бильярд на квадратном столе с вертикальной перегородкой, которая с одной стороны является прозрачной, а с другой - отражает траекторию в соответствии со стандартным законом геометрической оптики. Я расскажу, как такие бильярды связаны с двойными вращениями - маломерным случаем отображений сдвигов отрезков (Interval Translation Mappings), которые обобщают перекладывания отрезков. Кроме того, мы обсудим типичное поведение траекторий таких бильярдов, их эргодические свойства и некоторые вопросы сложности для этих траекторий.
30 октября 2013 П.Г.Гриневич (МГУ)

Дискретные операторы Шредингера на триангулированных многообразиях, преобразования Лапласа и электрические цепи.

В докладе будут изложены новые результаты авторов по теории операторов второго порядка на триангулированных многообразиях с черно-белой раскраской. Исследование таких операторов было начато Новиковым и Дынниковым в 1997. Недавно нами было получено полное описание SL(n) связностей, а также показано, что преобразования Лапласа в специальной калибровке можно интерпретировать как преобразования звезда-треугольни для электрических цепей.
9 октября 2013 М.Б.Скопенков (ИППИ РАН)

Дискретные римановы поверхности: результаты о сходимости

В последнее время активно изучаются различные дискретизации комплексного анализа, предложенные Р. Исааксом-Ж.Ферранд-Р. Даффином-Х. Мерка, И.А. Дынниковым-С.П. Новиковым, У. Терстоном и другими. Доклад посвящен комплексному анализу на триангуляциях, восходящему к Ж.Ферранд. Доказаны сходимость дискретных матриц периодов и дискретных абелевых интегралов к их непрерывным аналогам при неограниченном измельчении триангуляции. Также получен дискретный аналог теоремы Римана-Роха. Доказательства основаны на энергетических соображениях, подсказанных теорией электрических цепей.

В докладе будут представлены совместные с А.И.Бобенко результаты.
2 октября 2013 K.Kaipa

Symplectic Hodge-Lepage decomposition in positive characteristic

Let LG(n,V) denote the Lagrangian Grassmannian of a symplectic vector space V of dimension 2n. What is the "correct" projective space into which LG(n,V) embeds? By correct we mean non-degeneracy: No hyperplane should contain the image of the embedding.In characteristic zero, the desired projective space is simply the subspace of the projective n-th exterior power of V for which interior multiplication with the symplectic form vanishes. In positive characteristic, it turns out that this embedding is in general degenerate. Nondegeneracy is important for construct linear error correcting codes associated with LG_n(V) over finite fields. We determine the 'correct' subspace by developing an analogue -for the case of positive characteristic- of the classical Lepage decomposition of the exterior algebra of V (used for example in the context of Monge-Ampere type PDEs).
18 сентября 2013 А.В.Виноградов

Уравнение теплопроводности и тест Пенлеве

Говорят, что обыкновенное дифференциальное уравнение обладает свойством Пенлеве, если его общее решение в области определения задается однозначной функцией. Свойство Пенлеве эквивалентно тому, что все критические точки общего решения не зависят от начальных данных. Для того, чтобы уравнение обладало свойством Пенлеве, необходимо, чтобы оно проходило так называемый тест Пенлеве. В.М.Бухштабер и Е.Ю.Нетай предложили $n$-анзац для решения уравнения теплопроводности $$ \frac{\partial}{\partial t}\psi(z,t)=\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial z^2}\psi(z,t), $$ где $n=0,1,2,\dots$ Этот анзац приводит к однородной полиномиальной динамической системе в $n$-мерном пространстве. По этой системе в случае общего положения строится нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение порядка $n+1$, решение которого определяет решение уравнения теплопроводности. Доклад посвящен задаче: найти условия на значения параметров этого дифференциального уравнения, при которых оно выдерживает тест Пенлеве. В случаях $n=0,1,2$ решение этой задачи было известно. Будет дан полный ответ для $n=3,5$, а также частичный ответ для $n=4$.
4 сентября 2013 А.В.Пенской

Метрики, экстремальные для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами

Естественным вопросом спектральной геометрии является вопрос о том, для какой метрики на данной замкнутой поверхности собственное число номер n принимает максимально возможное значение. Данный вопрос является очень сложным и в настоящее время полный ответ известен только для первого собственного числа на поверхностях рода 0 и 1. Более широкой постановкой является вопрос об изучении метрик, экстремальных для функционала, сопоставляеющего метрике собственное число номер n оператора Лапласа-Бельтрами. В недавних работах докладчика предлагается метод нахождения экстремальных метрик, основанный на связи изучаемого вопроса с минимальными поверхностями в сферах и классическими результатами из дифференциальных уравнений.