Прямоугольные диаграммы лежандровых графов

Мы рассмотрим лежандровы графы в R^3 со стандартной контактной структурой, заданной 1-формой dz+xdy. Графы рассматриваются с точностью до контактной изотопии и стягивания рёбер.

Мы введём понятие обобщённой прямоугольной диаграммы и опишем её элементарные движения. Каждой обобщённой прямоугольной диаграмме мы сопоставим лежандров граф таким образом, что классы эквивалентности лежандровых графов с точностью до контактной изотопии и стягивания рёбер будут биективно соответствовать классам эквивалентности обобщённых прямоугольных диаграмм с точностью до элементарных движений.

Данный результат является прямым обобщением известного соответствия между лежандровыми зацеплениями и обычными прямоугольными диаграммами.

Также мы обсудим квазиположительные поверхности, их заборные диаграммы и связь с лежандровыми графами.

Многочлены Шуберта и комплексы rc-графов

Многочлены Шуберта были введены А.Ласку и М.-П.Шютценберже в начале 1980-х годов в качестве инструмента для работы с кольцом когомологий многообразия полных флагов GL(n)/B; они выражают циклы Шуберта, соответствующие элементам симметрической группы S_n, через классы Черна тавтологических линейных расслоений на многообразии флагов.

В 1996 году С.В.Фомин и А.Н.Кириллов предложили реализацию многочленов Шуберта при помощи некоторых комбинаторных объектов -- так называемых rc-графов, или pipe dreams. Эта конструкция позволяет связать с каждой перестановкой некоторый клеточный комплекс, клетки которого нумеруются rc-графами, отвечающими данной перестановке. Гипотетически, этот клеточный комплекс всегда является многогранником; оказывается, что в качестве таких многогранников можно получить, в частности, ассоциаэдр Сташеффа и двойственный циклический многогранник.

Если позволит время, я также расскажу о связи этой конструкции с нашей совместной работой с В.А.Кириченко и В.А.Тимориным о реализации исчисления Шуберта при помощи многогранника Гельфанда-Цетлина.

Пространства модулей шарнирных и квазишарнирных полигональных механизмов

Шарнирным полигональным механизмом (изгибаемым многоугольником) называется замкнутая ломаная на плоскости с фиксированными длинами сторон и произвольными углами между ними. Мы обсудим клеточное разбиение многообразия всех ее положений, а затем на основе этого опишем некое обобщение таких механизмов под названием ''квазишарнирные механизмы''. Это обобщение служит источником примеров многомерных комбинаторных многообразий, схожих по структуре с многообразиями положений обычных шарнирников. Мы рассмотрим некоторые из примеров, а также сравним различные свойства (такие как, например, числа Бетти) многообразий положений шарнирников и квазишарнирников друг с другом.

Как автоморфизмы действуют на вложения? http://arxiv.org/abs/1402.1853

Мы работаем в гладкой категории. Следующая задача была предложена Э. Рисом в 2002 году: описать действие само-диффеоморфизмов произведения S^P X S^Q на множестве изотопических классов вложений S^P X S^Q -> R^м. Пусть g: S^P X S^Q -> R^m вложение такое, что g | _ {a x S^Q}: a x S^Q -> R^m - g (b X S^Q) нульгомотопно для некоторых различных точек а, b в S^P.

Теорема. Если F является само-диффеоморфизмом произведения S^P X S^Q, идентичным на окрестности сферы a x S^Q для некоторого a в S^P и P 3P +3Q +3, то gF изотопно g.

Пусть N - ориентированное (P+Q)-многообразие и f: N -> R^m, g : S^P X S^Q -> R^m вложения. Как следствие получаем, что при определенных условиях для сохраняющих ориентацию вложений s : S^P X D^Q -> N параметрическая вложенная связная сумма f #_s g зависит только от f, g и класса гомологии s| _ {S^PX 0}.

Универсальность действий окружности на кватернионной проективной плоскости

В докладе будет рассказано о том, что любое гладкое действие окружности на замкнутом восьмимерном ориентированном многообразии, имеющее ровно три неподвижные точки, имеет те же веса действия в неподвижных точках, что и некоторое действие окружности на кватернионной проективной плоскости HP^2. В случае, если многообразие допускает клеточное разбиение из ровно трех клеток (или, что равносильно, функцию Морса с ровно тремя критическими точками), оно оказывается диффеоморфно HP^2 в силу классического результата Илса-Кейпера.

Геометрия гиперкомплексных многообразий

Гиперкомплексное многообразие - это гладкое многообразие с тремя интегрируемыми почти комплексными структурами I, J, K, для которых выполнены кватернионные соотношения IJ=-JI=K. Известно много примеров таких многообразий, среди них гиперкэлеровы многообразия, нильмногообразия и некоторые компактные группы Ли. Обата доказал, что на гиперкомплексном многообразии существует единственная связность без кручения, которая сохраняет I, J и K. Я расскажу про связность Обаты и про конструкцию Джойса гиперкомплексных структур на компактных группах Ли. Я опишу голономию связности Обаты на группе SU(3), и расскажу о других результатах геометрии гиперкомплексных многообразий.

