Экспоненцирование кубических массивов и голономии на поверхностях.

Мы определим, как умножать м экспоненцировать кубические массивы чисел (матрицы с тремя индексами). Экспоненты классифицированы в соответствии с двумерными дискретными топологиями и полупростыми ассоциативными алгебрами. Мы используем такие экспоненты для определения голономий на поверхностях в различных пространствах.

Произведения Масси в когомологиях градуированных алгебр Ли.

В докладе будет обсуждаться связь произведений Масси одномерных когомологий "положительной части" алгебры Вирасоро Vir+ и ее нильпотентных представлений.

Матричное уравнение КдФ, взаимодействие матричных солитонов и отображение Янга-Бакстера.

В докладе будет рассказано о методе обратной задачи рассеяния для матричного уравнения КдФ, его многосолитонных решениях и взаимодействии матричных солитонов (изменении фаз и поляризации). Соответствующие формулы (для поляризации) определяют отображение, удовлетворяющее уравнению Янга-Бакстера.

Преобразование двойственности для неабелевых спиновых систем на двумерных решетках.

В 1941-ом году Крамерс и Ванье обнаружили специальную симметрию, которая связывает низкотемпературные и высокотемпературные фазы в плоской модели Изинга. Соответствующее преобразование, преобразование Крамерса-Ванье, является специальной нелокольной подстановкой в функцию разбиения. Существование таких преобразований является общим свойством спиновых систем на решетках. Обобщение преобразования Крамерса-Ванье на спиновые системы с неабелевой симметрией существенно для многих задач в статистической физике и теории поля. Эта задача очень сложна и не может быть решена классическими методами (такими, как преобразование Фурье в коммутативном случае). Мы представим новые результаты, которые решают эту задачу для конечных неабелевых групп.

Логарифмические фробениусовы структуры и дискриминанты групп Кокстера.

Рассматриваются логарифмические решения уравнений Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde, связанные с системами ковекторов (V-системами), и соответствующие ассоциативные умножения касательных векторов в n-мерном пространстве. В кокстеровском случае такое умножение двойственно умножению из фробениусовой структуры на пространстве орбит группы Кокстера (Дубровин). Мы получаем известные и новые V-системы с помощью ограничения кокстеровских систем на пересечения зеркал. Соответствующие умножения двойственны ограничениям фробениусовых умножений на дискриминанты групп Кокстера. Имеются, однако, логарифмические структуры (V-системы), не получающиеся из кокстеровских процедурой ограничения. Работа является совместной с А.П.Веселовым.

Ряды Пуанкаре мульти-индексных фильтраций и интегралы по эйлеровой характеристике.

На кольце ростков функций на неприводимой особенности плоской кривой, заданной в C^2 уравнением f=0, имеется естественная фильтрация, определяемая порядком нуля функции, записанной как функция от униформизирующего параметра. Ряд Пуанкаре этой фильтрации оказывается мистическим образом совпадающим с дзета-функцией классической монодромии ростка f. (Дзета-функция - это более-менее характеристический многочлен.) Имеется ряд обобщений этого утверждения, в том числе - и для мульти-индексных фильтраций. Для вычисления соответствующих рядов Пуанкаре эффективной оказывается техника, использующая вариант интегрирования по отношению к эйлеровой характеристике по проективизации кольца ростков функций.

Гомоморфизмы Фробениуса и их приложения.

Понятие n-гомоморфизма Фробениуса было введено в работах В.М.Бухштабера и Е.Риса в 1996-1997 годах. Доклад посвящен краткому введению в теорию n-гомоморфизмов и изложению последних результатов. В частности, будет приведен результат, обобщающий классическую теорему Колмогорова-Гельфанда о каноническом вложении компактного хаусдорфова пространства X В сопряженное пространство к алгебре непрерывных комплекснозначных функций на X, взятое со *-слабой топологией.

Степенные ряды целочисленные в смысле Гурвица и кольца дифференциальных операторов.

Степенные ряды целочисленные в смысле Гурвица( понятие введенное Гурвицем в 1899 году ) и их современные обобщения играют важную роль в ряде актуальных направлений исследований. Доклад посвящен обзору классических и самых последних приложений этого понятия в теории колец дифференциальных операторов, алгебр Хопфа, алгебраической топологии и теории абелевых функций . Будут даны все необходимые определения.

Об иерархии уравнения Плебанского (second heavenly equation).

Рассматривается иерархия уравнения Плебанского. Развивается схема метода dbar-одевания, изучаются некоторые редукции.

Ориентированные матроиды и формула Гельфанда-МакФерсона для рациональных классов Понтрягина.

В 1975 году в работе А.М. Габриэлова, И.М. Гельфанда и М.В. Лосика впервые была построена комбинаторная формула для первого класса Понтрягина. Эта формула позволяла по гладкой триангуляции многообразия строить рациональный симплициальный цикл, класс гомологий которого двойствен по Пуанкаре первому классу Понтрягина данного многообразия. Ключевым моментом в построении формулы Габриэлова-Гельфанда-Лосика является изучение так называемых пространств конфигураций, которые можно трактовать как пространства симплициальных вееров в векторном пространсве с заданным комбинаторным типом. Сложность этих пространств очень сильно возрастает при увеличении размерности векторного пространства, поэтому попытки построить аналогичные формулы для старших классов Понтрягина наталкивались на непреодолимые технические трудности.

