Торические образующие в U- и SU-бордизмах

Мы опишем семейство торических многообразий, порождающих кольцо унитарных (комплексных) бордизмов. Каждое многообразие в этом семействе представляет собой комплексную проективизацию суммы одномерного расслоения и тривиального расслоения над комплексным проективным пространством. Модификация этой конструкции даёт семейство квазиторических SU-многообразий, которое содержит полиномиальные образующие кольца SU-бордизмов с обращённой 2 в размерностях >8. Каждое многообразие в этом семействе получено из итерированной проективизации суммы одномерных расслоений путём изменения стабильно комплексной структуры так, что первый класс Чженя становится равным 0.

Ссылка: On toric generators in the unitary and special unitary bordism rings, Zhi Lu, Taras Panov, http://arxiv.org/abs/1412.5084

Систолический объём гомологических классов

С каждым целочисленным классом гомологий некоторой конечнопорождённой группы можно естественным образом связать его "размер", называемый систолическим объёмом этого класса. Это сравнительно новое понятие, появившееся пару лет назад. В докладе будет дано определение систолического объёма, рассмотрены его свойства, известные на сегодняшний день, а также сформулирован ряд открытых вопросов.

Регулярная гомотопность погружений графов в поверхности

В докладе будет представлен критерий регулярной гомотопности погружений графов в поверхности. Критерий основан на понятии числа вращения, введенного в статье "Further remarks on the winding number", Reinhart. Работа докладчика потребовала развить это определение для получения инварианта регулярных гомотопий кривых на замкнутых поверхностях и не сохраняющих базовую точку.

О целочисленном кольце когомологий симметрических степеней

Аннотацию доклада см. здесь.

Граф-усечения простых многогранников и приложения

В работе В.М.Бухштабера и В.Д.Володина 2012 года изложена теория 2-усеченных кубов и её приложения к известным задачам комбинаторики флаговых многогранников. В основе этой теории лежит операция усечения простого многогранника P вдоль грани F коразмерности 2. Эта операция замечательна тем, что переводит простой многогранник в простой и флаговый многогранник в флаговый. Она позволила ряд семейств флаговых многогранников (ассоциэдры, нестоэдры, кубиэдры, и др.), играющих важную роль в торической геометрии, торической топологии и естественно возникающих в теории особенностей, теории кластерных алгебр, теории квантовых групп, задачах математической физики, реализовать как 2-усеченные кубы.

В настоящей работе мы развиваем теорию и приложения, основанные на более общей операции граф-усечения простых многогранников, использующую понятие допустимого графа набора граней коразмерности 2 данного простого многогранника. Показано,что эта операция переводит простой многогранник в простой и флаговый многогранник во флаговый. Особое внимание уделено трехмерным многогранникам, где имеется замечательный класс многогранников - фуллерены, которые не являются 2-усеченными кубами. Показано, что каждый фуллерен является флаговым многогранником. Введено понятие граф-фуллерена. Описаны все граф-фуллерены, которые можно получить из куба, ассоциэдра (многогранника Сташефа), циклоэдра (многогранника Ботта-Таубса). Среди них имеются комбинаторно не эквивалентные фуллерены, у которых наборы двумерных граней совпадают. Показано, что не существует граф-фуллеренов, которые можно получить из тетраэдра и пермутоэдра.

О вложениях S^2 в E^4

В докладе мы приведем частичный ответ на вопрос, поставленный проф. Ю.Б.Зелинским, о возможности 2-выпуклого вложения двумерной сферы в четырехмерное евклидово пространство.

Производная локализация

Локализация колец и модулей - одна из фундаментальных конструкций коммутативной алгебры. Её основное свойство - точность; оно позволяет легко определить соответствующее понятие на уровне производных категорий. В настоящем докладе я расскажу, как строить некоммутативную локализацию (с сохранением точности). Приложения включают обобщённую теорему о групповом пополнении, циклические гомологии, стабильные гомологии групп классов отображений и др. Работа выполнена совместно с Д.Чуангом и К.Броном.

