Общий род Кричевера.

В алгебраической топологии и её приложениях известен замечательный род Хирцебруха, введенный И.М.Кричевером. Этот 4-параметрический род задаётся функцией Бэйкера - Ахиезера эллиптической кривой и обладает свойством жесткости на SU-многообразиях с унитарным действием окружности.

В докладе будет введен 5-параметрический род Хирцебруха, ассоциированный с общей моделью Вейерштрасса эллиптической кривой и показано, что в случае стандартной модели Вейерштрасса он совпадает с родом Кричевера.

Будут изложены результаты, которые опираются на полученное недавно автором совместно с Е.Ю. Буньковой описание дифференциального уравнения, задающего экспоненту формальной группы, ассоциированной с общей моделью Вейерштрасса эллиптической кривой в арифметических координатах Тэйта.

Основные понятия будут введены в ходе доклада.

Scattering in quantum networks.

Simplest quantum network is a junction constructed as a union of a compact basic domain with a piecewise smooth boundary and few straight links of a constant width connecting the basic domain with infinity. We consider a one-body scattering problem for a Sch\"{o}dinger operator on a junction with real continuous potential vanishing on the links. The role of the unperturbed operator is played by the orthogonal sum of the corresponding Schr\"{o}dinger operator on the basic domain and the Laplacian on the links. The basic difficulty of the problem is defined by presence of embedded eigenvalues of the unperturbed problem, which give rise to ``dangerous resonances'' when the zero boundary condition on the bottom sections of the links is replaced by the smooth matching condition. In a relevant problem of celestial mechanics, with small denominators, H. Poincare suggested elimination of the similar ``dangerous resonances'' as a preliminary step toward calculation of the solution of the corresponding Hamiltonian system by an analytic perturbation procedure. In the scattering problem on the thin quantum network a similar elimination is achieved via construction of a solvable model with the scattering matrix equal to the local Blaschke factor of the full Scattering matrix with a single resonance pole situated near to the Fermi level of the junction.

Алгебра Cut-and-Join операторов.

Строится и исследуется коммутативная алгебра дифференциальных операторов от бесконечного числа переменных. Операторы тесно связаны с числами Гурвица. Естественный базис нумеруется диаграммами Юнга. Функции Шура образуют полный набор собственных функций этого базиса. Доклад основан на совместной работе с А.Мироновым и А.Морозовым.

Квантовые римановы поверхности, связанные с уравнением Шредингера: поправки "старших родов".

Цель доклада -- построить решение по теории возмущений для петлевого уравнения, возникающего в теории \beta-ансамблей (обобщение матричных моделей). строится диаграмная техника, составленная из объектов из квантовой алгебраической геометрии (бергмановских би-дифференциалов, голоморфных форм, и т.д). В качестве примера вычислена третья производная F_0 -- ведущего вклада в разложении свободной энергии -- по каноническим переменным.

Система Калоджеро-Мозера и геометрия пространства модулей алгебраических кривых.

Решение проблемы пар Бонне.

Парой Бонне называются две изометричные поверхности с общей средней кривизной. Такие поверхности рассматривал еще Бонне (1867). Он установил, что "в общем" поверхности даже локально определяются однозначно своей метрикой и средней кривизной, но есть отдельные случаи, когда это не так. Описанию этих "отдельных" случаев посвящена обширная литература. В начале 1980-х годов было установлено, что для компактных поверхностей с непостоянной средней кривизной не бывает троек Бонне, а вопрос о существовании или несуществовании пар Бонне оставался открытым. Доклад посвящен доказательству несуществования пар Бонне, т.е. верна

Теорема. Компактная поверхность произвольного рода однозначно определяется своей метрикой и средней кривизной.

Теоремы типа Борсука-Улама для многообразий.

В докладе предполагается обсудить "геометрическое" доказательство теоремы Борсука-Улама (БТ). Оказывается, что это доказательство позволяет определить препятствия к существованию эквивариантных отображений в группе G-кобордизмов. В частности, из этого вытекает, что многобразие M со свободным действием группы G допускает теорему типа БТ, если найдется хотя бы одно эквивариантное отображение задающее ненулевое препятствие. Для классического случая, многообразия M со свободной инволюцией, будут приведены несколько эквивалентных необходимых и достаточных условий чтобы M допускало теорему типа БТ.