Комбинаторные формулы для старших классов Понтрягина были построены в 1992 году И.М. Гельфандом и Р.МакФерсоном. Основной идеей, лежащей в основе этих формул, является использование вместо конфигураций векторов их комбинаторных аналогов --- ориентированных матроидов. В дальнейшем, Р. МакФерсон и другие авторы применили теорию ориентированных матроидов для построения новой категории так называемых CD-многообразий. CD-многообразие --- это псевдомногообразие, снабженное некоторыми комбинаторными структурами. Оказывается, что CD-многообразия обладают многими свойствами, похожими на свойства гладких расслоений. В частности, для CD-многообразий определены все те же характеристические классы, что и для гладких многообразий, в том числе, целочисленные классы Понтрягина.

В докладе будет дано краткое введение в теорию ориентированных матроидов и CD-многообразий, после чего будет построена формула Гельфанда-МакФерсона.

Циклы на инвариантных почти инвариантных комлексных лагранжевых многообразиях и туннельные формулы расщепления собственных значений многомерных операторов Бельтрами-Лапласа и Шредингера.

В квазиклассическом приближении рассматриваются задачи о расщеплении энергетических уровней многомерных операторов Шредингера с симметричными потенциалами и оператора Бельтрами-Лапласа на поверхности Лиувилля. Обсуждается геометрическая формула для расщепления, основанная на подходящих ("туннельных") замкнутых путях на комплексных лагранжевых многообразиях в комплексных фазовых пространствах, инвариантных (в интегрируемых случаях) и "почти инвариантных" (в неинтегрируемых случаях) относительно соответствующих фазовых потоков. В случае нижних энергетических уровней эта формула связана с переходом от инстантонов к неустойчивым замнутым траекториям (либрациям) гамильтоновых систем.

Частично интегрируемые многомерные уравнения.

Предлагается модификация метода одевания, позволяюшие строить (n-2)-мерные многообразия решений некоторых n-мерных уравнений (совместно с P.M.Santini).

Уравнения Уизема и их деформации.

Рассматриваются деформации систем Уизема (задача Дубровина) с включением дисперсионных членов. При выполнении некоторых условий невырожденности предложен алгоритм построения деформации систем Уизема использующий исходную нелиненейную систему. Общая форма деформированных систем совпадает со "слабодисперсионной асимптотикой", используемой Дубровиным и Жангом в теории деформаций многообразий Фробениуса.

Уравнение Шази и системы Уизема.

Будет обсуждена связь между усредненным КдФ (averaged KdV) и уравнением Шази.

Алгебро-геометрическое доказательство гипотезы Виттена.

Гипотеза Виттена утверждает, что индексы пересечения естественных характеристических классов на пространствах модулей стабильных кривых объединяются в производящую функцию, удовлетворяющую интегрируемой иерархии КдФ. Известные доказательства этого утверждения используют разнообразную технику, не связанную с исходной постановкой задачи - от матричных интегралов до метрической геометрии пространств Тейхмюллера. В докладе будет рассказано полученное недавно Казаряном и Ландо прямое доказательство. Оно основано на изучении чисел Гурвица, перечисляющих общие разветвленные накрытия двумерной сферы с предписанным ветвлением над бесконечностью. Оказывается, что с одной стороны такие числа Гурвица объединяются в решение интегрируемой иерархии КП, а с другой через них можно выразить числа пересечений на пространстве модулей. Это выражение и превращает иерархию КП в КдФ.

Коммутирующие гамильтонианы, квадратичные по моментам.

В случае двух степеней свободы рассматривается задача о паре квадратичных по моментам функций, коммутирующих относительно стандартной скобки Пуассона.

Штребелевы дифференциалы на стабильных кривых.

Мы определим понятие штребелевого дифференциала на стабильной кривой и докажем, что при таком определении штребелевы дифференциалы образуют непрерывное семейство над компактификацией Делиня-Мамфорда пространства модулей комплексных кривых.

Штребелевы дифференциалы мотиворуют построение новой компактификации пространства модулей, получающейся из компактификации Делиня-Мамфорда стягиванием подмногообразий положительной коразмерности. Мы обсудим связь этой компактификации с доказательством Концевича гипотезы Виттена.

Мультипликативные свойства непрерывного аналога базиса Кричевера-Новикова.

Доклад посвящен приложениям наших результатов о законах сложения на якобианах плоских алгебраических кривых (см. тезисы докладов 15 декабря 2004 г.и 09 февраля 2005 г.). Как следствие, мы дадим описание мультипликативной структуры непрерывного аналога базиса Кричевера - Новикова в терминах этих законов.

Пусть V плоская алгебраическая кривая рода g и R(V) - поле ее рациональных функций. Дана явная конструкция семейства функций Бейкера - Ахиезера Ф(P,u) с одной существенно особой точкой на кривой ,где P - точка кривой V, а u - точка еЁ якобиана Jac(V). Показано, что порожденный этими функциями R(V)-модуль является коммутативной алгеброй с умножением Ф(P,u)Ф(P,v)= r(P,u,v,u+v)Ф(P,u+v), где r(P,u,v,u+v) - при фиксированных u и v, рациональная функция на кривой, числитель которой - полином с 3g нулями на V, задающий сумму точек u и v, а знаменатель - полином с 2g нулями на V, задающий точку,обратную к (u+v). При u=xe и v=ye , где e выделенный координатный орт на якобиане Jac(V),а x и y комплексные числа, получается семейство функций Бейкера - Ахиезера, введЁнное П.Г.Гриневичем и С.П.Новиковым в качестве непрерывного аналога базиса Кричевера-Новиков.