Кольца Голода, простые многогранники и их момент-угол многообразия

Доклад будет посвящен классическому объекту коммутативной алгебры, кольцу Голода, играющему важную роль в торической топологии в связи с изучением гомотопических типов момент-угол комплексов Z_K для некоторых специальных классов симплициальных комплексов K. Для этих классов методами комбинаторной коммутативной алгебры и алгебраической топологии удалось доказать (в работах А. Берглунда и М. Йолленбека (2007), Е. Грбич и С. Терио (2007), Дж. Ву, Е. Грбич, Т. Панова и С. Терио (2012)), что их кольца граней k[K] (или кольца Стенли-Райснера) над кольцом целых чисел или полем нулевой характеристики k будут кольцами Голода. Более того, полученные докладчиком результаты показывают, что свойство минимальной не-голодовости для колец граней (т.е колец, которые сами не являются голодовскими, но становятся таковыми, если выкинуть из комплекса любую его вершину) тесно связано со случаем, когда комплекс является триангуляцией сферы, а двойственный многогранник - одним из хорошо известных в выпуклой геометрии простых многогранников; для многих из них в торической топологии уже получено описание гомотопических типов (и даже классов диффеоморфизма) соответствующих момент-угол многообразий.

Локализационные формулы и функциональные уравнения

В докладе будет представлен новый подход к локализационным формулам для родов Хирцебруха многообразий с действием тора. В центре внимания функциональные уравнения, вытекающие из локализационных формул и описывающие жесткие роды Хирцебруха для известных примеров многообразий.

Комбинаторные и топологические приложения некоммутативных симметрических функций

Будет изложен подход в котором алгебра некоммутативных симметрических функций строится в терминах последовательностей операторов d_1, d_2, ..., действующих на коммутативном кольце A, таких, что производящий ряд D=1+d_1t+d_2t^2+... задает кольцевой гомоморфизм A-->A[t].

Мы дадим явное описание универсальной алгебры Хопфа некоммутативных симметрических функций NSym и градуированно двойственной ей алгебры Хопфа квазисимметрических функций QSym. Накладывая условия коммутируемости операторов d_1, d_2, ..., мы получаем,что алгебры NSym и QSym переходят в классическую самодвойственную алгебру Хопфа симметрических функций Sym.

Мы рассмотрим два примера приложений этого подхода, когда

- А - кольцо выпуклых многогранников, а d_1, d_2, ... - операторы граней;

- А - кольцо кобордизмов стабильно комплексных многообразий, а d_1, d_2, ... - операции Ландвебера-Новикова, задающие мультипликативную операцию в комплексных кобордизмах.

Отметим, что недавно A. Baker и B. Richter получили топологическую реализацию кольца QSym, автор и E. Grbic показали, что из этого результата вытекает топологическая реализация и кольца NSym.

Все основные определения будут даны в ходе доклада.

Обзор диссертации У. Каримова "К решению обобщенной проблемы Александрова-Лефшеца-Бегля"

В диссертации рассматриваются вопросы связанные с одной стороны с соотношением между глобальной (гомотопического характера) (не)тривиальностью пространств (в основном компактов - стягиваемостью, клеточноподобностью и др.) и алгебраическими локальными и глобальными инвариантами. С другой стороны выясняется, насколько аппроксимирующие полиэдры (нервы мелких покрытий) можно сделать близкими к компакту. Автор считает основными свои результаты, относящиеся ко второму кругу задач, где он решает старые проблемы, в частности, построение двумерного клеточноподобного компакта, все мелкие покрытия которого кратности 3 цикличны. Получен ряд других достаточно интересных примеров и теорем. Например, компактный ANR имеет мелкие покрытия с нервом гомотопически ему эквивалентным. Два компакта с тонкими (в некотором смысле) базами гомеоморфны тогда и только тогда, когда нервы этих баз изоморфны. В первом направлении доказывается, например, существование нестягиваемого когомологически локально связного клеточно подобного компакта, надстройка над которым стягиваема.

В докладе будет дан поверхностный рассказ о результатах диссертации, так как результатов много, а решение о докладе было принято в экстренном порядке.

Эквивариантные индексы векторных полей и 1-форм на особых пространствах

Продолжение доклада 12 ноября 2013 года.

Группа Тейхмюллера для гиперкэлеровых многообразий

Группа Тейхмюллера (группа классов отображений) есть фактор группы диффеоморфизмов многообразия по изотопиям. Салливан доказал, что в размерности 3 или больше, группа Тейхмюллера компактного кэлерова многообразия арифметическая. Я опишу группу Тейхмюллера для гиперкэлерова (голоморфного симплектического кэлерова) многообразия, доказав, что она отображается с конечным ядром на арифметическую подгруппу в SO(3,n).

