Циклические $q$-цепочки Дарбу.

Под $q$-цепочкой Дарбу мы понимаем последовательность разностных операторов $A_j$ связанных соотношением $A_j A^+_j=qA^+_{j-1}A_{j+1}+\alpha_j$, где $\alpha+j$ --- некоторые константы. Такая цепочка является естественным разностным аналогом {\it одевающей цепочки} --- системы нелинейных дифференциальных уравнений, исследованной А.П.Веселовым и А.Б.Шабатом в начале 90-х годов прошлого века. Известно, что одевающая цепочка сводится к уранениям Пенлеве и их высшим аналогам, а в самом простейшем случае --- к гармоническому осциллятору.

Рассмотрение разностных операторов дает возможность изучать различные способы циклического замыкания $q$-цепочки; цепочки длины 1 и 2 сводятся к различным моделям $q$-осциллятора, появившимся в литературе также в начале 90-х годов.

Оказывается, что оператор $L_j=A_j A_j^+$ циклической $q$-цепочки имеет число дискретный спектр и его собственные функции образуют полное семейство в пространстве $L_2(\BBb Z)$ квадратично суммируемых последовательностей. Показано, что для цепочек длины 1 и 2 имеет место сходимость к непрерывной модели.

Преобразования Лапласа и спектральная теория двумерных полудискретных и дискретных операторов Шредингера.

Мы начнем с введения преобразований Лапалса для двумерных полудискретных операторов Шредингера и изучения их связи с полудискретной двумерной цепочкой Тоды. Затем мы разовьем алгебро-геометрическую спектральную теорию для этих операторов. В полностью дискретном случае задача уже была решена Кричевером, так что для дискретных операторов мы рассмотрим только прямую задачу. Мы покажем, что преобразования Лапласа очень хорошо устроены в терминах спектральных данных, что позволяет написать решения (полу-)дискретной цепочки Тоды через тэта-функции.

Деформации функций и векторных полей Кричевера-Новикова и связность Книжника-Замолодчикова.

Задача обобщения связности Книжника-Замолодчикова пространства модулей кривых положительного рода, поставленная Д.Бернаром в 1984-ом году и полностью решенная в знаменитой работе Цучия-Уено-Ямада, тем не менее, продолжает оставаться актуальной. Одним из вопросов, не получивших, на наш взгляд, адекватного объяснения, представляется корректная определенность связности Книжника-Замолодчикова на конформных блоках. М.Шлихенмайер и докладчик предложили геометрическое доказательство корректности, основанное на формулах инфинитезимальных деформаций тензоров Кричевера-Новикова, как функций модулей. Докладчик постарается, насколько это возможно, ввсети необходимые определения.

Изоморфизм двух реализаций янгиана. Существуют 3 реализации янгиана Y(gl_n) - так называемая "первая реализация", "новая" реализация, впервые введенные Дринфельдом, а также реализация через RTT-соотношения. Долгое время изоморфизм между RTT-реализацией и "новой" реализации не был строго доказан. В настоящее время появилось первое строгое доказательство изоморфизма двух последних реализаций янгиана Y(gl_n).

Янгиан супералгебры Ли и вычисление универсальной R-матрицы.

Янгиан Y(g) алгебры (супералгебры) Ли g является квуантованием универсальной обертывающей алгебры биалгебры (бисупералгебры) Ли полиномиальных токов g[t] со структурой коалгебры (косупералгебры) Ли, определяемой классической r-матрицей Янга. Янгиан является так называемой псевдотреугольной алгеброй Хопфа. Именно, как показал В.Г. Дринфельд, существует формальный ряд R(\lambda)= \sum_{k=0}^{\infty} R_k \lambda^{-k-1}, \R_k \in Y(g) \otimes Y(g)$, сплетающий, сдвинутые коумножение \Delta и противоположное коумножение \Delta^{op}. Этот формальный ряд называется универсальной R-матрицей янгиана и играет большую роль в приложениях теории квантовых алгебр в математической физике и квантовой теории поля. До сих пор не было известно точной формулы для R(\lambda), хотя весь необходимый для их получения аппарат был развит в последние годы. В докладе пойдет речь о вычислении такой формулы для янгиана супералгебры Ли типа A(m,n). При этом центральную роль будут играть конструкция квантового дубля янгиана и вычисление универсальной R-матрицы для дубля янгиана. Универсальная R-матрица янгиана будет получена из универсакльной R-матрицы дубля действием некоторого сдвига по одному из тензорных сомножителей, который переводит образующие двойственной к янгиану алгебры Хопфа в двойственные образующие янгиана.

Алгебро-геометрическая теория изоспектральных уравнений изомонодромии.

Будет предложен общий подход к гамильтоновой теории интегрируемых систем, основанный на понятии универсальной 2-формы на пространстве операторов.

Топология квазипериодических функций.

Я расскажу, что такое квазипериодические функции, в каких физических и математических задачах они естественым образом возникают, и изложу некоторые результаты о поведении линий уровня квазипериодических функций на плоскости, полученные школой Новикова.

