Доказательство теоремы Гончаровой для L_1

На конгрессе в Ницце И.М.Гельфандом была сформулирована задача вычисления когомлогий алгебр Ли L_k формальных векторных полей на прямой, имеющих в нуле нуль порядка по крайней мере k+2. В 1973 году эти когомологии были посчитаны Л.В.Гончаровой. Однако, насколько известно докладчику, людей, которые разобрались в этом доказательстве, можно пересчитать по пальцам одной руки.

Позднее были обнаружены глубокие связи алгебры Ли L_1 с другими областями математики, в числе которых конформная теория поля и теория комплексных кобордизмов. Это вызвало интерес к получению проверяемого доказательства теоремы Гончаровой. Однако во всех посвящённых этому вопросу статьях позднее были найдены неточности или ошибки. Единственным известным на данный момент доказательством, в котором они не были найдены, является доказательство Ф.В.Вайнштейна (2010).

В докладе будет рассказано это элементарное доказательство для случая L_1. Причём, как надеется докладчик, так, что станет понятно всем слушателям.

Бета-инвариант вложений четырёхмерных многообразий в семимерное пространство

(совместно с Д.Кроули)

Будет сформулирована теорема классификации вложений четырёхмерных многообразий в семимерное пространство (в гладкой категории). Для четырёхмерной сферы это было сделано в 1966 Хефлигером, для односвязного случая - в 2008 авторами. Будут приведены красивые эквивалентные определения и свойства бета-инварианта вложений, появляющегося в неодносвязном случае. Будет намечено доказательство контрпримера к гипотезе Виро и других о полноте инварианта взрезанных p-степеней для классификации кусочно линейных вложений в коразмерности больше двух.

На прежних заседаниях семинара им. М.М.Постникова были рассказаны формулировка теоремы классификации со схемой доказательства (2009), а также построение и свойства одного из инвариантов - обобщенной формы Зейферта (2012). Основное содержание настоящего доклада - построение и свойства бета-инварианта. Это принципиально новый инвариант, который и позволяет различать вложения с равными инвариантами взрезанных p-степеней.

Явная конструкция гамильтоново-минимальных лагранжевых подмногообразий в торических многообразиях

В докладе планируется рассказать универсальный метод получения гамильтоново-минимальных лагранжевых подмногообразий (в кэлеровых многообразиях с гамильтоновым действием) в применении к уже известной серии подмногообразий в C^m, получающихся из вещественных квадрик (момент-угол многообразия). Также будет рассказана конструкция, использующая два набора квадрик, которая с помощью того же метода приводит к аналогичному более общему результату - гамильтоново-минимальным лагранжевым подмногообразиям в торических многообразиях. По одному набору квадрик строится торическое многообразие с помощью симплектической редукции, по другому строится искомое подмногообразие. Ключевыми составляющими конструкции являются минимальность вещественного торического многообразия в комплексном торическом и общий результат Ю.Донга из статьи "Hamiltonian-minimal Lagrangian submanifolds in Kähler manifolds with symmetries".

Гомотопический тип момент-угол-комплексов

Момент-угол-комплекс Z_K представляет собой клеточный комплекс с действием тора, составленный из произведений дисков D^2 и окружностей S^1, параметризованных гранями некоторого симплициального комплекса K. Замена пары (D^2,S^1) на произвольную клеточную пару (X,A) приводит к понятию полиэдрального произведения. Эта конструкция в настоящее время активно изучается в теории гомотопий, а также имеет множество интересных геометрических интерпретаций. Например, момент-угол-комплекс Z_K=(D^2,S^1)^K гомотопически эквивалентен дополению конфигурации координатных подпространств в C^m, задаваемой комплексом K. Если же K является границей симплициального многогранника (или происходит из полного симплициального веера), то Z_K является гладким многообразием, на котором имеются весьма интересные некэлеровы комплексные структуры, обобщающие известные серии многообразий Хопфа и Калаби-Экманна.

В докладе мы рассмотрим классы симплициальных комплексов K, для которых момент-угол-комплекс Z_K имеет гомотопический тип букета сфер или связной суммы произведений сфер. В случае флаговых комплексов получена полная характеризация этих классов, как в алгебраических, так и в комбинаторных терминах. Для букета сфер критерий выгдядит следующим образом: одномерный остов комплекса K должен быть хордовым графом (это понятие играет важную роль в комбинаторных аспектах теории оптимизации на графах). Также явно вычислено количество сфер данной размерности в букете. В случае букета сфер пространства петель на Z_K и DJ(K) гомотопически эквивалентны произведению сфер и петель на сферах; при этом показано, что каноническое отображение Z_K -> DJ(K) описывается итерированными произведениями Уайтхеда двумерных сферических классов.

