Семинар ``Геометрия, топология и математическая физика"
(руководители С.П.Новиков, В.М.Бухштабер)

Среда, 18:30, ауд. 16-22

Аннотации докладов (2011/2012 учебный год)
22 августа 2012 Р.Г.Новиков

Обратное рассеяние при фиксированной энергии и приложения.

Мы рассматриваем обратное рассеяние при фиксированной энергии возникающее, в частности, в следующих областях:

1. Многомерная обратная задача квантового рассеяния;

2. Теория солитонов в размерности 2+1;

3. Акустическая томография.

В этом докладе мы представляем несколько старых и совсем новых результатов по этим задачам.
15 августа 2012 А.Я.Мальцев

Слабонелокальные структуры и метод Уизема.

Мы рассматриваем слабонелокальные гамильтоновы и симплектические структуры и их связь с методом Уизема.
8 августа 2012 А.Я.Мальцев

Метод Уизема и скобка Дубровина - Новикова в однофазном и многофазном случаях.

Мы подробно рассматриваем процедуру усреднения локальных теоретико-полевых скобок Пуассона, предложенную Б.А. Дубровиным и С.П. Новиковым для метода Уизема. Основное внимание уделяется вопросам обоснования процедуры Дубровина - Новикова и условиям ее применимости. Отдельно рассматриваются особенности однофазного и многофазного случаев. В частности, одним из результатов является нечувствительность обоснования процедуры усреднения скобки в многофазном случае к появлению ''резонансов'', могущих возникать в этой ситуации.
1 августа 2012 И.Г.Корепанов

Функциональное уравнение тетраэдров и родственные ему математические структуры: обзор истории и современного состояния.

Квантовое уравнение тетраэдров Замолодчикова и функциональное уравнение тетраэдров - это разные проявления одной математической структуры, ответственной за эволюцию как классических, так и квантовых вполне интегрируемых систем. Одна из разновидностей этой структуры переоткрыта современными авторами и известна как условие согласованности дискретных уравнений на трёхмерных гранях четырёхмерной кубической решётки. В докладе будет дан краткий обзор этой темы, с акцентом на частный случай, связанный с электрическими цепями и четырёхчленным уравнением Хироты--Мивы на кубической решётке.
25 июля 2012 М.Б.Скопенков

Дискретные аналитические функции: результаты о сходимости.

В последнее время активно изучаются различные дискретизации комплексного анализа, предложенные И.А. Дынниковым-С.П. Новиковым, Р. Исааксом-Р. Даффином-Х. Мерка, У. Терстоном, А.И. Бобенко-У. Пинкалем-Б. Шпрингборном и другими. Доклад посвящен развитию комплексного анализа на четырехугольных решетках, восходящего к Р. Исааксу. Решена проблема С.К. Смирнова о сходимости дискретных гармонических функций на плоских неромбических решетках к их непрерывным аналогам. Доказаны также (совместно с А.И. Бобенко) сходимость дискретных матриц периодов и дискретных абелевых интегралов к их непрерывным аналогам. Доказательства основаны на энергетических соображениях, подсказанных теорией электрических цепей.
18 июля 2012 С.П.Новиков

Дискретные SL_2 связности и операторы.

25 апреля 2011 Н.Ю.Ероховец

Флаговые числа и кольцо выпуклых многогранников.

Одной из вершин теории выпуклых многогранников является g-теорема, описывающая всевозможные целочисленные векторы, которые могут быть векторами граней простого выпуклого многогранника. Для произвольных выпуклых многогранников задача далека от решения даже в случае размерности четыре. Оказывается, в общем случае более естественно ставить задачу об описании флаговых чисел. В докладе будет рассказано о новом подходе к проблеме флаговых чисел, основанном на введённом В. М. Бухштабером кольце выпуклых многогранников и алгебре операторов граней на нём. Дж. Файн предложил кодировать информацию о флаговых числах выпуклого многогранника при помощи некоммутативного многочлена от переменных c и d,получившего название cd-индекса.Как показал Стенли, все его коэффициенты неотрицательны. В докладе будут описана интерпретация cd-индекса в терминах коммутативного кольца выпуклых многогранников.

Ю.М.Устиновский

О почти свободных действиях и гипотезе Хоррокса.