Плоские подмногообразия с плоской нормальной связностью, уравнения ассоциативности и фробениусовы структуры.

В докладе будет показано, что уравнения ассоциативности двумерных квантовых топологических теорий поля описывают специальный класс плоских $N$-мерных подмногообразий в $2N$-мерном псевдоевклидовом пространстве, на которых определены естественные фробениусовы структуры.

Хирургия плоских поверхностей.

Я расскажу про плоские поверхности и их связь со слоениями на поверхностях, про связь плоских поверхностей с голоморфными 1-формами и про некоторые естественные инварианты плоских поверхностей.

Пространство модулей m-spin структур.

Речь идет о пространстве пар (риманова поверхность, корень степени m из кокасательного расслоения). Строятся топологические инварианты, определяющие компоненты связности пространства. Доказыватся, что каждая из них гомеоморфна $R^n/Mod$ , где $Mod$-дискретная группа. Доклад основан на статье, совместой с А.Протусевич.

Квантовая система Годена и Г-оперы

Будет рассказано о результатах двух свежих работ. В первой было построено семейство квантовых коммутирующих операторов, которые деформируют классическую систему Годена. В отличие от более ранних результатов найдены деформации всех старших гамильтонианов. Использовалась техника Янгиана и подалгебр Бете.

Во второй работе (совм. с А.Червовым) была установлена явная связь между собственными числами квантовых гамильтонианов Годена в конечномерных представлениях квантовой алгебры и так называемыми Г-операми, то есть с дифференциальными операторами с регулярными особенностями, не имеющими монодромии. Данный результат также обобщает имеющееся ранее подобное утверждение для случая ранга 2.

Гиперэллиптические теоремы сложения и приложения

В докладе будеи рассказано о результатах, полученных совсем недавно совместно с Д.В.Лейкиным.

Пусть дано семейство алгебраических кривых {f(x,y,lambda)=0} рода g. Мы рассматриваем два известных расслоения U и X над пространством параметров {Lambda}. Слоем расслоения U является якобиан кривой. Пространство U имеет естественную структуру группоида, индуцирующую каноническое сложение на слое. Слоем расслоения X является g-я симметрическая степень кривой. Мы описываем структуру алгебраического группоида на X, ограничение которой на слой в случае g=1 дает классическое сложение на кривой третьего порядка.

Теоремы сложения, о которых будет идти речь в докладе, дают явное описание изоморфизма группоидов U-->X в терминах абелевых функций на U. В случае g=1 это приводит к классическим теоремам сложения для эллиптических функций Вейерштрасса. Эффективность предложенного общего подхода демонстрируется в гиперэллиптическом случае, в котором мы даем решение важной для современных приложений задачи о формулах сложениях гиперэллиптических абелевых функций.

В качестве приложения мы получаем новые дифференциальные уравнения, решаемые в сигма-функциях. Это --- трилинейные уравнения, существенно развивающие известные билинейные уравнения Хироты.

Трилинейные функциональные уравнения и эффективизация гипергеометрических теорем сложения

Симплектическая геометрия представлений фундаментальных групп поверхностей

Пространства классов эквивалентности представлений фундаментальных групп римановых поверхностей являются предметом пристального внимания в связи с задачами геометрии и математической физики, включая солитонные уравнения и конформную теорию поля.

В докладе будут рассмотрены следующие вопросы: пуассонова структура на свободных гомотопических классах контуров. Пуассонова алгебра гамильтонианов Голдмэна. Симплектическая структура по Атье-Ботту и по Кричеверу. Поляризация Вейцмана пространства 2-мерных унитарных представлений.

Пространства модулей представлений фундаментальных групп многообразий и связанные с ними дифференциально-топологические инварианты

В докладе будет дано более детальное описание пространства представлений фундаментальных групп (в частности, для групп поверхностей), изложенное О.Шейнманом на последнем семинаре, а также будут рассмотрены некоторые вопросы гомологической алгебры, естественно возникающие при изучении этих пространств.

Многомерные локальные поля и соответствие Кричевера для алгебраических многообразий

Хорошо известно отображение, которое квинтету: алгебраической кривой, точке, локальному параметру в этой точке, линейному расслоению и тривиализации линейного расслоения в формальной окрестности точки сопоставляет фредгольмово подпространство в поле Лорановских рядов, то есть точку в грассманиане Сато. Это отображение называется отображением Кричевера и применялось к решению солитонных уравнений и к модулям кривых.

В докладе будет рассказано об обобщении этого отображения для случая многомерных алгебраических многообразий, когда точка заменяется на флаг подмногообразий, а поле Лорановских рядов на поле итерированных рядов Лорана. В случае алгебраических поверхностей предложенная конструкция совпадает с конструкцией А.Н. Паршина.

Обобщенные проебразования Лапласа и интегрирование линейных гиперболических уравнений в частных производных

Будет предложена новая процедура обобщенной факторизации и построено общее решение строго гиперболических линейных дифференциальных уравнений в частных производных или строго гиперболических систем таких уравнений на плоскости. Эта процедура обобщает классическую теорию преобразований Лапласа для уравнений сторого порядка на плоскости.

