Экспоненциирование кубических массивов чисел (трехиндексных тензоров) и симплициальные римановы поверхности

We define exponent of cubic massives of numbers. The role of unity matrix in this case is played by cubic matrix whose elements are structure constants of associative semi-simple algebra. Hence, the coefficients of the Taylor expansion of this new "surface" exponent in powers of the cubic massive are related to the two dimensional simplicial topological invariants. Accordingly all the possible exponents are classified by two dimensional topologies. We discuss the application of this "surface" exponent to the alternative definition of 2D quantum field theory and to the construction of the solutions of the Yang-Baxter equation.

Интегрируемые бездисперсионные уравнения типа Хироты и гиперповерхности в лагранжевом грассманиане

Equations of the dispersionless Hirota type typically arise in the tau-function representation of dispersionless multi-diemnsional hierarchies.

I will discuss an intrinsic approach to equations of this class, revealing a remarkable correspondence of the problem with hypersurfaces of the Lagrangian Grassmannian.

Мультипликативные точки Вейерштрасса и дифференциалы Прима на компактной римановой поверхности

Изучаются мероморфные функции на универсальной поверхности алгебраической кривой рода большего или равного двум. Функция называется мультипликативной, если сдвиг аргумента на элемент фуксовой группы приводит к умножению на ненулевую константу. При этом возникает новое понятие мультипликативной точки Вейерштрасса на кривой, которое является естественным обобщением классических точек Вейерштрасса.

Теоремы Римана-Роха и Абеля для произвольных характеров фундаментальной группы кривой, являются естественными обобщениями классических теорем Римана-Роха и Абеля для однозначных мероморфных функций и абелевых дифференциалов на кривой. Мультипликативные точки Вейерштрасса изучаются с помощью фильтрации в многообразиях Якоби для компактной римановой поверхности. Описываются мультипликативные пробелы Вейерштрасса и Нетера на компактной римановой поверхности. Строится базис голоморфных дифференциалов Прима, который голоморфно зависит от характеров и модулей компактной римановой поверхности.

Интегрируемые 3D-системы гидродинамического типа

Рассматривается некоторый класс интегрируемых систем с тремя независимыми и N зависимыми переменными. В качестве определения интегрируемости выбирается существование псевдопотенциала. Оказывается, что системы, имеющие псевдопотенциал с подвижными особенностями, описываются некоторым функциональным уравнением. Находятся все решения этого уравнения, что позволяет построить для произвольного N новые интересные примеры интегрируемых гидродинамических систем.

Алгебры операторов Лакса

В 2001 году И.М.Кричевер, с целью доказательства гамильтоновой природы уравнений типа Лакса, ввел описание операторов Лакса, зависящих от спектрального параметра на римановой поверхности. Значительно позднее мы заметили, что эти операторы образуют ассоциативную алгебру, а соответствующая алгебра Ли во многом аналогична и алгебрам петель, и алгебрам токов Кричевера-Новикова. Возник вопрос о существовании ортогональных и симплектических аналогов операторов Лакса. Эта задача нами решена. Построенные ортогональные и симплектические аналоги операторов Лакса уже не образуют ассоциативной алгебры, а только алгебру Ли, с сохранением всех отмеченных выше аналогий. Исследована почти градуированная структура этих алгебр, доказано существование и единственность почти градуированного центрального расширения. Обо всех этих результатах, полученных совместно с И.М.Кричевером и М.Шлихенмайером, планируется рассказать в докладе.

Дифференциальная геометрия универсальных расслоений якобианов плоских алгебраических кривых

В докладе будет рассказано о наших результатах с Д.В.Лейкиным, в которых дано явное описание связностей в универсальных расслоениях якобианов плоских алгебраических кривых. В качестве приложения получено решение известной проблемы дифференцирования поля абелевых функций, ассоциированного с плоской кривой, по параметрам кривой. Эта проблема тесно связана с актуальными задачами математической физики.

Discrete analog of the Novikov-Veselov hierarchy

A construction of integrable potential two-dimensional discrete Schrodinger operators is proposed. These operators are defined by Baker-Akhiezer functions on algebaric curves with involution without fixed points. Application of discrete Novikov-Veselov hierarchy for the characterziation problem for Prym varieties will be discussed.

Инфинитезимальные преобразования Дарбу и конформная инвариантность спектральных кривых для торов в 4-х мерном пространстве.

