Семинар ``Геометрия, топология и математическая физика"
(руководители С.П.Новиков, В.М.Бухштабер)

Среда, 18:30, ауд. 16-22

Аннотации докладов (2012/2013 учебный год)
4 сентября 2013 А.В.Пенской

Метрики, экстремальные для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами

Естественным вопросом спектральной геометрии является вопрос о том, для какой метрики на данной замкнутой поверхности собственное число номер n принимает максимально возможное значение. Данный вопрос является очень сложным и в настоящее время полный ответ известен только для первого собственного числа на поверхностях рода 0 и 1. Более широкой постановкой является вопрос об изучении метрик, экстремальных для функционала, сопоставляеющего метрике собственное число номер n оператора Лапласа-Бельтрами. В недавних работах докладчика предлагается метод нахождения экстремальных метрик, основанный на связи изучаемого вопроса с минимальными поверхностями в сферах и классическими результатами из дифференциальных уравнений.
28 августа 2013 А.И.Буфетов

Предельные теоремы для потоков на поверхностях, потоков орициклов и динамических систем, связанных с замощениями

Доклад будет посвящен предельным теоремам для некоторых классов "параболических" динамических систем. В отличие от центральной предельной теоремы, имеющей место для гиперболических систем, в рассматриваемых случаях предельные распределения имеют компактный носитель. Ключевую роль здесь играет ренормализация, в случае плоских поверхностей осуществляемая потоком Тейхмюллера в пространстве модулей абелевых дифференциалов. Результаты о потоках орициклов --- совместные с Дж. Форни. Результаты о замощениях --- совместные с Б. Соломяком.

Доклад основан на работах
http://annals.math.princeton.edu/articles/7111
http://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2Fs00220-012-1624-7.pdf
http://arxiv.org/abs/1104.4502
21 августа 2013 А.И.Нейштадт

Прохождение через резонансы и захват в резонанс в динамике заряженных частиц

Малые возмущения, наложенные на интегрируемую систему, вызывают медленную эволюцию. В ходе этой эволюции система может проходить через состояние резонанса. Явление захвата в резонанс состоит в том, что система начинает эволюционировать так, чтобы поддерживалась раз возникшая резонансность. Класс возмущений, при которых возникает это явление, включает и негамильтоновы возмущения, и медленное изменение параметров гамильтоновых систем. В докладе будет рассказано об этом явлении и о примерах захвата в резонанс в задачах ускорения заряженных частиц.
14 августа 2013 Б.С.Павлов

О расширениях диссипативных операторов с приложением к моделированию динамики тектонических плит под действием локализованного стресса

Razmer aktivnoj zony (ochaga) zemletrjasenija ~ 100 km ~ pozvoljaet modelirovat sootvetstvujuschuju dinamiku otnositel'no tonkoj (100- 200 km.) i protjazhennoj (do 5000- 7000 km ) tectonicheskoj plity v oblasti poperechnyh voln pod dejstviem lokalizovannogo stressa metodami teorii vzaimodejstvij nulevogo radiusa , na baze postroennoj nami versiji teorii rasshirenij dlja dissipativnyh operatorov. Sootvetstvujuschaja model' nulevogo radiusa poluchaetsja iz principa Saint-Venant'a metodami teorii rasshirenij dissipativnyh operatorov i mozhet byt' fitirovana ishodja iz monitoringa zatuhajuschih seismo- gravitatsionnyh kolebanij- sobstvennyh kolebanij plity. Eto pozvoljaet opisat' structuru ochaga zemletrjasenija naborom parametrov Saint-Venant'a i otsenit' rost zapasa uprugoj energii na dannoj plite s techeniem vremeni a takzhe, ozhidaemuju moschnost' sootvetstvujuschego zemletrjasenija. Sravnenie reguljarnogo monitoringa sejsmo-gavitatsionnyh kolebanij modulirovannyh stressami v activnyh zonah s dinamikoj sootvetstvujuschih fitirovannyh modelej pomozhet razvit' metodiku kratkovremennogo prognoza ozhidaemyh zemletrjasenij i tsunami.
7 августа 2013 С.М.Натанзон

