Hirota bilinear discrete equation and associated commutator identity

It is demonstrated that not only integrable pde's but also difference equations are in correspondence with some commutator identities on associative algebra. Specific commutator identity is suggested and it is shown that by means of a dresing procedure the Hirota bilinear discrete equation (HBDE) as well as its Lax pair can be derived. Direct and inverse spectral problems and Backlund transformation for HBDE are considered.

Гамма-род и новые методы в топологии

Большим концептуальным сдвигом в топологии алгебраических многообразий, на мой взгляд, является открытие гамма-рода. Род Тодда, представлявшийся всегда вещью неделимой (логарифм мультипликативной группы); можно разбить на гамма-половины. Это больше, чем просто изменение языка - новая формула Римана-Роха-Хирцебруха (а точнее, ее квантовый вариант) строго тоньше классической. Моя цель - объяснить, откуда и как возникает это новое содержание, на конкретных примерах.

Асимптотика случайных поверхностей

В докладе будет представлен обзор недавних результатов об асимптотическом поведении некоторых классов случайных поверхностей. В качестве примеров будут рассмотрены случайные разбиения, случайные замощения и одномерные процессы исключения. Предварительного знакомства с предметом не предполагается.

Кручения геометрических ациклических комплексов и конечномерная топологическая квантовая теория поля

1. Дифференциальная формула, отвечающая движению Пахнера 2-3.

2. Простейший цепной комплекс геометрического происхождения для замкнутого ориентированного трёхмерного многообразия, происходящий из указанной дифференциальной формулы.

3. Этот пункт - если будет время: Аналогичный комплекс для группы PSL(2,C). Если будут вопросы/интерес, то еще примеры комплексов, связанные с группами Ли и их однородными пространствами (а предыдущий пример был связан с группой изометрий трехмерного евклидова пространства).

4. Этот пункт - тоже в зависимости от времени: Цепные комплексы, подкрученные представлением фундаментальной группы многообразия в рассматриваемой группе Ли. Теоремы об ацикличности подкрученных комплексов для трехмерных многообразий (доказывать будет точно некогда, но, может быть, сформулировать).

5. Комплексы для относительного случая, конкретно, для многообразий с краем.

6. Склеивание многообразий по компонентам краев и модифицированные аксиомы Атьи.

Универсальные абелевы накрытия рациональных особенностей поверхностей и ряды Пуанкаре фильтраций

Примеры рациональных особенностей поверхностей --- двойные рациональные точки A_k, D_k, E_6, E_7, E_8. Универсальные абелевы накрытия рациональных особенностей поверхностей имеют ряд специальных свойств. Эти свойства позволяют вычислить ряды Пуанкаре эквивариантных мульти-индексных фильтраций на кольце ростков функций, определяемых ростками кривых на особенности или набором дивизоров некоторой модификации. Ряды Пуанкаре фильтраций, определяемых кривыми на поверхностях оказываются связанными с дзета-функциями соответствующих преобразований монодромии.

Уравнения теплопроводности, уравнение Шази и сигма функции

Известна фундаментальная связь классических уравнений теплопроводности и Шази. Доклад посвящен результатам в этом направлении, полученным недавно в совместной работе с Е.Ю.Буньковой. На основе теории сигма функций будет предложен новый подход к построению и исследованию взаимосвязей многомерных аналогов зтих уравненений.

Высшие иерархии типа КП и аналог соответствия Кричевера для формальных пунктированных лент

Хорошо известна связь между решениями уравнения КП (или иерархии КП), кольцами коммутирующих дифференциальных операторов, спектральными кривыми и геометрией бесконечномерного грассманиана. А.Н. Паршиным было предложено обобщение соответствие Кричевера на алгебраические поверхности с дополнительным набором данных. Им же было начато изучение высших иерархий типа КП. Мы планируем рассказать о связи решений этих систем с новыми геометрическими объектами (пунктированными лентами), введенными в совместных работах с Д.Осиповым и H.Kurke, на которые обобщается соответствие Паршина, и которые позволяют построить некоторый аналог теории КП в двумерном случае.

О двойственности в специальном классе многообразий

Мы определяем некоторый специальный класс подмногообразий в псевдоевклидовых пространствах и доказываем для него некоторый специальный принцип двойственности.

Пространственно-дискретный аналог иерархии Веселова-Новикова

Исследуется иерархия симметрий эллиптической дискретизации двумерного оператора Шредингера с периодичскими граничными условиями. Показано, что бесконечной алгеброй симметрий обладает лишь специальный подкласс потенциалов, допускающий простое спектральное описание.

