Четность, минимальные диаграммы и проекции виртуальных узлов на классические.

В докладе с использованием предложенного автором в 2009 гому метода четности получены следующие результаты: 1) Доказана квадратичная оценка минимального количества перекрестков виртуальной диаграммы относительно количества классических перекрестков. Все предыдущие оценки были линейными. 2) Построена проекция из узлов в утолщенных поверхностях в классические узлы, которая позволяет поднимать инварианты классических узлов до инвариантов узлов в поверхностях. Обсуждаются возможности переноса результатов на поверхности большей размерности.

О приводимости строго гиперболических квазилинейных систем к инвариантам Римана и его приложении к газовой динамике.

Доклад посвящен строго гиперболическим системам квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка и двумя независимыми переменными. Для таких систем с количеством уравнений n>2 сформулирован и доказан критерий приводимости к инвариантам Римана. В качестве примера приложения этого критерия найдены все уравнения состояния, при которых возможно приведение к инвариантам Римана системы уравнений одномерного течения сжимаемого газа в эйлеровых координатах.

Проективная классификация тернарных форм.

Недавно мы с В.В.Лычагиным получили красивый результат о классификации GL_3(C)-орбит тернарных форм. В геометрических терминах эта задача эквивалентна классической задаче проективной геометрии: описать все алгебраические проективные кривые в CP^2 с точностью до проективных преобразований. Эта задача была открыта примерно 200 лет, и в настоящее время известны лишь классификации квадрик (это результат из курса линейной алгебры) и кубик (это классический результат Вейерштрасса, связанный с эллиптическими кривыми). Эти результаты были получены в рамках классической теории инвариантов. Однако эта теория не дает возможности полного решения задачи классификации GL_3(C)-орбит тернарных форм степени n>3.

Нам удалось получить полное решение этой задачи для тернарных форм произвольной степени. Это решение довольно неожиданно использует синтез идей дифференциальной геометрии и классической алгебры: геометрии пространства джетов (=струй), геометрии дифференциальных уравнений, распределений, и алгебраической геометрии и теории инвариантов.

Конечномерная ТКТП на кусочно-линейных шаровых комплексах: теория и вычисления.

Строится конечномерная фермионная топологическая квантовая теория поля (ТКТП) на кусочно-линейных многообразиях, представленных в виде шаровых комплексов, то есть таких клеточных комплексов, где граница каждой k-мерной клетки является (k-1)-мерной сферой. Эта теория получается из сопоставления клеткам (шарам) величин, связанных с геометрией аффинной группы комплексной прямой, и может быть построена для многообразий любой размерности. Для вычисления инвариантов, возникающих в этой теории, создаётся пакет программ в системе GAP, который может быть также полезен и для других задач, связанных с шаровыми комплексами и триангуляциям

Метрики положительной кривизны Риччи на многообразиях с торическими действиями.

Построены инвариантные римановы метрики положительной кривизны Риччи на односвязных $T^2$-многообразиях и на некоторых момент-угол многообразиях, отвечающих трёхмерному кубу. В частности, построены метрики положительной кривизны Риччи на неформальных момент-угол многообразиях.

Подалгебры Годена и стабильные рациональные кривые.

Подалгебры Годена - это абелевы подалгебры максимальной размерности порожденные генераторами алгебры Ли Коно - Дринфельда t_n, связанной с конфигурационным пространством n различных точек на плоскости. Примеры таких подалгебр возникли в 70е годы в теории интегрируемых систем, а также в теории представлений симметрической группы. Оказывается, что множество всех подалгебр Годена образует гладкое алгебраическое подмногообразие в грассманиане G(n-1, n(n-1)/2), изоморфное пространству модулей стабильных рациональных кривых с (n+1) отмеченными точками. Я постараюсь объяснить этот результат, полученный совместно с Агирре и Фельдером.

Outer billiard outside polygons.

We consider the following dynamical system: outer billiard. An outer billiard table is a compact convex domain. Pick a point M outside the domain. There are two half-lines starting from M tangent to the table, choose one of them and reflect M with respect to the tangency point. One obtains a new point, N. The dynamical system is the transformation which sends M to N. If the domain is a polygon then the tangency points are the vertices of the polygon.