Симметричные решения бездисперсионной 2D-Тода иерархии и числа Гурвица

Каждой гладкой функции от одной переменной конструктивно сопоставляется формальное решение бездисперсионной 2D-Тода иерархии. Простейшее из такого типа решений совпадает с производящей функцией для 2-чисел Гурвица рода 0. Доклад основан на совместной работе с Антоном Зарубиным.
31 июля 2013 Б.А.Дубровин

Инварианты Громова-Виттена и интегрируемые системы топологического типа

В докладе будет изложена конструкция интерируемых иерархий топологического типа применительно к теории инвариантов Громова-Виттена гладких проективных многообразий.
17 июля 2013 В.В.Веденяпин

Энтропия в кинетической и эргодической теориях

Рассматривается теорема о росте энтропии для уравнений марковских процессов и химичекой кинетики в классическом и квантовом случае, и для уравнения Лиувилля. Обсуждаеися теорема: временные средние совпадают с экстремалями Больцмана.
13 июня 2013 М.В.Павлов

Классические механические системы с полутора степенями свободы и кинетическое уравнение Власова

Показано, что описание систем, интегрируемых по Лиувиллю с "полутора степенями свободы", связано с описанием гидродинамической цепочки моментов Бенни. Таким образом, показано, что в этом случае интегрируемые по Лиувиллю системы описываются с произволом в 2N функций одного аргумента для каждого N.
6 июня 2013 П.Г.Гриневич, С.П.Новиков

SL(2) связности, самосопряженные дискретные операторы и электрические цепи

Найдена полная характеризация подкласса SL(2) в классе GL(2) связностей, введённых в предыдущих работах. Исследована связь SL(2) связностей с теорией самосопряженных разностных операторов Шредингера на треугольных решетках. Исследована связь дискретных симметрий типа Лапласа для этих операторов с преобразованиями звезда-треугольник для электрических цепей, введёнными в конце 19 века.
24 апреля 2013 П.В.Бибиков

О геометрии дифференциальных уравнений Абеля

В докладе будет изложен результат, связанный с классификацией обыкновенных дифференциальных уравнений Абеля первого порядка, т.е. уравнений вида a_0(x,y)*y'^n a_1(x,y)*y'^{n-1} ... a_n(x,y)=0. Эти уравнения являются простейшими (и, возможно, наиболее важными) неявными дифференциальными уравнениями. Они связаны с различными другими вопросами, в частности, с непорядоченными тканями на плоскости и с символами линейных дифференциальных операторов.

Я предлагаю новый подход к изучению уравнений Абеля, основанный на рассмотрении симметрических дифференциальных форм на плоскости (x,y) (этот подход аналогичен подходу В.В. Лычагина для классических уравнений Монжа-Ампера). Тем самым проблема сводится к алгебраической задаче классификации одндродных форм на кокасательном пространстве T*R^2 относительно диффеоморфизмов плоскости R^2, решение которой может быть получено с помощью наших результатов с В.В. Лычагиным по классификации бинарных форм.
17 апреля 2013 Д.А.Попов

О втором члене в формуле Вейля для оператора Лапласа на замкнутом двумерном римановом многообразии.

Пусть N(x) --- число собственных значений, меньших $x$. Хермандер доказал, что в формуле Вейля N(x)=Ax+P(x) имеет место оценка P(x)=O(x^{-1/2}) при x\to\infty. Говорят, что P(x) допускает степенное понижение, если P(x)=O(x^{\theta+\varepsilon}) для любого \varepsilon>0 при \theta<\frac{1}{2}. В докладе рассматривается вопрос о связи геометрии геодезического потока с возможностью степенного понижения. Будет дан обзор имеющихся результатов и гипотез. В частоности, на примере римановой поверхности с метрикой постоянной отрицательной кривизны будет рассмотрен случай с интегрируемым геодезическим потоком.
10 апреля 2013 А.Е.Миронов

Разностные операторы Кричевера-Новикова.