Обобщена на вложения торов в четырехмерное пространство теорема о конформной инвариантности ферми-кривой оператора Дирака, описывающего это вложение. Для трехмерного случая этот результат был доказан ранее M.Schmidt и П.Гриневичем. Показано, что при этом на спектральной кривой может происходить слияние точек, или, наоборот, распад двойных точек, т.е. конформно инвариантна не сама кривая, а ее вложение в пространство мультипликаторов.

Многозначные динамики с дискретным временем и многозначные группы.

Однозначная динамика с дискретным на множестве S --- это просто отображение T:S-->S. Динамика T обратима, если каждый элемент множества S имеет ровно один прообраз при отображении T. Каждая обратимая динамика может быть проинтегрирована при помощи бесконечной циклической группы. Это означает, что существует действие циклической группы на множестве S такое, что действие образующей задает динамику T. Доклад будет посвящен аналогу этого (тривиального) утверждения для m-значных динамик.

Под m-значной динамикой с дискретным временем понимается отображение из множества S в его m-ую симметрическую степень (S)^m. Понятие m-значной группы было введено В.М.Бухштабером в начале 1990-х годов: m-значная группа --- это множество A с умножением mu: AxA-->(A)^m, удовлетворяющим естественным обобщениям аксиом ассоциативной группы. Аналогами циклических групп являются однопорожденные m-значные группы, то есть такие, все элементы которых содержатся в степенях некоторого выделенного элемента. В отличие от циклических групп, в многозначном случае существует очень много однопорожденных m-значных групп (их классификация неизвестна).

В докладе будет рассказано о (частично совместных) результатах В.М.Бухштабера, П.В.Ягодовского и докладчика об интегрируемости m-значных динамик при помощи однопорожденных m-значных групп. Самым сильным результатом в этом направлении является на данный момент теорема П.В.Ягодовского и докладчика об интегрируемости m-значных динамик, при которых каждая точка имеет ровно m прообразов с учетом кратностей. При m>1 неизвестно, является ли это достаточное условие интегрируемости необходимым. Особо будет рассмотрена естественная (n+1)-значная динамика на множестве n-мерных симплексов n-мерного триангулированного многообразия. Большое внимание планируется уделить примерам m-значных динамик и интегрирующих их m-значных групп.

Классификация интегрируемых гидродинамических цепочек, связанных с деформированной скобкой Пуассона--Купершмидта.

Рассматривается формальная сумма скобки Купершмидта и скобки Купершмидта--Манина. Гамильтонианы, зависящие от первых двух полевых переменных, задают гидродинамических цепочки. Эти гидродинамические цепочки являются интегрируемыми при специальном выборе гамильтонианов. В результате найдено 5-параметрическое семейство интегрируемых гидродинамических цепочек, которые все приводимы к цепочке Купершмидта преобразованиями по решению и преобразованиями типа Миуры.

Однако, это 5-параметрическое семейство позволяет найти новые решения самой цепочки Купершмидта.

Топология множеств Кемпфа--Несс для алгебраических действий тора.

Мы строим множества типа Кемпфа--Несс для действий алгебраического тора на некоторых квазиаффинных многообразиях и описываем топологию этих множеств. В классической ситуации действий алгебраических групп на аффинных многообразиях понятие множества Кемпфа--Несс позволяет заменить категорный фактор на факторпространство по действию максимальной компактной подгруппы. Мы показываем, что момент-угол комплексы, рассматриваемые в торической топологии играют роль множеств Кемпфа--Несс для класса действий алгебраического тора на квазиаффинных многообразиях (дополнениях конфигураций координатных подпространств), возникающих в подходе Батырева--Кокса к торическим многообразиям на основе теории инвариантов. Затем мы вычисляем когомологии этих "торических" множеств Кемпфа--Несс. В случае неособых проективных торических многообразий соответствующие множества Кемпфа--Несс могут быть описаны как полные пересечения вещественных квадрик в комплексном пространстве.

Формула Талалаева, квантование лагранжевых подмногообразий и соответствие Ленглендса.

