Компактность множества инвариантных эйнштейновых метрик на компактном однородном пространстве с простым спектром представления изотропии.

В 2004 г. в виде приложения своей вариационной теоремы М.Ван, В.Циллер и К.Бем доказали компактность множества E(G,H) инвариантных положительно определенных эйнштейновых метрик с фиксированной формой объема на любом компактном односвязном однородном пространстве G/H.

В докладе будет предложено простое доказательство компактности E(G,H) для частного случая однородного пространства G/H с простым спектром представления изотропии. Это именно тот случай, когда все инвариантные римановы метрики на G/H в каждой точке x из G/H можно совместно привести к главным осям, и многообразие всех этих метрик является некомпактным тором R_+^k. Доказательство использует торическую компактификацию многообразия метрик R_+^k --- посредством многогранника Ньютона рациональной функции s(g), сопоставляющей инвариантной метрике g ее скалярную кривизну во всех точках x.

Многомасштабный предел конечнозонных решений уравнения Sine-Gordon и топологический заряд конечнозонных решений.

Мы рассматриваем новое вырождение конечнозонных решений уравнения Sine-Gordon, которое мы называем многмасштабным. В этом пределе кривая распадается в сумму вырожденных кривых, а тета-функции -- в произведение тета-функций одной переменной.

Используя данное вырождение удается вычислить топологический заряд конечнозонных решений непосредственно из тета-функциональных формул.

Обобщение многогранников Ньютона, полугруппы целых точек, градуированные алгебры, теория пересечений и смешанные объемы.

В докладе будет рассказано о выпуклых телах Ньютона, обобщающих многогранники Ньютона. Выпуклое тело Ньютона определяется для полугруппы целых точек. Оно отвечает за асимптотическое поведение числа точек в полугруппе. Выделяется широкий класс градуированных алгебр, имеющих Z^{n+1}-значные нормирования. Каждой алгебре этого класса сопоставляется полугруппа в Z^n и ее выпуклое тело Ньютона. Эта конструкция показывает, что функции Гильберта широкого класса градуированных алгебр имеют степенные асимптотики, а их коэффициенты роста удовлетворяют неравенству Брунна-Минковского. Будет рассказано о новом бирационально инвариантном аналоге теории пересечений на неполных алгебраических многообразиях. В рамках этой теории находится широкое обобщение теоремы Кушниренко, алгебраические аналоги неравенств Александрова-Фенхеля, новый вариант теоремы Ходжа об индексе. Эти результаты дают элементарное и прозрачное доказательство классических неравенств Александрова-Фенхеля из выпуклой геометрии.

Для понимания доклада не требуется никаких специальных знаний.

Отображения Янга-Бакстера.

Отображение Янга-Бакстера - это отображение декартова квадрата множества Х в себя, удовлетворяющее соотношению Янга-Бакстера. В докладе будет дан обзор современного состояния теории таких отображений в контексте теории дискретных интегрируемых систем.

Сингулярные конечнозонные операторы и индефинитные метрики.

Во многих случаях вещественные спектральные данные для периодических конечнозонных операторов (риманова поверхность с отмеченной точкой, локальным параметром и дивизором полюсов) порождают операторы с вещественными, но сингулярными коэффициентами. Эти операторы не являются самосопряженными в обычных (положительных) гильбертовых пространствах функций переменной x. В частности, такая ситуация имеет место для специального случая операторов Эрмита с эллиптическим потенциалом n(n+1)\wp(x), собственные функции которых были найдены Эрмитом в 19 веке. В то же самое время именно функции Бейкера-Ахиезера этих операторов, в соответствии с идеями работ Кричевера-Новикова (1989), Гриневича-Новикова(2001) служат правильными аналогами дискретных и непрерывных базисов Фурье на римановых поверхностях. Оказывается, что для рода, отличного от нуля, эти операторы симметричны в некоторой индефинитной метрике. Аналог непрерывного преобразования Фурье в этой метрике является изометрией.

Отображение-пентаграмма: дискретная интегрируемая система.

"Отображение-пентаграмма" определено на пространстве полигонов на (проективной) плоскости: образ полигона - выпуклая оболочка точек пересечения коротких диагоналей. Мы построим скобку Пуассона на пространстве полигонов и покажем интегрируемость этого отображения в классическом смысле Арнольда-Лиувилля. Доклад основан на совместной работе с С.Табачниковым и Р.Шварцем.