В докладе будет рассказано о задаче построения коммутативных колец разностных операторов. В случае гиперэллиптических спектральных кривых (при некоторых дополнительных ограничениях) получены уравнения, эквивалентные уравнениям Кричевера-Новикова на параметры Тюрина. С помощью этих уравнений найдены примеры коммутирующих разностных операторов ранга два, отвечающие спектральным кривым произвольного рода. В частности, найдены операторы с полиномиальными по дискретной переменной коэффициенты. Результаты получены совместно с Г.Маулешовой.
3 апреля 2013 В.В.Соколов

Интегрируемые дифференциальные уравнения с матричными неизвестными II.

Кратко обсудив свойства матричного уравнения КдВ, мы рассмотрим системы ОДУ с матричными неизвестными. Правые части уравнений в таких системах - это некоммутативные многочлены или многочлены Лорана от матричных переменных x_1,...,x_n. Первыми интегралами являются следы некоторых многочленов от этих переменных. Будет рассмотрен специальный класс скобок Пуассона, задающий гамильтоновы структуры для таких систем. Эти скобки фактически неизвестны в матфизике. Они тесно связаны с ассоциативным классическим уравнением Янга-Бакстера, двойными скобками Пуассона, недавно введенными Ван ден Бергом, и ассоциативными анти-фробениусовыми алгебрами. Все эти понятия предполагается обсудить.
27 марта 2013 И.К.Бабенко

Подгруппа голоморфных ростков в группе формальных степенных рядов.

В докладе будет рассказано о структуре группы формальных степенных рядов от одной переменной. Также будет рассказано о её естественной подгруппе состоящей из рядов с положительным радиусом сходимости. Многие классические проблемы анализа, как, например, проблема Зигеля, будут проинтерпретированы с точки зрения вложения подгруппы в топологическую группу.
20 марта 2013 М.А.Карпухин

Геометрическая оптимизация спектра оператора Лапласа на двумерных поверхностях.

Для фиксированной двумерной поверхности M i-тое собственное значение lambda_i оператора Лапласа может рассматриваться как функционал на пространстве метрик единичной площади. Одной из труднейших задач спектральной геометрии является поиск супремума этого функционала. В частности, ответ неизвестен ни для одного номера i, если род M превосходит единицу. В докладе будет рассказано о связи экстремалей функционала lambda_i с минимальными подмногообразиями в сферах, а также о недавно построенных примерах экстремальных метрик на торе и бутылке Клейна.
13 марта 2013 А.В.Пенской

О некоторых задачах спектральной геометрии.

Статья Марка Каца 1966 года ``Можно ли услышать форму барабана?'' вызвала в свое время волну интереса к спектральной геометрии --- восходящей еще к Рэлею и Герману Вейлю области математики, находящейся на стыке дифференциальной геометрии, дифференциальных уравнений и функционального анализа. Спектральная геометрия изучает связь геометрии областей или многообразий с собственными числами оператора Лапласа--Бельтрами (и родственных операторов), а также с геометрией нулей соответствующих собственных функций. В наше время неформально спектральную геометрию можно определить как науку о том, как слышать форму и видеть звук. В докладе будет дан обзор некоторых современных задач и результатов в спектральной геометрии. Большая часть доклада доступна для понимания старшекурсников.
6 марта 2013 В.В.Соколов

Интегрируемые дифференциальные уравнения с матричными неизвестными I.

Кратко обсудив свойства матричного уравнения КдВ, мы рассмотрим системы ОДУ с матричными неизвестными. Правые части уравнений в таких системах - это некоммутативные многочлены или многочлены Лорана от матричных переменных x_1,...,x_n. Первыми интегралами являются следы некоторых многочленов от этих переменных. Будет рассмотрен специальный класс скобок Пуассона, задающий гамильтоновы структуры для таких систем. Эти скобки фактически неизвестны в матфизике. Они тесно связаны с ассоциативным классическим уравнением Янга-Бакстера, двойными скобками Пуассона, недавно введенными Ван ден Бергом, и ассоциативными анти-фробениусовыми алгебрами. Все эти понятия предполагается обсудить.
27 февраля 2013 В.М.Бухштабер

Числа вращений динамических систем на торе, ассоциированных с резистивной моделью перехода Джозефсона.