В докладе мы обсудим связь двух замечательных открытых гипотез эквивариантной топологии и коммутативной алгебры - гипотез Гальперина о торическом ранге и гипотезы Хоррокса о размерностях некоторых Tor модулей над кольцом многочленов S(m). Мы научимся в частных случаях выводить первую гипотезу из второй и дадим простое доказательство гипотезы Хоррокса при m<5
18 апреля 2012 R.De Leo

Some problems concerning (partially) free maps and the sets of (partial) isometries.

Free maps f:M-> R^q are C^2 maps such that their first and second partial derivatives vectors are linearly independent at every point. For partially free maps it is sufficient that this is true for the partial derivatives along the directions of some fixed vector subbundle H of TM. Similarly, partial immersions f:M-> R^q are such that the pull-back through f of the euclidean metric is a Riemannian metric on some vector subbundle H of TM. By the Nash--Gromov theory of isometric embeddings there is a strict relation between (partially) free maps and the set of (partial) isometries. We present here some recent results (joint work with G. D'Ambra and A. Loi) on the existence of isometric immersions when the dimension q of the target space is so small that free maps cannot arise and on the existence of partial isometries in ``critical dimension''.
11 апреля 2012 А.Я.Мальцев

Oscillating solutions and solitons in the patterns of cold atoms.

We describe a wide range of solutions in the dynamics of cold atoms having the form of solitary waves or more general modulated oscillating solutions. Different character of the solutions makes possible to divide the space of parameters into different regions with rather different dynamics of the atomic pattern. From our point of view, the most interesting results are connected with the description of the solitons form and the solitons interactions which can be observed in any dimensions $D \geq 1$. In higher dimensions ($D \geq 2)$ more complicated essentially high-dimensional ("lump") solutions can be observed as a result of instability of quasi-one-dimensional initial data which represent also a remarkable class of multi-dimensional solutions.
28 марта 2012 И.К.Бабенко

О структуре группы формальных степенных рядов.

Планируется обсудить некоторые результаты последних 20 лет, проясняющие строение группы формальных степенных рядов над коммутативным кольцом с единицей. Мы также обсудим открытые вопросы, относящиеся к этой тематике.
21 марта 2012 А.А.Глуцюк

О квантовании перемычек в уравнениях Джозефсона.

Уравнение, моделирующее эффект Джозефсона - это неавтономное дифференциальное уравнение на торе (произведении пространственной и временной окружностей), происходящее из физики сверхпроводников. Его правая часть - линейная комбинация синусов от временной и пространственной переменных и константы. Коэффициент при синусе от пространственной переменной мы фиксируем и возьмем его равным единице. Получается двупараметрическое семейство дифференциальных уравнений, зависящее от константы a и коэффициента b при синусе времени. Отображение Пуанкаре первого возвращения есть диффеоморфизм окружности. Его число вращение есть функция, зависящая от двух параметров. Языки Арнольда - это области в пространстве параметров, где число вращения принимает постоянное значение. В работах В.М.Бухштабера, О.В.Карпова и С.И.Тертычного были получены следующие результаты:

- языки Арнольда возникают только при целых значениях числа вращения;

- для каждого целого значения числа вращения соответствующие языки Арнольда образуют бесконечную цепочку примыкающих друг к другу областей, уходящих на бесконечность в вертикальном направлении.

Один из подходов к исследованию семейства уравнений Джозефсона состоит в комплексификации и исследовании ассоциированного с ним семейства линейных дифференциальных уравнений с комплексным временем, которые имеют две иррегулярных особенности: в нуле и на бесконечности. В ходе численных экспериментов, проведенных В.А.Клепцыным, Д.А.Филимоновым и И.Щуровым, было обнаружено, что перемычки (точки примыкания соседних областей) имеют целочисленные абсциссы (a-координаты), и все перемычки, отвечающие одному и тому же числу вращения, лежат на одной и той же вертикальной прямой с целочисленной абсциссой. Оказывается, что этот факт легко следует из классических результатов о явлении Стокса из теории линейных уравнений. Об этом и о смежных вопросах из теории линейных уравнений будет рассказано в докладе.
14 марта 2012 И.Г.Корепанов

Деформации кручений экзотических цепных комплексов.

В докладе рассказывается об алгебраических соотношениях в алгебре Грассмана, отвечающих четырехмерным движениям Пахнера. Эти соотношения получены и проверены с помощью компьютерных пакетов GAP и Maxima, в сотрудничестве с Н.М.Садыковым. Рассматриваются кусочно-линейные четырехмерные многообразия с краем. Для триангуляции такого многообразия выписывается экзотический цепоной комплекс, а него -- набор кручений типа Райдемастера. Нетривиальные результаты получаются , если переписать это в терминах исчисления антикоммутирующих переменных Грассмана--Березина, а затем поискать обобщения ("деформации") методом подбора. В частности, возникают нелинейные соотношения, включающие первые или вторые экзотические гомологии многообразия.
29 февраля 2012 P.M.Santini

Inverse spectral transform for vector fields and dispersionless PDEs.