Теорема Аносова и теория Нильсена совпадений (обзор)

В качестве продолжения обзорного доклада В.П.Лексина по теории Нильсена неподвижных точек, будет сделан обзор работ по теории  Нильсена совпадений, представляющих развитие теоремы Аносова. Будут даны все необходимые определения. 

Конформный тип и изопериметрическая функция риманова многообразия

Некомпактные римановы многообразия можно конформно инвариантно разделить на два класса: конформно параболические (например, пространство Евклида) и конформно гиперболические (например, пространство Лобачевского), в соответствии с тем, какова конформная ёмкость многообразия на "бесконечности" - равна нулю или положительна.

В докладе будут указаны некоторые геометрические признаки и критерии конформного типа некомпактного риманова многообразия.

Будет показано, что на любом некомпактном римановом многообразии конформной заменой метрики изопериметрическое неравенство приводится к такому нормальному виду, который оно имеет либо в пространстве Евклида, либо в пространстве Лобачевского, в соответствии с конформным типом исходного многообразия.

Все необходимые определения, восходящие к геометрической теории функций и геометрии, будут приведены в докладе.

Явная формула для энтропии кос из трёх нитей

Рассматривается действие группы кос из трёх нитей на двумерном диске, из внутренности которого удалены два открытых диска. Энтропия косы определяется как минимальная топологическая энтропия в изотопическом классе гомеоморфизмов, соответствующем данной косе. Энтропия косы из трёх нитей может быть подсчитана как след матрицы так называемого гомологического представления группы кос из трёх нитей. Будет написана явная формула для этого следа и соответственно для вычисления энтропии кос из трёх нитей. Также будет рассказано о некоторых свойствах многочленов, фигурирующих в этой формуле.

Брунновские косы и алгебры Ли

Это доклад о совместной работе с Джи Ву и Джинюан Ли, текст которой находится в процессе написания. Бруноские косы связаны с гомотопическими группами сфер, однако объект это непростой. В данной работе мы изучаем алгебру, порожденную нижним центральным рядом и связанную с подгруппой брунновских кос, лежащей в группе крашеных кос.

Теорема Аносова о числах Нильсена для нильмногообразий

Для любого непрерывного отображения f конечного клеточного комплекса X можно определить два числа: L(f) - число Лефшеца и N(f) - число Нильсена, которые являются гомотопическими инвариантами. Оба числа тесно связаны с теорией неподвижных точек отображений. Число Лефшеца легче вычислить, а число Нильсена дает очевидную оценку снизу числа неподвижных отображения. Простые примеры показывают, что есть ситуации, когда число Нильсена равно модулю числа Лефшнца. Была поставлена задача: выяснить наиболее общие условия для совпадения чисела Нильсена и модуля числа Лефшеца. В докладе будет расказано о теореме Аносова, которая утверждает, что такое совпадение чисел имеет место для компактных нильмногообразий. Затем будет дан обзор других результатов о совпадении.

Все необходимые понятия будут определены, а необходимые и используемые результаты сформулированы.

Аксиома накрывающей гомотопии для локально плоских вложений

Рассматривается пространство локально плоских вложений компактного многообразия M^m в многообразие N^n без края. Пусть q^0 фиксированное локально плоское вложение, и M отождествлено с q^0(M). Обозначим через E пространство всех таких локально плоских вложений q: M -> N, которые могут быть соединены c q^0 изотопией q_t, где все q_t локально плоски. Через H обозначим единичную компоненту группы всех гомеоморфизмов N на себя, рассматриваемую в равномерной топологии (с полной метрикой). Наконец, обозначим через p эпиморфное отображение p:H->E, определенное равенством p(h) = h q^0.

Теорема 1. Если dim N - dim M отлично от 2 и dim N больше 4, отображение p является расслоением в смысле Серра.

Набросок доказательства этого результата был дан на немецком языке в сборнике памяти Хаусдорфа (Theory of sets and topology, Berlin 1972, p. 503-508). Полное изложение с некоторыми дополнениями сейчас подготавливается.