Четность в маломерной топологии: кривые на поверхностях, виртуальные узлы, кривые в поверхностях и кобордизмы.

Основной парадигмой настоящего доклада является следующее утверждение: если некоторые топологические объекты задаются диаграммами, а классы эквивалентности - движениями, и при этом для объектов имеется естественный глобальный способ указывать на различные типы перекрестков (двойных точек, двойных линий), правильно себя ведущий при движениях, то это может быть использовано для усиления многих инвариантов, построения функториальных отображений и т.д.

Начальным примером является теория (виртуальных) узлов. Как известно, узлы задаются гауссовыми диаграммами и движениями Рейдемейстера на них, при этом несложно заметить, что для классических узлов каждая хорда гауссовой диаграммы является четной, т.е. зацеплена с четным количеством хорд. Переход к произвольным гауссовым диаграммам соответствует теории виртуальных узлов (узлов в утолщенных поверхностях с точностью до стабилизации). Естественным упрощением виртуальных узлов являются плоские узлы, которые в свою очередь упрощаются до свободных узлов - у гауссовой диаграммы забывается вся информация в перекрестках (проход-переход, направление по часовой стрелке).

Около 2004 г. В.Г.Тураев выдвинул гипотезу о тривиальности свободных узлов. В 2009 году эта гипотеза была опровергнута автором с использованием понятия четности:

Теорема. Нечетная несократимая гауссова диаграмма свободного узла минимальна в сильном смысле.

Здесь нечетность означает нечетность каждой из хорд, несократимость - невозможность применения второго движения Рейдемейстера, а "сильный смысл" означает, что любая диаграмма, эквивалентная данной, содержит данную в виде разведения.

В доказательстве этой теоремы используются лишь простые свойства поведения четности при движениях Рейдемейстера, таким образом, теорему можно формулировать следующим образом: какова бы ни была четность в некоторой теории узлов, любая несократимая нечетная (в этом смысле) диаграмма узла является минимальной.

В настоящее время автором найдено много четностей. Одним из простых наблюдений является следующая

Теорема. В любой теории узлов с четностью отображение, убивающее нечетные перекрестки, является инвариатным.

Эта теорема, в частности, позволяет установить "фильтрацию" на любой теории узлов с четностью.

Вопрос о наличии нетривиальных четностей в теории классических узлов остается открытой проблемой.

Рассмотрим группу с образующими a,b,b' и соотношениями a^{2}=b^{2}=b'^{2}=1, ab'=ba. Эта группа изоморфна бесконечной группе диэдра.

Имеется естественный способ сопоставления свободному узлу K класса сопряженности элементов в этой группы L(K); фактически - целого числа.

Теорема. L(K) является инвариантом свободного узла, более того, если L(K) не равно нулю, то узел K является срезанным (не затягивается диском с двумерными особенностями).

Доказательство этой теоремы опирается на элементарную теорию Морса и обобщение понятия четности с двойных точек на кривых на линии самопересечения двумерных поверхностей. Последнее играет роль в теории двумерных узлов.

Эта теорема доставляет элементарное препятствие к срезанности для свободных узлов. В частности, она доставляет препятствие к затягиванию кривых в двумерных кривых дисками в трехмерных многообразиях. Последняя задача была впервые решена С.Картером и затем исследовалась Тураевым, Орром и др; препятствия для более слабой задачи были построены с использованием спаривания в гомологиях.