Инвариант Бухштабера и структура простых многогранников

В настоящее время простые многогранники --- объект активной области исследований на пересечении эквивариантной топологии, алгебраической и симплектической геометрии, алгебры или комбинаторики.

В центре внимания доклада будет комбинаторный инвариант Бухштабера s(P) простого многогранника P. Этот инвариант возник из конструкции момент-угол многообразия Z_P, играющей важную роль в торической топологии. Многообразие Z_P, где P - простой многогранник с m-гипергранями, является комбинаторным инвариантом многранника P с каноническим действием тора T^m.

Инвариант s(P) равен максимальной размерности торической подгруппы, действующей свободно на момент-угол многообразии Z_P.

Проблема, поставленная В.М.Бухштабером, заключается в том, чтобы эффективно вычислить s(P) в терминах комбинаторики многранника P.

В докладе будет:

- показано, что s(P) нельзя вычислить, зная только f-вектор многогранника;

- дана классификация n мерных многогранников c n+3 гипергранями с точки зрения инварианта s(P);

- усилен результат И.Изместьева, дающий оценку s(P) в терминах хроматического числа многогранника s(P);

- описано поведение инварианта s(P) при основных операциях, таких как связная сумма, прямое произведение, удаление гиперграни и т.д.

Также будет продемонстрирован новый подход к комбинаторике простых многогранников и его связь c s(P).

Микровесовые представления и поверхности дель-Пеццо

Доклад посвящен гипотезе Батырева, которая утверждает наличие связи между универсальными торсерами над поверхностями дель-Пеццо и микровесовыми представлениями.

Хорошо известно, что поверхности дель-Пеццо степени d<6 можно сопоставить систему корней ранга 9-d из следующего списка: A_4,D_5,E_6,E_7,E_8. Каждой такой поверхности соответсвует простая группа G. У которой, в свою очередь, есть микровесовое (присоединенное в случае E_8) представление V(\pi_\alpha) со старшим весом \pi_\alpha. В проективизацию этого представления вложен грассманиан G/P.

Нашей целью является построение локально-замкнутого вложения торсера над поверхностью дель-Пеццо относительно тора \widehat{T}, полученного расширением максимального тора T с помощью тора, действующего гомотетиями на V_{\pi_\alpha}, в аффинный конус над соответствующим грассманианом G/P. При этом фактором по действию тора \widehat{T} пересечения построенного торсера и весовых гиперплоскостей будет объединение (-1)-кривых на поверхности дель-Пеццо.

Геометрическое описание этого вложения появилось в работе Скоробогатова и Сергановой, для поверхностей степени больше 1. Мы придерживаемся общей схемы доказательства, предложенной в последней работе. Однако доказательство многих шагов будет изменено, что позволит обобщить доказательства на случай E_8.

Гомологии и когомологии дополнений наборов плоскостей коразмерности 2

В теории многомерных вычетов и интегральных представлений голоморфных функций важным вопросом является изучение групп гомологий и когомологий дополнений к наборам плоскостей. Методы торической топологии позволяют эффективно изучать такие группы. В докладе будут рассмотрены группы гомологий и когомологий для дополнений к специальным наборам координатных плоскостей коразмерности два.

Дифференциальные уравнения над кольцом простых многогранников

В последнее время под влиянием задач на стыке теоретической физики,комбинаторики,торической геометрии и теории конфигурационных пространств появилось много конструкций серий простых многранников. Самые известные серии: ассоциэдры (многранники Сташефа), циклоэдры (многранники Ботта - Таубса), пермутоэдры. Это однопараметрические серии, т.е. в каждой размерности по одному многраннику, но имеются интересные примеры и многопараметрических серий. В первой части доклада будет дано построение дифференцирования кольца простых многранников и рассмотрены его свойства.

В второй части - будет дано описании ряда важных серий простых многранников и вычисление прозводящих функций этих серий в терминах дифференциальных уравнений над кольцом простых многранников.

Будет введён комбинаторный аналог двупараметрического рода Тодда и даны его приложения.

О замкнутых бильярдных траекториях в гладких выпуклых телах

Введём несколько определений, касающихся бильярдных траекторий в выпуклых телах.

Бильярдной траекторией в выпуклом гладком теле T назовём ломаную, которая имеет точки излома только на границе $T$ и в каждой точке излома меняет направление по закону упругого отражения.

Длиной замкнутой бильярдной траектории P назовём количество точек излома на P.