This dynamical system has been introduced by B. Neuman in 1959. A natural question is : Does there exist a domain and a point with unbounded orbit ? This problem has been recently solved by R. Schwartz for a particular polygon. In this talk we will describe the symbolic dynamics associated to this map for some polygons.

Геометрическое доказательство двух теорем Тома.

Доклад основан на работе Буонкристиано и Хэкона. Будет рассказано о полученном в середине 80-х годов Буонкристиано и Хэконом геометрическом доказательстве двух классических теорем Тома: теоремы о том, что класс кобордизмов неориентированного многообразия полностью определяется его числами Штифеля√Уитни, и теоремы о том, что любой класс гомологий с коэффициентами в Z/2Z реализуется образом гладкого многообразия. Это доказательство не использует никаких результатов алгебраической топологии.

Гомологии Хованова II.

Я попробую рассказать то, что мне удастся понять о связи между гомологиями Хованова и гомологиями Флоера.

Гомологии Хованова II.

Я попробую рассказать то, что мне удастся понять о связи между гомологиями Хованова и гомологиями Флоера.

Гомологии Хованова I.

Я начну с определения гомологий Хованова, а дальше ≈ по обстоятельствам.

Конечномерные лаксовы интегрируемые системы и уравнения Книжника-Замолодчикова.

Идея о существовании связи между двумя знаменитыми типами интегрируемых систем обсуждается в физической и математической литературе с 90-х годов (Д.Иванов, Дж.Фельдер и Ч.Вишеровский, М.А.Ольшанецкий и А.М.Левин), главным образом, в контексте квантования. Она существует в виде отдельных примеров и физических соображений, и только в связи с квантованием гамильтонианов второго порядка. Я предлагаю каноническую геометрическую конструкцию, связывающую эти системы. Построено унитарное проективное представление пуассоновой алгебры наблюдаемых лаксовой интегрируемой системы операторами Книжника-Замолодчикова. Операторы представления коммутирующих гамильтонианов коммутируют. Лаксовы системы рассматривыаются в формализме Кричевера. Операторы Книжника-Замолодчикова рассматриваются в форме Шейнмана-Шлихенмайера, они заданы на семействе спектральных кривых, параметризованном параметрами Тюрина. Физически предлагаемая конструкция представляет собой предквантование Дирака лаксовой интегрируемой системы. В связи с этим предполагается обсудить соотношение между нашей постановкой задачи и таковой в соответствующих работах Хитчина, Фейгина и Френкеля, Бейлинсона и Дринфельда, Веселова, А.Н.Сергеева, Фельдера, М.Фейгина.

A Poisson structure associated to differential and difference operators -- with the Toda lattice and KdV systems as examples.

I will describe a Poisson structure on the space of curves in R^n from which a series of Poisson structures on several associated spaces may be obtained by Poisson symmetry arguments. Amongst these spaces one may find differential operators and difference operators and their respective reductions. I will present the concrete cases n=2,3, for which the natural examples are the KdV and the Toda lattice, as concrete examples.

Действия окружности на почти комплексных многообразиях.

В докладе будет дан обзор некоторых последних результатов о почти комплексных действиях окружности, а также приведен контрпример к гипотезе Хаттори о почти комплексных действиях, свободных на дополнении к изолированным точкам. Будет рассказано о результатах Толман и Вайтсмана о числах Чженя многообразий, на которых действие свободно в дополнении к изолированным точкам, а также о результатах Ли и Лиу о числе неподвижных точек на многообразии с почти комплексным действием окружности.

Топологические инварианты и пространства модулей квази-однородных горенштеновых особенностей.

Мы находим все компоненты связности пространства модулей квази-однородных горенштеновых особенностей и топологические инварианты, описывающие эти компоненты. Мы доказываем, что каждая компонента связности гомеоморфна клетке, факторизованной по дискретной группе. Доклад основан на совместной работе с Анной Пратуссевич.

Согласованные метрики и римановы инварианты II.