С некоторой точки зрения четность можно трактовать как замену классам гомологий (гомотопий) в тех теориях, где явно построить гомологии (гомотопии) представляется затруднительным (например, для свободных узлов)

G-расслоения над эллиптическими кривыми и их пространства модулей

Пусть G --- произвольная простая комплексная группа Ли. Мы предлагаем простое, конструктивное описание $G$-расслоений над эллиптическими кривыми и их пространств модулей. Кокасательные расслоения пространств модулей являются естественными фазовыми пространствами некоторых интегрируемых систем (системы Хитчина). Таким образом, интегрируемые системы нумеруются группой Ли, модулем эллиптической кривой и степенью расслоения. В простейшем случае тривиальных расслоений (степень ноль) мы приходим к известной классификации интегрируемых систем (классических r-матриц) Этингофа-Варченко. В случае нетривиальных расслоений мы расширяем классификацию новыми интегрируемыми системами, явно строим соответствующие операторы Лакса и квантовые r-матрицы.

Q-многообразия и геометрические структуры.

Q-многообразие - это супермногообразие, снабженное нечетным векторным полем с нулевым квадратом. Таким образом кодируется множество алгебраических и геометрических структур (классических и их обобщений). В первой части доклада (19.05) я расскажу об этом и о универсальной конструкции "производных скобок".

О некотором обобщении многогранников Сташефа.

Доклад основан на незаконченной работе. Диагональные клеточные разбиеная многогранников (дисков) находятся во взаимно однозначном соответствии с многогранниками Сташефа. Предлагается обобщение этой конструкции на случай действительных ориентируемых двумерных поверхностей с ручками и полигональными дырами. А именно, по клеточным разбиениям поверхностей построены клеточные комплексы (T). Сформулирована (но пока еще не доказана) теорема, что все такие комплексы являются фактор-пространствами T=\bar{T}/\Gamma, где \bar{T} стягиваемы, а \Gamma --- это дискретные группы, действующие транзитивно на bar{T}.

Конференция "Ломоносов-2010"

18.30-18.45 Ероховец Николай Юрьевич, "Максимальные действия торов на момент-угол многообразиях".

18.50-19.05 Щукин Михаил Владимирович, "Структура n-однородных C*-алгебр над двумерными многообразиями".

19.10-19.25 Скрипченко Александра Сергеевна, "Симметричные системы наложения отрезков порядка 3 и плоские сечения 3-периодических поверхностей".

19.30-19.45 Казанцев Александр Дмитриевич, "Монотонное нахождение структур сателлитов на прямоугольных диаграммах зацеплений".

19.50-20.05 Прасолов Максим Вячеславович, "Маленькие косы с большой ультраверхушкой".

Квантовая алгебраическая геометрия

We describe how to construct "quantum" Riemann surfaces that are analogues of hyperelliptic Riemann surfaces. These quantum surfaces correspond to solutions of Shroedinger equation. We construct resolvelnts and quantum analogues of holomorphic and meromorphic differentials, integrals over A- and B-cycles, Abelian (bi-differentials of second and third kind, correlation functions, and symplectic invariants associated with solutions of the loop equation. As an example, I will prove that the standard Riemann bilinear identities are satisfied in the quantum surface case as well.

О классификации отображений Янга-Бакстера на CP^1\times CP^1

Отображениями Янга-Бакстера называются отображения $(u,v)\to(u',v')$, удовлетворяющие определённому свойству перестановочности вокруг куба. Наибольший интерес представляют невырожденные отображения, то есть разрешимые также относительно $(u',v)$, $(u,v')$ и $(u,v)$. Мы будем требовать, чтобы все четыре отображения были рациональными (квадрирациональные отображения). Оказывается, что в случае переменных из $\CP^1$ уже одно это требование настолько жёстко, что приводит к конечному списку отображений. Эти отображения обладают замечательными свойствами:

1) являются отображениями Янга-Бакстера;

2) описывают принцип суперпозиции преобразований Бэклунда для некоторых уравнений типа КдФ;

3) свойство перестановочности допускает геометрическую интерпретацию как некоторая теорема инцидентности на линейном пучке коник.

Клейнова пена

Клейнова пена (Klein foam) - это аналог римановых и клейновых комплексных структур для поверхностей с одномерными особенностями. Такие поверхности возникли в различных моделях математической физики около 10 лет назад (J. Batz, L. Rozansky и др.) и активно изучаются в настоящее время. Мы доказываем, что поле дианалитический функций на кленовой пене совпадает с полем дианалитический функций на некоторой кленовой поверхности; строим пространство модулей кленовых пен; описываем компоненты связности этого пространства модулей и доказываем, что каждая компонента связности гомеоморфна клетке, факторизованной под действием дискретной группы. Доклад основан на совместной работе с С.М. Гусейн-Заде и A.F. Costa.