Эквивариантные индексы векторных полей и 1-форм на особых пространствах

Обобщениями обычного индекса особой точки (нуля) векторного поля или 1-формы на особом пространстве (например, субаналитическом) являются, в частности, радиальный индекс и, так называемый, GSV-индекс (последний определен на изолированных особенностях полных пересечений). Определяются эквивариантные версии этих индексов на особом пространстве с действием конечной группы как элемент кольца Бернсайда этой группы. Формулируются теоремы типа Пуанкаре-Хопфа для них и описываются некоторые их свойства.

Доклад основан на совместной работе с В.Эбелингом.

Триангуляции поверхностей дугами окружностей

Имея в виду потенциальные приложения в архитектуре, мы изучаем триангуляции поверхностей дугами окружностей. Наша цель --- описать все такие триангуляции, а более точно, все ткани из окружностей на поверхностях в трехмерном пространстве. Мы называем тканью три семейства гладких кривых на поверхности, которые локально диффеоморфны трем семействам прямых x=const,y=const и x+y=const на плоскости Oxy.

В частном случае, когда рассматриваемая поверхность --- плоскость, это известная открытая проблема, поставленная В. Бляшке в 1938. Замечательные примеры тканей из окружностей на плоскости были построены Х. Графом--Р. Зауэром, О. Фолком, К. Штрубекером, В. Вундерлихом, А. Шелеховым, В. Лазаревой, Х. Эрдоганом, а также Ф. Ниловым.

В докладе будут классифицированы все ткани из окружностей на всех поверхностях, за исключением сферы и плоскости. Возникающие поверхности имеют степень не больше 8 и известны как циклиды Дарбу. Данная классификация получена совместно с Г. Потманом и Л. Ши.

Большая часть доклада носит обзорный характер и будет понятна неспециалистам. Можно будет увидеть воочию большое количество тканей из окружностей и подержать в руках циклиду Дарбу. Будут сформулирован ряд открытых проблем, формулировки которых доступны школьникам, а решение некоторых из которых доступно студентам.

О приложениях гомотопических групп сфер в трехмерных задачах

Я расскажу о двух независимых приложениях высших гомотопических групп сфер в трехмерных задачах.

I. Сферические брунновские косы с n нитями, n>=5, описывают (n-1)-гомотопическую группу 2-сферы (Дж. Ву (1994)). Используя идеи Р. Михайлова, можно уточнить связь брунновских сферических кос с 4 нитями с группой $\pi_3(S^2)$ и это доставляет новую возможность для исследования динамики конечного множества точек на плоскости. arXiv:1308.2048

II. Пространство n-звенных ломаных (на плоскости или в пространстве) с фиксированной суммой длин звеньев интенсивно изучается последнее десятилетие (Jason Cantarella, Clayton Shonkwiler и др.). Я объясню, что я понимаю под высшей симметрией в этом пространстве. Я выпишу высшую симметрию в пространстве 7-звенных плоских ломаных и объясню, как из теоремы Джеймса об инвариантах Арфа-Кервера в стабильных гомотопических группах сфер извлечь формулу для высшей симметрии в пространстве 15-звенных плоских ломаных. arXiv:1308.2046

Объём симплекса как многозначная функция площадей его двумерных граней

В докладе будет рассказано о свойствах объёма n-мерного симплекса (n>3) в евклидовом пространстве, рассматриваемого как многозначная функция площадей двумерных граней этого симплекса. Будет показано, что объём удовлетворяет полиномиальному соотношению с коэффициентами, являющимися многочленами от площадей двумерных граней, и будут описаны некоторые неожиданные свойства таких полиномиальных соотношений.

Дискретные аналоги теорем Брауэра и Борсука-Улама

В докладе будет рассказано о знаменитых теоремах Брауэра и Борсука-Улама и их дискретных аналогах. Будут рассмотрены леммы Шпернера, Таккера, Фана и различные обобщения этих лемм.

О топологии решения задач

Будет дано краткое введение в круг идей, известных как гомотопическая теория типов или унивалентные основания математики. Предполагается обсудить точку зрения, происходящую из 24-й проблемы Гильберта, а также задачу Колмогорова о соединении предложенного им исчисления задач с классической логикой высказываний. Некоторые подробности и ссылки на литературу можно найти здесь: http://at.yorku.ca/cgi-bin/abstract/cbhq-29

Сизигии квадратичного вложения Веронезе

Любое проективное многообразие, вложенное в проективное пространство, задаётся конечным набором уравнений. Можно определить минимальное число уравнений каждой степени. Данные уравнения порождают идеал зависимостей между выбранными образующими, где они также могут оказаться зависимыми, и так далее. Оказывается, что векторные пространства, натянутые на уравнения данного порядка и данной степени, определены канонически и не зависят от выбора порождающих элементов. Эти пространства называются пространствами сизигий проективного многообразия. В случае линейного действия группы на проективном пространстве при сохранении алгебраического многообразия возникают естсетвенные представления этой группы в пространствах сизигий многообразия. Оказывается, что для некоторых вложений однородных пространств в проективные пространства все пространства сизигий могут быть вычислены в терминах чистой теории представлений соответствующей редуктивной алгебраической группы. В частности, к таким многообразиям относится квадратичное вложение Веронезе, сизигии которого мы вычислим как представления полной линейной группы.