Вопрос о количестве различных замкнутых траекторий данной длины n был поставлен довольно давно, в работе Биркгофа была получена оценка снизу в двумерном случае.

Сформулируем основной результат работы.

Пусть T --- d-мерное гладкое выпуклое тело, d>2, а p>2 --- простое число. Тогда в T найдётся не менее (d-2)(p-1)+2 различных замкнутых бильярдных траекторий длины p.

Случай p=2 здесь не рассматривается, так как в работе Kuiper получена оценка количества траекторий (d штук) для данного случая. Эта оценка является точной, так как она точна для эллипсоида с попарно различными длинами осей.

Важная часть требуемой для доказательства техники была развита Бабенко применительно к трёхмерному случаю, однако, как указано Фарбером и Табачниковым, в доказательстве оценки количества траекторий содержались ошибки.

Случай произвольной размерности d и траекторий нечётной (не обязательно простой) длины изучался в статьях Фарбера и Табачникова, где были получены отдельно оценки для простых p (получше) и для непростых нечётных p (похуже).

В данной работе существенно улучшены оценки Фарбера и Табачникова для случая траекторий простой длины.

Роды Хирцебруха и тау-функции в теории КП (по работе T.Katsura, Y.Shimizu, K.Ueno)

В докладе будет построено отождествление бозонного пространства Фока заряда нуль и кольца унитарных кобордизмов, тензорно умноженного на поле рациональных чисел. Основной результат состоит в том, что при этом отождествлении каждому роду Хирцебруха соответствует тау-функция волнового оператора, являющегося решением иерархии Кадомцева-Петвиашвили.

Модули Бейкера-Ахиезера на алгебраических многообразиях: примеры коммутативных колец дифференциальных операторов по нескольким переменным

В доладе будет обсуждаться проблема построения коммутативных колец дифференциальных операторов по нескольким переменным.

Уравнения Пенлеве и детские рисунки

Уравнения Пенлеве возникли в результате классификации обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с простейшими возможными свойствами существенно особых точек решений. Как правило, решения уравнений Пенлеве -- "новые трансценденты", однако существуют и алгебраические решения, интенсивно изучаемые в последние годы. Будет дан краткий обзор этого направления и объяснена связь алгебраических решений уравнений Пенлеве с детскими рисунками.

Другой контекст, в котором те же уравнения появились в 19-м веке -- изомонодромные деформации фуксовых уравнений. В докладе будет рассказано о замечательной недавней работе Н.Хитчина, в которой алгебраические решения Пенлеве-6 строятся геометричесикми методами.

Топологическая квантовая механика, высшие операции в теории Морса и гипотеза о высших целочисленных инвариантах многообразия

Мы начнем с разбора топологической квантовой механики как одномерного аналога инвариантов Громова-Виттена, то есть факторизуемое отображение формального (супер)диска в операторно-значных формах на $R^n/R$. Интегралы от форм по фундаментальным областям определят отображение формального диска в пространство дифференциалов. В качестве первого примера мы рассмотрим бикомплекс, и появление дифференциалов спектральной последательности ( в несколько более широком, чем принято, смысле) и (расширенные) операции Масси. В качестве втоого примера мы рассмотрим теорию Морса, в которой отображение формального диска в пространство дифференциалов будет обобщать дифференциал Морса ( являющийся отображением центра диска). В завершении мы рассмотрим произвол в построенных операциях, покажем, что при малых деформациях он отвечает сопряжению дифференциалов, и сформулируем гипотезу о целочисленных инвариантах многообразия.

О плоских сечениях одной <<правильной>> 3-периодической поверхности и связанном с ними фрактале

Задача описания асимптотических свойств плоских сечений 3-периодических поверхностей поставлена С.П.Новиковым в 1982 г. Ряд результатов был получен его учениками. Я сделаю краткий обзор этих результаов и подробно опишу один пример, исследованный мной совместно с Р. Де Лео, в котором множество направлений плоскостей, дающих <<интегрируемые>> сечения, удалось описать явно. Дополнителнение к объединению этого множества гомеоморфно объединению четырех экземпляров треугольника Серпинского.

Дифференциальная геометрия универсальной эллиптической кривой II

Продолжение доклада.

Дифференциальная геометрия универсальной эллиптической кривой I

Задача описания связностей в универсальных расслоениях якобианов алгебраических кривых тесно связана с классической задачей дифференцирования поля абелевых функций по параметрам. В настоящее время эта задача стала актуальна в связи с теорией фробениусовых многообразий. В докладе будет рассказано о решении этой задачи в случае эллиптической кривой.