Квазисимметрические функции и их приложения

В настоящее время квазисимметрические функции нашли широкое применение. Цель доклада -- дать обзор основных понятий и результатов теории квазисимметрических функций и её приложений.

Квазисимметрической функцией называется степенной ряд ограниченной степени от бесконечного числа переменных $t_1,t_2,\dots$, такой что коэффициенты при любых двух мономах $t_{l_1}^{a_1}t_{l_2}^{a_2}\dots t_{l_k}^{a_k}$, $l_1

Квазисимметрические функции являются естественным обобщением симметрических функций и в последнее время начинают играть такую же важную роль в математике. Неявно они использовались уже в начале 70-х годов в работах Р.~Стенли по теории $P$-разбиений и Е.~Диттерса по теории некоммутативных формальных групп. Само же понятие квазисимметрической функции было введено И.Гесселем в 1984 году.

Кольцо квазисимметрических функций $\Qsym$ является алгеброй Хопфа, двойственной к алгебре Лейбница-Хопфа некоммутативных симметрических функций $\Nsym$, введённой И.М.Гельфандом, В.С.Ретахом и соавторами в 1995 году.

Алгебра Хопфа $\Qsym$ занимает важное место в перечислительной комбинаторике, позволяя строить мультипликативные производящие функции флаговых чисел частично упорядоченных множеств.

Как и в случае симметрических функций, кольцо $\Qsym$ является кольцом полиномов над $\mathbb Z$.

Оказывается, $\Qsym$ является кольцом когомологий $H$-пространства $\Omega\Sigma\mathbb CP^{\infty}$, причём существует отображение $\Omega\Sigma\mathbb CP^{\infty}\to BU$, такое что индуцированное отображение в когомологиях отвечает включению $\Sym\subset\Qsym$.

Алгебра Хопфа $\Qsym$ с каноническим характером является универсальным объектом в категории комбинаторных алгебр Хопфа.

Также кольцо $\Qsym$ возникает при построении решения некоммутативного уравнения КП методом формальных степенных рядов и в других разделах современной математики.

О сингулярных решениях нелинейных интегрируемых уравнений

На примере уравнения КдФ будет дан обзор работ по применению МОЗР к построению сингулярных решений интегрируемых уравнений и рассмотрены возможные физические приложения таких решений.

Алгебра формальных векторных полей на прямой и гипотеза Бухштабера

Рассмотрим алгебру Ли L_1 формальных векторных полей на прямой R}, обращающихся в ноль вместе с первой производной в начале координат. Бухштабер и Шокуров показали, что универсальная обертывающая алгебра U(L_1) изоморфна тензорному произведению S\otimes R} алгебры S Ландвебера--Новикова и поля вещественных чисел. Гончарова вычислила когомологии H^*(L_1){=}H^*(U(L_1)), причем из ее теоремы следует, что умножение в когомологиях H^*(L_1) тривиально. Бухштабер высказал гипотезу, что когомологии H^*(L_1) порождаются одномерными коциклами с помощью нетривиальных произведений Масси. Фейгин, Фукс и Ретах нашли представление H^*(L_1) при помощи тривиальных произведений Масси. В настоящей статье мы доказываем, что H^*(L_1) рекуррентно порождается с помощью нетривиальных произведений Масси двумя одномерными коциклами из H^1(L_1).

Classification of integrable conservative hydrodynamic chains II

We consider a special class of integrable hydrodynamic chains, which possess an infinite series of conservation laws. A complete classification is presented.

Модули Бейкера--Ахиезера на рациональных многообразиях.