Доклад основан на совместной работе:

J.Grbic, T.Panov, S.Theriault, J.Wu. Homotopy types of moment-angle complexes. Preprint (2012); arXiv:1211.0873.

Гипотеза Вороного о параллелоэдрах и канонические нормировки

В докладе будет рассказано о гипотезе Вороного и об одном из способов ее доказательства - канонических нормировках. Будет рассказано о доказательстве гипотезы Вороного в новом частном случае, полученном докладчиком совместно с А.Гаврилюком и А.Магазиновым.

Аддитивная структура колец когомологий момент-угол комплексов и их топологические инварианты

Момент-угол комплексы Z_K, функториально строящиеся по абстрактному симплициальному комплексу K и являющиеся гладкими, замкнутыми многообразиями в случае триангуляций сфер, - один из основных объектов изучения в торической топологии; действие компактного тора на них, кольца обычных и эквивариантных когомологий, биградуированные числа Бетти и другие их комбинаторные, алгебраические и топологические характеристики и свойства интенсивно изучаются в последние годы.

Планируется рассказать о таких открытых на данный момент проблемах как когомологическая жёсткость момент-угол комплексов и связанная с ней гипотеза о топологической инвариантности биградуированных чисел Бетти. В докладе будет также поставлена проблема комбинаторно-алгебраической характеризации комплексов K, для которых в кольце когомологий соответствующего клеточного пространства Z_K имеется нетривиальное кручение, а также приведены недавние результаты в этом направлении, полученные докладчиком.

Транзитивные алгеброиды Ли. Когомологии и характеристические классы.

Транзитивные алгеброиды Ли обладают специфическими свойствами, которые позволяют смотреть на них как на элементы некоторого гомотопического функтора. Грубо говоря, каждый транзитивный алгеброид Ли можно представить как некоторое векторное расслоение над тотальным пространством касательного расслоения гладкого многообразия, оснащенное дополнительной структурой. При этом транзитивные алгеброиды Ли допускают конструкцию обратного образа, порожденного гладкими отображениями гладких многообразий.

Благодаря К.Маккензи ([Mck-2005]) эта конструкция может быть представлена как некоторый гомотопический функтор $TLA_{\rg}$ из категории гладких многообразий в категорию транзитивных алгеброидов Ли. Функтор $TLA_{\rg}$ сопоставляет с каждым гладким многообразием множество $TLA_{\rg}(M)$ всех транзитивных алгеброидов Ли с фиксированной структурной конечномерной алгеброй Ли $\rg$.

Таким образом, можно построить ([Mi-2010], [Mi-2011]) классифицирующее пространство $\cB_{\rg}$ такое, что семейство всех транзитивных алгеброидов Ли с фиксированной структурной конечномерной алгеброй Ли $\rg$ над многообразием $M$ взаимно однозначно соответствует семейству гомотопических классов непрерывных отображений $[M,\cB_{\rg}]$: $\cA(M) \approx [M,\cB_{\rg}].$

Несмотря на очевидную категорную точку зрения мы столкнулись с определенными трудностями в конструкции классифицирующего пространства, в частности, в построении коуплинга, формулы Черна-Вейля для характеристических классов и др.

[Mck-2005] Mackenzie, K.C.H., General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids, Cambridge University Press, (2005)

[Kub-91e] Kubarski, J., The Chern-Weil homomorphism of regular Lie algebroids, Publications du Department de Mathematiques, Universite Claude Bernard - Lyon-1, (1991) pp.4--63

[Mi-2010] Mishchenko, A.S., Transitive Lie algebroids - categorical point of view, arXiv:1006.4839v1 [math.AT], 2010

[Mi-2011] Mishchenko, A.S., Characteristic classes of transitive Lie algebroids. Categorical point of view, arXiv:1111.6823v1 [math.AT], 2011.

Тропическая линейная алгебра и её приложения

Тропическая алгебра (иногда используется термин макс- или мин-алгебра) - это множество вещественных чисел, на котором операция взятия максимума рассматривается в качестве сложения, а обычное сложение - в качестве умножения. Относительно этих операций возникает алгебраическая структура, называемая полукольцом. Такие структуры естественным образом возникают в современной теории расписаний и других задачах оптимизации. Тропическая арифметика позволяет редуцировать ряд нелинейных проблем к линейным задачам, но над тропическим полукольцом. Следовательно, для изучения этих проблем необходимо развивать линейную алгебру в тропическом случае. Эта тематика очень актуальна на сегодняшний день.

В докладе планируется ввести и исследовать различные инварианты тропической линейной алгебры и наглядно проиллюстрировать их приложения. В частности, будут изложены недавние результаты докладчика по этой тематике.