Гипотически каждому лагранжеву подмногобразию при квантовании должен отвечать левый идеал в квантовой алгебре функций. Будет рассказано как можно строить это соотвестветствие для Лиувиллевых торов интегрируемых систем и соответствующих им спектральных кривых. Ключевой конструкцией является формула Талалаева задающая "квантовую спектральнуюю кривую". "Квантовая спектральная кривая" является столь же эффективным инсрументом исследования квантовых интегриеруемых систем, сколь обычные спектральные кривые при изучении классических систем. Основные вопросы о квантовой системе - нахождение спектра и собственных функций. Оказывается, оба эти вопроса могут быть сведены к изучению "квантовой спектральной кривой" и тем самым эффективно решены во многих случаях. Одно из приложений теории "квантовой спектральной кривой" - явное построение геометрического соответствия Ленглендса (в формулировке Бейлинсона-Дринфельда). Если время позволит будут описаны и другие приложения (явное описание центра алгебр Каца-Муди на критическом уровне, рациональность решений уравнения Книжника-Замолодчикова, квантовые тождества Гамильтона-Кэли, Ньютона, Бете анзац, разделение переменных и др.), а также перспективы построения многомерного соответствия Ленглендса и связанные вопросы построения теории высших симлектических многообразий - многообразий с замкнутой n-формой (вместо 2-формы), высших связностей (потенциал связности - (n-1)-форма, кривизна - n-форма), n-представлений групп и n-категорий, интегрируемых систем, у которых вместо спектральных кривых - "спектральные многообразия размерности n".

Часть результатов описаны в работах Д. Талалаева и докладчика
http://xxx.lanl.gov/abs/hep-th/0607250
http://xxx.lanl.gov/abs/hep-th/0604128
http://xxx.lanl.gov/abs/hep-th/0404153

Гомоморфизмы Фробениуса. Теорема единственности.

Понятие n-гомоморфизма Фробениуса было введено В.М.Бухштабером и Э.Рисом в 1997 году. n-омоморфизмы - это линейные отображения между алгебрами, удовлетворяющие специальному условию, задаваемому конкретным многочленом Фробениуса F_{n+1}(z_1,...,z_n) с рациональными коэффициентами. В первой части доклада автор напомнит об алгебро-функциональном описании пространства непрерывных отображений в симметрические степени топологических пространств, полученное с помощью n-гомоморфизмов. Во второй части будет введено понятие закона произвольной n-полиномиальной зависимости, обобщающее закон n-гомоморфизма. В сущности, n-полиномиальная зависимость задается произвольным однородным многочленом P_{n+1}(z_1,...,z_n) степени n+1, градуировка z_i равна i. Определяется естественное понятие невырожденности для n-полиномиального закона P_{n+1}(z_1,...,z_n). Главный результат, который будет приведен во второй части доклада, теорема единственности, утверждает, что среди всех n-полиномиальных законов P_{n+1}(z_1,...,z_n) со старшим коэффициентом(коэффициентом при Z_1^{n+1}) не равным нулю, закон n-гомоморфизма F_{n+1}(z_1,...,z_n) единственный невырожденный.

Многомерное соответствие Кричевера-Паршина.

Для решения иерархии КП применяется конструкция, которая квинтету: проективной кривой, расслоению на ней, точке на кривой, локальному параметру в точке и формальной тривиализации расслоения в точке ставит в соотвествие Фредгольмово подпространство в рядах Лорана, так называемую точку в Грассманиане Сато, на котором пишутся потоки иерархии. Будет рассказана конструкция, сопоставляющая обобщенному "квинтету" на n-мерном алгебраическом многообразии подпространство в итерированных рядах Лорана (n-мерном локальном поле). Будет рассказана гипотетическая связь этой конструкции c иерархией Паршина, которая обобщает иерархию КП.

Циклическое движение в плоскости комплексного времени: фракталы в одномерном нелинейном осцилляторе.

Рассмотрим одномерный нелинейный осциллятор x''=-x^{2n+1}. Введем комплексное время и предположим, что динамика отвечает движению по окружности в комплексном времени (идея Франческо Калоджеро). Если радиус достаточно мал, то движение периодично с постоянным периодом. При возрастании радиуса из-за наличия точек ветвления динамика резко усложняется. Компьютерные эксперименты показывают возникновение апериодических траекторий и фракталов.

Дискретный аналог операторов Диксьме.

Мы построили дискретный аналог операторов Диксьме, т.е. коммутирующие разностные операторы, отвечающие спектральной кривой рода 1, коэффициенты которых являются полиномами от дискретной переменной.

Интегрируемые системы и топология изоспектральных поверхностей.

Интегрируемые уравнения, которые могут быть заданы представлением Лакса dL/dt=[L,A], представляют из себя потоки на изоспектральных поверхностях в пространстве операторов L. Это позволяет применить эти уравнения к изучению топологии этих поверхностей. На первый взгляд может показаться, что эти поверхности могут быть только торами Лиувилля, но на самом деле это не так, мы увидим, что топология может быть достаточно сложной. В докладе мы обсудим примеры и круг идей в данной области.