Доклад посвящен результатам, полученным совместно с О.\,В.\,Карпо\-вым и С.\,И.\,Тертычным. В центре внимания будет классическое число вращений динамической системы на торе. Мы покажем, что для чисел вращения динамических систем на торе, ассоциированных с резистивной моделью перехода Джозефсона, имеет место эффект квантования. Будут вычислены числа вращений для систем, описанные в предыдущем докладе. Все определения, необходимые для понимания доклада, будут даны в ходе доклада.
20 февраля 2013 В.М.Бухштабер

Семейство явных решений уравнений резистивной модели перехода Джозефсона.

Доклад посвящен результатам, полученным недавно в совместной работе с С.И.Тертычным. Получено и исследовано семейство решений нелинейного дифференциального уравнения первого порядка, находящего применение в ряде областей физики, механики и дифференциальной геометрии. Семейство строится по полиномиальным решениям дважды конфлюентного уравнения Гойна (Хейна, Heun equation), ассоциированного с данным уравнением. Описано многообразие полученных решений и его связь с многообразием вещественных трехдиагональных матриц. Даны явные формулы для числа вращений и отображения Пуанкаре динамической системы на торе, соответствующей рассматриваемому уравнению. Все определения, необходимые для понимания доклада, будут даны в ходе доклада.
23 января 2013 А.П.Веселов

Универсальные формулы в теории алгебр Ли и Черна-Саймонса.

Исходя из теории инвариантов Васильева, Вожель нашел интересный способ параметризации всех простых алгебр Ли тремя параметрами, определенными с точностью до общего множителя и перестановок. Формула для численной характеристики алгебры Ли, написанная в терминах параметров Вожеля, называется универсальной (пример - размерность алгебры Ли). В докладе будут приведены новые примеры универсальных формул для значений двух серий Казимиров в присоединенном представлении, а также для некоторых величин в теории Черна-Саймонса, полученные в совместых работах с Р.Л. Мкртчяном и А.Н. Сергеевым.
16 января 2013 В.В.Веденяпин

О движении твердого тела в сопротивляющейся среде.

Со времен Эйлера задача о движении твердого тела является классической, и для нее находятся все новые и новые приложения. Мы рассматриваем задачу о движении твердого тела в газе, когда оно с ним реагирует неоднородно по поверхности. Такое рассмотрение приводит к математическим моделям многих явлений --- движения аэрозолей, горения, фотофореза и других видов "форезов": магнитофореза, электрофореза и т.д. Фотофорезом называется движение частиц под действием света. Будет предложена математическая можель всего этого круга явлений.
9 января 2013 А.А.Гайфуллин

Обобщение теоремы Сабитова на случай многогранников произвольной размерности.

Классическая формула Герона выражает площадь треугольника через длины его сторон. Если же мы возьмём многоугольник с большим числом сторон, то его площадь не может быть выражена через длины его сторон, так как он может изгибаться с сохранением длин сторон и с изменением площади.

Ситуация кардинально меняется в размерности 3. В 1996 году И.Х. Сабитов доказал, что объём любого симплициального многогранника в трёхмерном евклидовом пространстве является корнем многочлена со старшим коэффициентом 1, остальные коэффициенты которого суть многочлены от квадратов длин рёбер многогранника. Следовательно, объём симплициального многогранника с данными комбинаторным строением и длинами рёбер может принимать лишь конечное число значений. Основное приложение этого результата относится к так называемой гипотезе о кузнечных мехах, которая утверждает, что объём любого изгибаемого многогранника постоянен в процессе изгибания. (Изгибаемый многогранник - многогранник с жёсткими гранями и шарнирами в рёбрах, который может изгибаться с изменением двугранных углов. Примеры таких многогранников были построены Р. Брикаром, Р. Коннелли, К. Штеффеном и др.) Из теоремы Сабитова следует, что гипотеза о кузнечных мехах верна в размерности 3.