Cox's construction for T-varieties of complexity one and applications

Beside the description via cones and fans there is a well known quotient construction for toric varieties due to Cox, which leads to "total coordinates" on the toric variety. This contruction can be generalized to a broader class of varieties by introducing the total coordinate ring or Cox ring, respectively, of an algebraic variety. Aim of the talk is to study this construction for the case of a variety with torus action of complexity one. We use polyhedral complexes associated to points on P¹ to describe such varieties and similar to the toric case we can pass from this decription to the quotient construction via Cox rings.

Геометрические аспекты деформации сложения на целочисленных решетках

Рассматривается множество $\mathfrak A_n$ как подмножество стандартной решетки $\mathbb Z^n$, $\mathfrak A_n\subset\mathbb Z^n$, которое задается условием $\mathfrak A_n=((a_1,\ldots,a_n)\in\mathbb Z^n |\ a_i\not\equiv a_j\mod n,\ \forall i,j\in \{1,\ldots\,n\})$. Относительно стандартного сложения в решетке $\mathbb Z^n$ множество $\mathfrak A_n$ не является подгруппой, однако при помощи конструкции деформации умножения, описанной В.М. Бухштабером в работе "Semigroups of maps into groups, operator doubles, and complex cobordisms" можно ввести новую ассоциативную операцию на решетке $\mathbb Z^n$, такую что относительно нее множество $\mathfrak A_n$ превращается в подгруппу. При помощи данной конструкции исследуется структура группы на подмножестве $\mathfrak A_n$ целочисленной решетки $\mathbb Z^n$, дается геометрическая реализация этой группы, а также найдены образующие и соотношения в группе для всех $n$.

Об объёмах гиперболических тетраэдров и октаэдров с симметриями

Вычисление объёма трёхмерного многогранника - старая и сложная задача классической геометрии. По-видимому, первый серьёзный результат об объёме треугольной пирамиды получен еще Архимедом, а в 16 веке Тарталья выразил объём евклидова тетраэдра через квадраты длин его рёбер. Хотя задачу нахождения объёма тетраэдра через длины его рёбер впервые решил, по-видимому, Пьеро де Франческа. Затем эта задача рассматривалась Л.Пачоли. Тарталья же повторил её решение в работе "General trattato di numeri et misure". В настоящее время результат Тартальи известен как детерминантная формула Кэли-Менгера. Заметим, что аналогичная формула имеет место и для многомерных симплексов.

Что касается неевклидовых случаев, то здесь ситуация более сложная. Объём бипрямоугольного тетраэдра (ортосхемы) в гиперболическом пространстве был вычислен независимо друг от друга Н.И. Лобачевским и Я.Бойяи, а в сферическом случае - Л.Шлефли. Объём идеального гиперболического тетраэдра был найден еще Н.И. Лобачевским в 1835 г., а в 1982 г. Дж. Милнор представил этот результат в более компактном и элегантном виде. В свою очередь, формулы объёмов гиперболических тетраэдров, имеющих хотя бы одну вершину на абсолюте, получены Э.Б. Винбергом.

А вот формула объёма произвольного гиперболического тетраэдра долгое время не была известна. Наконец, на рубеже веков эта проблема была решена в работах Ю. Чо и Х. Кима (1999 г.), Дж. Мураками и У. Яно (2001 г.), Дж. Мураками и А.Ушиджимы (2002 г.). Но формулы, предложенные вышеназванными математиками, являются довольно громоздкими и трудно обозримыми. И лишь в 2004 году Д.А. Деревниным и А.Д. Медных была предложена компактная интегральная формула объёма гиперболического тетраэдра через двугранные углы.

В первой части доклада будет дан краткий обзор основных результатов теории объёмов гиперболических тетраэдров и изложена схема доказательства формулы Деревнина-Медных с помощью формулы Мураками-Яно.

Что касается второй части доклада, то в ней будет рассказано о некоторых применениях формулы Деревнина-Медных, а именно о возможности использования данной формулы при выводе формул объёма гиперболических октаэдров, обладающих так называемыми mmm- и 2|m-симметриями.

Экзотические цепные комплексы и геометрические формулы, соответствующие движениям Пахнера

Если взять квазиклассический предел (спины стремятся к бесконечности) для формулы, соответствующей движению Пахнера 2-3 в теории поля Понцано-Редже, получится интересная формула в терминах евклидовой геометрии (реально она была получена независимо из геометрических же соображений). Аналогичных геометрических формул несметное количество; иногда их можно "обратно проквантовать". Наиболее сложные из них для трёхмерного случая находятся в недавней работе Кашаева-Луо-Вартанова. Мы, однако, займёмся простыми формулами, относящимися как к трёхмерным, так и к четырёхмерным движениям Пахнера. В современной формулировке они возникают из экзотических цепных комплексов и порой органично включают в себя гомологии (например, в четырёхмерии это могут быть средние гомологии, аналоги обычных вторых) тоже экзотических, но других комплексов.