О некоторых интегрируемых разностных уравнениях

Будет рассказано о новых результатах о классификации дискретных интегрируемых уравнений. В частности будут рассмотрены отображения Янга-Бакстера на линейных пучках коник, принцип нелинейной суперпозиции для уравнений типа КдФ и дискретных цепочкек типа Тоды.

Биспектральность обобщенных систем Калождеро-Мозера-Сазерленда

Будут рассмотрены обобщенные квантовые задачи Калоджеро-Мозера-Сазерленда с тригонометрическими потенциалами отвечающими специальным конфигурациям гиперплоскостей с кратностями. Эти конфигурации возникли при исследовании рациональных задач в работах Веселова, Чалых, автора. Я определю функции Бейкера-Ахиезера, а также разностные уравнения типа Рудженаарса-Макдональда, которым функции Бейкера-Ахиезера удовлетворяют по спектральному параметру. Это продолжает результаты Чалых, полученные для систем корней и одной из известных деформаций. Также я собираюсь обсудить геометрические ограничения на возможные конфигурации.

Некоторые гомотопические задачи перераспределения собственных значений эллиптических операторов

В докладе будет рассматриваться поведение собственных значений оператора Лапласа в полуквантовом пределе на однородных многообразиях. Структура спектра в полуквантовом приближении описывается группами, которые характеризуются спектром соответствующей классической задачи. Будет описан механизм перехода собственных значений между разными группами спектра.

Интегрируемая при одной энергии дискретицация двумерного оператора Шредингера.

Будет рассказано о результатах, полученных совместно с A. Doliwa, M. Nieszporski, P.M. Santini. Построена дискретизация двумерного оператора Шредингера, волновые функции которой при одной энергии явно вычисляются. В периодическом случае получается дискретизация конструкции Веселова-Новикова.

Характеризация Якобианов и Приммианов на основе интегрируемых линейных уравнений.

В докладе будет изложено новое решение задачи Римана-Шоттки, основанное на использовании линейного интегрируемого уравнения. Полученная характеризация сильнее той, которая дается гипотезой С.П.Новикова, и является частным случаем гипотезы Велтерса о тройной секущей. Во второй части будет изложено решение классической задачи о характеризации Приммианов.

Униформизация алгебраических кривых.

Рассматривается униформизация алгебраических кривых F(x,y)=0 высших родов над полем комплексных чисел. Мероморфных функциям на кривых соответствуют линейные дифференциальные уравнения второго порядка класса Фукса. Произвольные кривые рода g>1 могут быть униформизированы подгруппами определенной группы рода ноль, которую мы называем универсальной униформизирующей группой/функцией. Частным случаем этой конструкции являются модулярные уравнения. Мы вводим понятие модулярной униформизации как простейшего способа униформизации и ему соответствуют алгебраические решения обыкновенного нелинейного уравнения 3-го порядка, называемого уравнением Якоби. Как следствие получаем, что все униформизируемые кривые образуют иерархии и башни (вложения). Это ведет к определенным конструкциям в пространстве модулей кривых и взаимной определяемости акцессорных параметров.

Предлагается новый подход к решению проблемы, основанный на универсальной униформизации функции и гиперэллиптическом анзаце для нее. Одно из проявлений подхода --- новый способ построения теории эллиптических функций, приводящий, в частности, к новым результатам в теории тета-функций Якоби.

Конструкция естественно приводит к явным примерам фуксовых уравнений на эллиптических торах, однозначным битрансцендентным преобразованиям между кривыми и ряду явно описываемых нетривиальных приложений.

Ключевые слова: римановы поверхности, многоугольники Пуанкаре, явно решаемые фуксовы уравнения, акцессорные параметры, представления групп монодромий, модулярные уравнения, тета-функции и тета-константы, абелевы интегралы, метрики Пуанкаре, представления римановых поверхностей накрытиями, конформные отображения.

Корреляционные функции XXZ цепочки Гейзенберга.

Получены представления в виде кратных интегралов для корреляционных функций XXZ цепочки Гейзенберга спина 1/2. В некоторых частных случаях интегралы удается вычислить явно.

Kontsevich and Batalin-Vilkovisky classes in the ribbon graph complex.

The ribbon graph complex computes the cohomology of moduli spaces of complex algebraic curves of all genera and with any number of marked points.

An A-infinity algebra with an even invariant scalar product determines a cycle in the graph complex. Similarly, a differential contractible algebra with an odd invariant scalar product determines a cocycle in the graph complex. These constructions were originally sketched by Kontsevich over a decade ago but until now they have not been properly utilized.

Using homologucal algebra and a finite dimensional analogue of the Batalin-Vilkovisky formalism in quantum field theory we give a conceptual reformulation of these constructions. We also construct infinite series of explicit nontrivial examples of these classes and compute their pairings in terms of asymptotic expansions of certain finite-dimensional integrals.