В докладе будет рассказано об одном способе построения коммутирующих дифференциальных операторов нескольких переменных, а именно о конструкции Накаяшики построения свободных модулей Бейкера--Ахиезера. Будут приведены примеры, в частности будет показано, что на рациональном многообразии, полученном из CP^1\times CP^{n-1} отождествлением двух гиперповерхностей с помощью некоторого изоморфизма, можно ввести структуру свободного модуля Бейкера-Ахиезера ранга $n$ над кольцом дифференциальных операторов по $n$ переменным. Следствием этой конструкции является существование вложения кольца мероморфных функций на этом спектральном многообразии с фиксированным полюсом на некоторой гиперповерхности в кольцо дифференциальных операторов n переменных с матричными коэффициентами размера n\times n.

Classification of integrable conservative hydrodynamic chains I

We consider a special class of integrable hydrodynamic chains, which possess an infinite series of conservation laws. A complete classification is presented.

Периодические орбиты бильярдов на квадриках.

Рассмотрим движение частицы на n-мерном эллипсоиде с отражателями, представляющими собой квадрики, конфокалтьные нашему эллипсоду. Это движение естественно описывается в терминах вспомогательной спектральной задачи. В частности, к ней применим метод изопериодических деформаций.

Графы линейных операторов.

В 2005 году В.И. Арнольд определил одно из возможных понятий сложности конечной бинарной последовательности с помощью графа оператора первых конечных разностей A, действующего на пространстве конечных бинарных последовательностей фиксированной длины n.

В данном докладе будет рассказано об обощении указанного графа на случай произвольного линейного оператора, действующего на пространстве конечных последовательностей над произвольным конечным полем. Будут сформулированы ключевые идеи для нахождения структуры такого графа, а также с помощью этих идей будет доказана гипотеза В.И. Арнольда о длине максимального цикла в графе разностного оператора. Также будут сформулированы некоторые гипотезы, полученные экспериментальным путем.

О проблемах Эрдеша--Секереша в комбинаторной геометрии.

В докладе будет рассказано об одной классической задаче комбинаторной геометрии и ее модификациях. Речь идет, например, об отыскании минимального числа g(n), такого, что из любого множества точек на плоскости, имеющего мощность g(n) и находящегося "в общем положении", можно выбрать вершины выпуклого n-угольника. Рассматриваются и многочисленные обобщения. В частности, величину g(n) заменяют величиной h(n), добавляя в приведенное выше определение условие пустоты искомого n-угольника. Другие обобщения получаются для условий "не более, чем k точек внутри" или "количество точек внутри делится на q". В докладе будет рассказано о новых недавних результатах.

Касательное отображение и связанные с ним интегрируемые уравнения.

Рассматриваемое отображение является отображением на множестве плоских гладких кривых. Оно удовлетворяет свойству трехмерной совместности и тесно связано с некоторыми хорошо известными интгрируемыми уравнениями.

Квантовый метод спектральной кривой.

В теории классических конечномерных интегрируемых систем существует общий метод решения, апеллирующий к таким алгебро-геометрическим объектам, как спектральная кривая и линейное расслоение на ней. Наиболее лаконично конструкция представлена системой Хитчина и некоторыми обобщениями. В квантовой ситуации отсутствует единый взгляд на проблему решения интегрируемых систем. Будет предложен метод квантовой спектральной кривой и построены симметрии геометрической природы множества решений квантовой задачи в терминологии системы Хитчина для рода 0 и 1 базовой кривой.

Группы автоморфизмов маломерных многообразий.

Группы автоморфизмов маломерных многообразий. Доклад посвящен представлениям групп классов отображений поверхностей и групп кос Артина в виде групп гомеоморфизмов одномерных многообразий. Будет рассказано о применении и связях таких представлений с теорией узлов, с теорией случайных блужданий на группах, с гиперболической геометрией и т.п.

Классы кобордизмов однородных пространств.