The talk is based on joint works with S.V.Manakov and P.G.Grinevich. We consider some rigorous aspects of the direct and inverse spectral problems for vector fields. We also present a method to construct solvable nonlinear Riemann inverse problems corrisponding to distinguished implicit solutions of the associated nonlinear PDEs. We discuss some special examples of solvable Riemann problems and the associated wave breaking for the dispersionless Kadomtsev - Petviashvili (dKP) equation. If time remains, we will show how it is possible to solve the Cauchy problem, for small initial data, of the multidimensional non integrable generalization of the dKP equation, deriving explicit formulas for the wave breaking of the solutions.
15 февраля 2012 В.А.Кириченко

Выпуклые тела Ньютона-Окунькова.

В торической геометрии важную роль играют многогранники Ньютона. Недавно К.Каве и А.Г. Хованский построили далеко идущее обобщение многогранников Ньютона для произвольных алгебраических многообразий (выпуклые тела Ньютона-Окунькова) arXiv:0904.3350v2 [math.AG]. Конструкция основана на очень общем и при этом достаточно элементарном результате об асимптотике полугрупп в целочисленной решётке Z^n. В докладе будет описана конструкция и её приложения как к алгебраической, так и к выпуклой геометрии.
7 декабря 2011 В.В.Шевчишин

О группе диффеотопий рациональных четырехмерных многообразий.

В докладе рассматривается структура группы диффетопий (диффеоморфизмы по модулю изотопий) раздутий CP^2. Основная теорема: если диффеоморфизм такого многообразия сохраняет какую-то симплектическую форму и гомотопически тривиален, то он изотопен тождественному диффеоморфизму. Дается описание структуры диффеотопий раздутий CP^2. Предварительный сведения: базисные результаты из дифференциальной топологии.
23 ноября 2011 Д.В.Талалаев

Обобщенная система Тоды и ее квантование.

В докладе речь пойдет об обобщении классической открытой цепочки Тоды, фазовым пространством которого является пространство всех симметрических матриц, в отличие от симметрических трехдиагональных для открытой цепочки Тоды. Будет представлено алгебраическое описание этой системы - интерпретация в терминах схемы Адлера-Костанта-Сима, а также построено квантование модели по аналогии с квантованием системы Годена.
16 ноября 2011 И.К.Козлов

Элементарное доказательство теоремы Жордана-Кронекера.

В докладе речь пойдет об обобщении классической открытой цепочки Тоды, фазовым пространством которого является пространство всех симметрических матриц, в отличие от симметрических трехдиагональных для открытой цепочки Тоды. Будет представлено алгебраическое описание этой системы - интерпретация в терминах схемы Адлера-Костанта-Сима, а также построено квантование модели по аналогии с квантованием системы Годена.

С.Николаенко

Слоение Лиувилля геодезического потока на многомерном эллипсоиде.

Как известно, геодезический поток эллипсоида со стандартной метрикой является интегрируемой гамильтоновой системой. Задача лиувиллевой классификации данного потока решена для размерностей 2,3, а также в случае эллипсоида общего положения в произвольной размерности. Планируется дать обзор имеющихся результатов в этой области, в частности, рассказать о подходе Н.Т.Зунга к изучению топологии лиувиллева слоения геодезического потока на эллипсоиде общего положения.

Н.П.Стрелкова

Одно экстремальное свойство локально минимальных сетей на многообразиях неположительной секционной кривизны.

Сеть --- это геометрическая реализация графа, т.е. представление вершин графа точками некоторого пространства, а ребер --- кривыми, соединяющими соответствующие точки. Сеть называется локально минимальной, если ее нельзя укоротить деформацией в малой окрестности ее точки, даже если разрешить перестройки.

Также как и в случае геодезических, локально минимальная сеть, вообще говоря, может допускать глобальную деформацию, уменьшающую ее длину (пример --- некратчайшая геодезическая на сфере). Однако, также как и в случае геодезических, это не может случиться на многообразиях неположительной секционной кривизны. М.В.Пронин доказал этот факт для деформаций, не изменяющих топологическую структуру сети (т.е. не изменяющих граф, который реализует сеть).