В течение долгого времени оставался открытым вопрос о том, верен ли аналог теоремы Сабитова в старших размерностях. В 2011 году докладчиком был доказан аналог теоремы Сабитова в размерности 4. Настоящий доклад посвящён недавнему результату докладчика, состоящему в том, что прямой аналог теоремы Сабитова верен для многогранников произвольной размерности n>2. Более того, то же утверждение верно не только для симплициальных многогранников, но и для всех многогранников с треугольными двумерными гранями.

Основными инструментами доказательства является теория нормирований или, в другой терминологии, теория точек (places) полей, а также сдавливания симплициальных комплексов.
26 декабря 2012 А.В.Зорич

Бильярды в многоугольниках, плоские поверхности, и динамика в пространствах модулей.

Многие задачи связанные с бильярдами в многоугольниках и слоениями на поверхностях допускают интерпретацию в терминах плоской метрики на поверхности с изолированными коническими особенностями. Такие метрики в свою очередь задают естественную комплексную структуру и голоморфную 1-форму на поверхности. Я попробую рассказать о том, как сложные свойства простых динамических систем, упомянутых выше, описываются в терминах простых свойств сложной динамической системы: тейхмюллерова геодезического потока на пространстве модулей кривых. В частности, я расскажу, как вычислять "среднюю монодромию" расслоения Ходжа вдоль тейхмюллерова потока - недавний совместный результат с Максимом Концевичем и Сашей Эскиным.
28 ноября 2012 С.А.Лавренченко (МИЭТ)

Вокруг неприводимых триангуляций 2-многообразий

Операция стягивания ребра e в триангуляции 2-многообразия определяется как операция, при которой грани, инцидентные e, вырождаются в ребра. Триангуляция называется неприводимой, если никакое ее ребро нельзя стянуть без образования кратных ребер или изменения топологического типа 2-многообразия или выхода из класса симплициальных 2-комплексов.

В 1-й части доклада будет дан краткий обзор результатов по неприводимым триангуляциям замкнутых 2-многообразий - темы довольно хорошо изученной к настоящему времени. Будет дана оценка значимости этих результатов. Неприводимые триангуляции оказались эффективным инструментом при решении ряда других задач в комбинаторной топологии 2-многообразий и дискретной геометрии. В частности, неприводимые триангуляции содержат в себе минимальные триангуляции, которые, в свою очередь, содержат в себе "добрососедские" (neighborly) триангуляции.

В 2-й части доклада будет рассказано о недавних совместных результатах M.J. Chavez, A. Quintero, M.T. Villar и докладчика [ arXiv:1207.2800, 2012] о неприводимых триангуляциях 2-многообразий с краем и псевдомногообразий. Эта тема новая. Она привлекла внимание исследователей лишь в прошлом году - A. Boulch, E. Colin de Verdiere и A. Nakamoto [ arXiv:1103.5364v1, 2011]. В частности, будут показаны все комбинаторные типы неприводимых триангуляций ленты Мёбиуса, а также неприводимых триангуляций псевдомногообразия "ущемленный тор" - т.е. сферы с двумя отождествленными точками.

21 ноября 2012 Б.О.Василевский

Функция Грина конечнозонного при одной энергии оператора Шредингера на квадратной решетке.

Рассмотрим регулярную риманову поверхность Г рода g и "обобщенные спектральные данные" --- специальный набор выделенных точек на ней. По ним строится мероморфная на Г функция Psi(gamma,m,n), где m, n --- целые, удовлетворяющая при каждом gamma, принадлежащем Г, равенству
Psi(gamma, m+1,n+1)+alpha_1(m,n)Psi(gamma, m+1,n)+alpha_2(m,n)Psi(gamma,m,n+1)+alpha_3(m,n)Psi(gamma,m,n)=0.
Волновая функция Psi(gamma,m,n) является аналогом функции Бейкера-Ахиезера в дискретном случае. При некоторых дополнительных условиях на обобщенные спектральные данные равенство принимает вид дискретного уравнения Коши-Римана
Psi(m+1,n+1)-Psi(m,n)=if(m,n)(Psi(m+1,n)-Psi(m,n+1)).
Тогда ограничение Psi на четную подрешетку (аналог взятия вещественной части голоморфной функции) удовлетворяет уже нееоторому пятиточечному уравнению. Соответствующий линейный оператор L естественно назвать дискретным оператором Шредингера. Главная цель данного доклада --- явная формула для функции Грина G оператора L, выражающая ее в терминах интеграла по специальному контуру на Gamma от дифференциала, построенного по волновой функции Psi и двойственной ей. Описанная формула позволяет почти по каждой точке спектральной кривой построить функцию Грина с известной асимптотикой на бесконечности.
14 ноября 2012 Г.И.Шарыгин

Порядок Брюа и полная симметрическая система Тоды.