Марковский след на алгебре Фунара

Многочлен HOMFLY в теории зацеплений определяется скейн-соотношением. Это эквиваленитно построению марковского следа на факторе групповой алгебры группы кос по квадратичному соотношению. Луис Фунар обобщил эту конструкцию с кубическим соотношением вместо квадратичного, однако долгое время оставалось неизвестным, дает ли она нетривиальные инварианты. Недавно я доказал, что дает. Об этом и будет доклад.

Когомологии квазиоднородных схем Гильберта

Схемой Гильберта точек на плоскости называется множество идеалов фиксированной коразмерности в кольце комплексных полиномов от двух переменных. Это гладкое алгебраическое многообразие, его геометрия очень интересна и активно изучается на протяжении последних 25 лет. Я напомню основные свойства схемы Гильберта и расскажу про свои вычисления когомологий квазиоднородных компонент в этом многообразии. Оказывается, что они устроены ещё более красиво, чем когомологии всей схемы Гильберта.

Псевдохарактеры групп кос

Псевдохарактер на группе G - это вещественная функция на группе, в определённом смысле близкая к гомоморфизму из G в \mathbb{R}. Оказывается, что такие функции на группах кос B_n находят применение при изучении классических узлов и зацеплений в S^3. В докладе будет рассказано об этой связи между псевдохарактерами и узлами, будут приведены явные примеры псевдохарактеров(принадлежащие А.Малютину, J.-M.Gambaudo и E.Ghys) и указаны методы их вычисления, а также изложены совместные результаты И.А.Дынникова и докладчика о соотношении между этими псевдохарактерами.

Обобщение теоремы Сабитова на случай многогранников произвольной размерности

В 1996 году И.Х.Сабитов доказал, что объём любого симплициального многогранника в трёхмерном евклидовом пространстве является корнем многочлена со старшим коэффициентом 1, коэффициенты которого суть многочлены от квадратов длин рёбер многогранника. В докладе будет рассказано об обобщении этого результата на многогранниким произвольной размерности n>2. Будет показано, что то же утверждение верно для произвольного многогранников с треугольными двумерными гранями.

Точные значения и потенциально точные оценки сложности 3-многообразий

До 2001 года точные значения сложности (по Матвееву) были известны только для нескольких тысяч 3-многообразий, табулированных при помощи компьютера. В докладе будут рассказаны новые результаты о точных значениях сложности для бесконечной серии многообразий Паолюци-Циммермана. Кроме того будут построены потенциально точные оценки сложности для многообразий Зейферта с непустым краем.

Lattice multi-polygons

In this talk, I'll introduce a generalization of lattice polygons, which is called lattice multi-polygons. Moreover, for lattice multi-polygons, I'll present a generalization of classical combinatorial results on lattice polygons, e.g., Pick's formula or twelve point theorem.

(This talk is based on the joint work with Prof. Mikiya Masuda.)

Root systems of torus graphs

Torus manifold is a compact oriented 2n-dim T^n-manifold with fixed points. From torus manifold, we can define a labelled graph as follows:

-vertices are fixed points;

-edges are one dimensional orbits;

-edges are labelled by tangential representations around fixed points.

This labelled graph is called a torus graph. It is known that we can compute the equivariant cohomology of torus manifold by using combinatorial structure of torus garph. In this talk, we define root systems on torus graph and characterize what kind of compact connected non-abelian Lie group (whose maximal torus is T^n) acts on torus manifold. 

This is a joint work with Masuda.

An Introduction to Schubert calculus

Beginning with a historical remark on the subject, which explains why it is called Schubert calculus, I will give a review on the classical Schubert calculus for a Grassmaniann. It has been long since solved completely, but it contains basic ingredients for more general cases, such as Schubert class, Schubert polynomial, and structure constant. Then I will discuss the problem of finding polynomial representatives for the Schubert classes in both the ordinary and the torus equivariant cohomology.

Задачи современной комбинаторной геометрии

Буден сделан обзор разных классических задач комбинаторной геометрии и топологии, с современной точки зрения. Среди задач вопросы о реализации графов на плоскости, полиэдральных комплексов в пространстве, триангуляции пространства и многогранников, и другие. Никаких предварительных знаний не требуется - наоборот, многие задачи вполне доступны студентам младших курсов.