Совместность на кубических решетках детерминантов произвольных порядков.

Рассматривается специальный класс двумерных дискретных уравнений, задаваемых соотношениями на элементарных квадратах NxN, N>2, квадратной решетки Z^2, предлагается новый тип условий совместности на кубических решетках для таких уравнений и для произвольного N доказывается такая совместность на кубических решетках для двумерных дискретных уравнений, задаваемых условием равенства нулю детерминантов значений поля в узлах элементарных квадратов NxN квадратной решетки Z^2.

Непрерывные аналоги базисов Кричевера-Новикова и спектральное преобразование для сингулярных конечнозонных потенциалов.

При построении непрерывных аналогов базисов Кричевера-Новикова на римановых поверхностях возникают конечнозонные потенциалы с особенностями на вещественной оси. Простейщий пример, отвечающий роду 1, -- потенциал Ламе без сдвига на мнимый полупериод. Показано, что в разложении по собственным функциям естественно возникают гильбертовы пространства с индеффинитной метрикой.

Вычисление топологического заряда конечнозонных решений уравнения Синус-Гордон с использованием тета-функциональных формул.

Одна из наиболее важных характеристик конечнозонных решений Синус-Гордона -- топологический заряд. Задача его вычисления была поставлена практически сразу после того, как были выписаны явные формулы для решений. Ответ для части пространства параметров был получен Б.А.Дубровиным и С.П.Новиковым в 1982 году, однако формулу для общего случая удалось найти лишь в 2001 году С.П.Новиковым и П.Г.Гриневичем. При этом использовался так называемый алгебро-топологический подход, а явные тета-функциональные решения никак не использовались. В связи с этим С.П.Новиковым был поставлен вопрос о вычислении топологического заряда с использованием тета-функций, ответ на который мы и даем.

Интегрируемые системы типа Калоджеро-Мозера и представления алгебр Чередника.

В докладе будет показано, как можно получить обобщеннные квантовые интегрируемые системы Калоджеро-Мозера, рассматривая специальные представления рациональной алгебры Чередника связанной с группой Кокстера. Эти представления являются радикальными идеалами в полиномиальном представлении, и они задаются полиномами, обнуляющимися на параболических стратах. Соответствующие параболические подгруппы группы Кокстера можно указать явно. Коммутирующие дифференциальные операторы получаются с помощью ограничений операторов Данкла на эти страты. Подход позволяет получить известные и новые интегрируемые системы.

Функция Конвея от нескольких переменных. Мотивный ряд Пуанкаре фильтрации.

В первой части доклада мы приведем явные формулы, выражающие первые два ненулевых коэффициента разложения в ряд Тейлора в единице функции Конвея от нескольких переменных произвольного зацепления через индексы зацеплений компонент. Во второй части мы расскажем про мотивный ряд Пуанкаре фильтрации и его связь с топологией разрешения плоской кривой.

Теория пересечений на пространстве r-спин структур.

r-спин структура на римановой поверхности - это тензорный корень степени r из кокасательного расслоения на этой поверхности. Пространство r-спин структур - это, на самом деле, пространство всех пар (риманова поверхность, r-спин структура на ней). Мы расскажем о двух теоремах и одной гипотезе, описывающих теорию пересечений на этом пространстве. Они параллельны трём главным теоремам о теории пересечений на пространстве модулей кривых: формуле Мамфорда, гипотезе Виттена и формуле ELSV.

О рядах Пуанкаре и полиномах Александера алгебраических узлов

Числа Гурвица накрытий Смита-Дольда

Определение чисел Гурвица переносится на произвольные накрытия Смита-Дольда. Доказывается, что эти числа являются корреляторами алгебры сплетающих операторов представления симметрической группы.

Кольцо простых многогранников и дифференциальные уравнения

Простые многогранники - классический объект выпуклой геометрии. Они играют ключевую роль в ряде современных областей исследований таких, как алгебраическая и симплектическая геометрия, торическая топология, перечислительная комбинаторика и математическая физика. В работе описаны результаты нового подхода, основанного на введении дифференциального кольца простых многогранников. Это подход позволяет для исследования комбинаторных инвариантов использовать теорию дифференциальных уравнений.