Я расскужу о том, как можно сформулировать это свойство локально минимальных сетей, не накладывая ограничения на структуру сети.
2,9 ноября 2011 О.И.Мохов

Коммутирующие обыкновенные дифференциальные операторы ранга 4, отвечающие эллиптической кривой.

Рассматривается задача построения коммутирующих скалярных обыкновенных дифференциальных операторов, которым отвечает четырехмерное расслоение общих собственных функций над эллиптической спектральной кривой, т.е. коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов ранга 4 и рода 1. Такие коммутирующие дифференциальные операторы связаны эллиптическим соотношением и зависят от трех произвольных функций (функциональных параметров).

Общая классификация коммутирующих скалярных обыкновенных дифференциальных операторов ранга r>1 была получена Кричевером. Кричевером и Новиковым задача построения коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов ранга r>1 сведена к решению системы уравнений деформации параметров Тюрина расслоения общих собственных функций над соответствующей алгебраической кривой. Полностью система Кричевера--Новикова деформации параметров Тюрина решена для ранга 2, рода 1 (Кричевер, Новиков) и для ранга 3, рода 1 (Мохов). Недавно Мироновым построены явные примеры коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов ранга 2 и родов 2 и 4.

Мы решаем задачу разрешимости системы уравнений Кричевера--Новикова деформации параметров Тюрина для ранга 4 и рода 1.
19,26 октября 2011 П.Г.Гриневич

Фаддевские собственные функции двумерного точечного потенциала.

В докладе будут изложены результаты, полученные совместно с Р.Г.Новиковым.

Развитая к настоящему времени техника решения обратных задач рассеяния для двумерной квантовой или акустической задачи при одной энергии хорошо работает в предположении, что у собственных функций Фаддеевского типа нет особенностей по спектральному параметру на многообразии данной энергии. Если потенциал достаточно велик, возникновение таких особенностей неизбежно (например, если мы работаем при отрицательной энергии выше основного состояния, особенности всегда есть -- Гриневич, С.П.Новиков). При этом в типичной ситуации возникают обобщенно-аналитические функции с особенностями на линиях, теория которых к настоящему времени совершенно не развита. Одна из проблем -- отсутствие точно решаемых примеров.

Мы показывем, что для двумерных точечных потенциалов (аналогичные потенциалы в трехмерии изучались Зельдовичем и Березиным-Фаддеевым) все волновые функции явно вычисляются, как и многообразие особенностей а также обобщенные данные рассеяния. Мы расчитываем, что данный точно решаемый пример поможет найти правильную постановку обратной задачи рассеяния в присутсвии сингулярных контуров.

12 октября 2011 А.И.Буфетов

Limit Theorems for horocycle flows.

The talk is based on joint work with Giovanni Forni and devoted to limit theorems for horocycle flows on compact surfaces of constant negative curvature. One of the main objects of the talk is a special family of horocycle-invariant finitely-additive Hoelder measures on rectifiable arcs. An asymptotic formula for ergodic integrals for horocycle flows is obtained in terms of the finitely-additive measures, and limit theorems follow as a corollary of the asymptotic formula. The talk is based on the preprint http://arxiv.org/pdf/1104.4502

5 октября 2011 А.Н.Кириллов

On ``a small'' GRAND UNIFICATION.

There are surprising similarities in the algebraic properties of Classical, Basic and Elliptic Hypergeometric functions, as well as in the study of Rational, Hypergeometric and Elliptic Calogero√Moser models, as well as in the description of classical and quantum cohomology and K-theory rings of the flag varieties of type A. The main goal of my talk is to present a modest explanation of such similarities. To do that, I introduce a certain quadratic algebra together with a distinguish set of mutually commuting elements inside it (the so-called Dunkl elements), in such a way that the items mentioned in the beginning of my Abstract, correspond to different representations of the quadratic algebra in question. Some applications to the Classical and Quantum Schubert and Grothendieck Calculi will be stated.

28 сентября 2011 С.М.Натанзон

Полная алгебра Cut-and-Join операторов.

Строится и исследуется коммутативная алгебра дифференциальных операторов от бесконечного числа переменных. Операторы тесно связаны с числами Гурвица. Естественный базис нумеруется диаграммами Юнга. Функции Шура образуют полный набор собственных функций этого базиса. Доклад основан на совместной работе с А.Мироновым и А.Морозовым.