Полная симметрическая система Тоды является достаточно прямолинейным обобщением обычной ("трехдиагональной") цепочки Тоды. Это гамильтонова система на пространстве матриц с нулевым следом. Можно показать, что эта система интегрируема, более того, можно явно выписать ее первые интегралы, которые будут в этом случае рациональными функциями от матричных элементов. С другой стороны, эту системы можно описать (после несложной замены координат) при помощи векторного поля морсовской функции на пространстве полных флагов. Мы покажем, что эта новая (морсовская) функция является, на самом деле, системой Морса-Смейла, более того, ее стабильные/нестабильные подмногообразия совпадают с клетками Шуберта (или двойственными к ним) в пространстве флагов. В частности, две особые точки, соответствующие некоторвм перестановкам корней, можно соединить траекторией системы, если и только если эти перестановки сравнимы по Брюа.
7 ноября 2012 А.Ю.Буряк

Теория Громова-Виттена и интегрируемые иерархии.

Теория Громова--Виттена --- это теория перечисления кривых в алгебраических многообразиях. В начале 90-х годов было замечено, что производящие функции инвариантов Громова--Виттена являются решениями различных известных интегрируемых систем. В начале 2000-х Дубровин и Жанг построили соответствие между потенциалами Громова--Виттена и интегрируемыми системами из определенного класса. В докладе я расскажу про это соответствие и про результаты о полиномиальности этих иерархий, полученные докладчиком совместно с Х.Постума и С.Шадриным.
17 октября 2012 В.М.Бухштабер

Башни S^1-расслоений и приложения.

Башни S^1-расслоений возникают в задачах алгебраической топологии, дифференциальной геометрии, теории нильпотентных групп Ли и теории динамических систем. В докладе будет рассказано о классических и самых современных результатах в этом направлении. Мы обсудим актуальные нерешенные задачи.
3,10 октября 2012 А.Е.Миронов

Коммутирующие обыкновенные дифференциальные операторы ранга 2.

Мы рассмотрим коммутирующие дифференциальные операторы ранга 2. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых оператор четвертого порядка, коммутирующий с оператором порядка 4g+2, является самосопряженным. Получено уравнение на потенциалы V(x),W(x) самосопряженного оператора L=(\partial_x^2+V)^2+W и некоторые дополнительные данные. С помощью этого уравнения построены примеры коммутирующих операторов с полиномаильными коэффициентами, отвечающие спектральным кривым произвольного рода.
26 сентября 2012 J.Millson

The toric geometry of triangulated polygons in euclidean space.

19 сентября 2012 В.М.Бухштабер

Алгебраически интегрируемые квадратичные динамические системы.

В докладе будет рассказано о результатах, полученных недавно совместно с Е.Ю.Буньковой. Мы рассмотрим однородные квадратичные динамические системы. Для таких систем введём понятие алгебраической интегрируемости при помощи данного набора функций. Будет описан широкий класс квадратичных динамических систем, являющихся алгебраически интегрируемыми при помощи набора функций h_1,...,h_n, где h_1 --- решение обыкновенного дифференциального уравнения порядка n, а функции h_2,...,h_n представляют собой дифференциальные полиномы от h_1. К классу алгебраически интегрируемых квадратичных динамических систем принадлежат известные динамические системы, такие как системы Дарбу--Халфена и их современные обобщения, системы, задача интегрируемости которых была поставлена еще С.Ковалевской, системы типа Лотки--Вольтерра. К классу соответствующих обыкновенных дифференциальных уравнений принадлежит уранение Шази и другие важные уравнения со свойством Пенлеве.