Рассматриваются бигамильтоновы системы гидродинамического типа с неособыми (полупростыми) нелокальными бигамильтоновыми структурами. Такие структуры описываются интегрируемой системой, обладающей парой Лакса со спектральным параметром (если одна из гамильтоновых структур локальна, то эта система является нетривиальной интегрируемой нелинейной редукцией уравнений Ламе, описывающих криволинейные ортогональные координаты в плоском пространстве). Доказана диагонализуемость произвольной неособой нелокально-бигамильтоновой системы гидродинамического типа и для каждой такой системы построен полный набор римановых инвариантов, полностью определяемый метриками бигамильтоновой структуры.

Согласованные метрики и римановы инварианты I.

Рассматриваются бигамильтоновы системы гидродинамического типа с неособыми (полупростыми) нелокальными бигамильтоновыми структурами. Такие структуры описываются интегрируемой системой, обладающей парой Лакса со спектральным параметром (если одна из гамильтоновых структур локальна, то эта система является нетривиальной интегрируемой нелинейной редукцией уравнений Ламе, описывающих криволинейные ортогональные координаты в плоском пространстве). Доказана диагонализуемость произвольной неособой нелокально-бигамильтоновой системы гидродинамического типа и для каждой такой системы построен полный набор римановых инвариантов, полностью определяемый метриками бигамильтоновой структуры.

Основное состояние чисто магнитного алгебро-геометрического двумерного оператора Паули (спин 1/2).

Доклад посвящен результатам, полученным недавно совместно с С.П.Новиковым и А.Е.Мироновым. В теории двумерного оператора Шредингера давно стоял вопрос: можно ли использовать алгеброгеометрический подход для построения операторов с ненулевым магнитным потоком. Причина в том, что алгеброгеометрические собственные функции являются Блоховскими, что влечет нулевое среднее поле. Оказывается, что с помощью алгеброгеометрического подхода можно строить поля, содержашие сингулярный член типа Ааронова-Бома, после вычитания которого оставшееся магнитное поле уже имеет ненулевой интеграл.

Симметричные системы наложения отрезков порядка три.

Системы наложения отрезков --- понятие, в определенном смысле обобщающее перекладывание отрезков. Мы рассмотрим специальный случай таких систем --- симметричные системы наложения отрезков порядка три и применение алгоритмов индукции Раузи и машины Рипса к ним (в частности, докажем, что симметрия сохраняется при применении индукции Раузи), а также обсудим связь систем наложений отрезков с теорией R-деревьев и трехмерной топологией, в том числе, с задачей Новикова об асимптотическом поведении плоских сечений 3-периодических поверхностей.

Эллиптические законы сложения и уравнение Ламе.

Доклад посвящен результатам, полученным недавно совместно с Е.Ю.Буньковой. В центре нашего внимания будет преобразование Т, сопоставляющее экспоненте f(u) эллиптического закона сложения функцию F(u), логарифмическая производная которой равна -1/f(u).

Мы вводим функцию F(u)=Тf(u), соответствующую экспоненте f(u) закона сложения на общей эллиптической кривой (модель Тэйта). Параметрами этой функции являются две точки на кривой. В случае, когда одна из них совпадает с другой или когда сумма этих точек равна нулю, мы получаем решение классического уравнения Ламе, а именно функцию Бейкера-Ахиезера эллиптической кривой.

В докладе будет описано обобщенное уравнение Ламе, решением которого является наша функция F(u), а также замечательные аналитические свойства этой функции.

Все необходимые определения будут даны в ходе доклада.

Экстремальные спектральные свойства торов Лоусона и уравнение Ламе II.

Весьма сложной задачей дифференциальной геометрии является изучение метрик, являющихся экстремальными для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами. В докладе будет рассказано как об известных ранее немногочисленных результатах, так и о полученном недавно результате об экстремальных спектральных свойствах торов Лоусона и об их связи с уравнением Ламе.

Экстремальные спектральные свойства торов Лоусона и уравнение Ламе I.

Весьма сложной задачей дифференциальной геометрии является изучение метрик, являющихся экстремальными для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами. В докладе будет рассказано как об известных ранее немногочисленных результатах, так и о полученном недавно результате об экстремальных спектральных свойствах торов Лоусона и об их связи с уравнением Ламе.