We consider compact homogeneous spaces G/H, where G is a compact connected Lie group and H is its closed connected subgroup of maximal rank. The aim of this talk is to present an effective computation of the universal toric genus for the complex, almost complex and stable complex structures which are invariant under the canonical left action of the maximal torus T^k on G/H. The effectiveness is due to the explicit description of the universal toric genus in terms of local data at the fixed points. Special attention is devoted to the structures which are invariant under the canonical action of the group G. Using classical results, we obtain in this case an explicit description of the local data (weights and signs) at the fixed points. We consequently obtain an expression for the cobordism classes of such structures in terms of coeffcients of the formal group law in cobordisms, as well as in terms of Chern numbers in cohomology appealing to the Chern-Dold character theory. As an application we provide an explicit formulas for the cobordism classes and characteristic numbers of the flag manifolds U(n)/T^n, Grassmann manifolds G_n,k = U(n)=(U(k)\times U(n-k)) and some other interesting cases.

The talk is based on the results of the joint work with Victor M.Buchstaber.

Уравнение Уиттекера - Хилла и полуконечнозонные потенциалы.

Одномерный оператор Шредингера с периодическим потенциалом называется полуконечнозонным, если начиная с некоторого момента каждая вторая лакуна в его спектре закрыта. Нетривиальный пример такого оператора отвечает классическому уравнению Уиттекера - Хилла. В докладе будет описано естественное расширение этого примера с помощью преобразования Дарбу. Ключевой вопрос - неособость соответствующих потенциалов, выражающихся в тригонометрических функциях. В отличие от конечнозонного случая таких потенциалов оказывается довольно много, причем критерий неособости удается просто сформулировать.

Уравнение Уизема и когомологии пространств модулей.

В докладе будут обсуждены некоторые конструкции, восходящие к теории Уизема, и возможности их приложения для изучения геометрии пространств модулей.

Янгианные алгебры, возникающие в теории Тейхмюллера.

Построена связь между теорией Тейхмюллера и изомонодромными деформациями в специальном случае поверхностей с орбифолдными точками. В результате получены алгебры с бесконечным числом образующих, которые оказываются эквивалентными янгианным расширениям алгебр Нельсон--Редже (построенным ранее Молевым, Сорбой и Рагуци в алгебраическом подходе). Эти алгебры оказываются пуассоновыми алгебрами данных монодромий фробениусова многообразия в окрестности неполупростой точки. Построены представления действия группы кос и исследованы кончномерные редукции этих алгебр. Построены также центральные элементы для редуцированных алгебр.

По результатам работы с М.Mazzocco.

Обобщение формулы Герона на объемы многогранников в R^3.

Известна формула, выражающая объем тетраэдра через длины его ребер (аналог формулы Герона для площади треугольника). Хотя сама формула Герона не допускает обобщения на площади многоугольников, но, оказывается, для многогранников в R^3 существует утверждение, которое можно толковать как широкое обобщение формулы Герона на объемы многогранников. Именно, верна следующая

Теорема. Для любого ориентируемого многогранника с треугольными гранями существует многочлен Q(V) вида Q(V)=V^{2N}+a_1V^{2N-2}+...+a_{N-1}V^2+a_N, такой, что его коэффициенты a_1,...,a_N сами являются многочленами от квадратов длин ребер многогранника с рациональными числовыми коэффициентами, зависящими от комбинаторного строения многогранника, а алгебраический объем V многогранника удовлетворяет уравнению Q(V)=0, т.е. является одним из корней этого многочлена.

В докладе будет рассказано об истории этой теоремы и о многочисленных ее следствиях и связанных с ней нерешенных задачах.

Кластерные алгебры конечного мутационного типа.

Кластерные алгебры были определены в работах Фока и Гончарова, а также Фомина и Зелевинского. Вскоре была установлена связь между кластерными алгебрами и различными областями математики. В частности, Фомин и Зелевинский показали, что кластерные алгебры конечного типа (т.е. задаваемые конечным числом переменных) соответствуют схемам Дынкина.

В докладе мы обсудим связь между кластерными алгебрами определенного типа и триангуляциями поверхностей, в частности, результаты Фомина, Шапиро и Терстона. Мы построим соответствующую теорию для более общего класса алгебр, а также получим классификацию кластерных алгебр более широкого класса, а именно, алгебр конечного мутационного типа.

Для понимания доклада не требуется никаких специальных знаний.