О проблеме распетливания пространств вложений

R. Budney построил действие операды (m+1)-кубиков на пространстве оснащенных вложений R^m в R^n, совпадающих с фиксированным линейным вложением на бесконечности. Это означает, что данное пространство есть (m+1)-кратное пространство петель. Будет рассказано о гипотезе, описывающей (m+1)-распетливание этого пространства в терминах морфизмов операд. При m=1 эта гипотеза была доказана Dwyer и Hess, и независимо докладчиком.

Комбинаторные характеристики выпуклых оболочек пуассоновского точечного процесса на Клиффордовом торе

Свойства выпуклых оболочек множеств Делоне на клиффордовом торе $T$, вложенном в $S^3$, изучались Н.П.Долбилиным и М.Танемурой. В их работе полностью установлена комбинаторная структура выпуклых оболочек периодических множеств. Кроме того, было проведено численное моделирование пуассоновского процесса на $T$, в результате которого была высказана гипотеза о том, что при стремлении интенсивности $\lambda$ процесса к бесконечности математическое ожидание средней степени вершины выпуклой оболочки растет как $\ln \lambda$. В настоящем докладе будут приведены формулы, позволяющие вычислить математическое ожидание $f$-вектора выпуклой оболочки и средней степени вершины; будет намечена схема их доказательства, а также схема вычисления асимптотики этих величин при $\lambda \to \infty$.

О работах М.А.Штанько

Основные результаты М.А.Штанько относятся к построению достаточно полной теории так называемых локально односвязных вложений в R^n (или вложений, имеющих свойство 1-ULC, или "ручных"). Он ввел понятие размерности вложения, с помощью которого охарактеризовал такие вложения компактов коразмерности больше двух как вложения, для которых размерность вложения совпадает с обычной размерностью компактов. Если это свойство не выполнено, размерность вложения равна n-2. Далее он показал, что в тех же коразмерностях любое вложение компакта аппроксимируется ручными, что приводит к решению проблемы Менгера об универсальности менгеровских компактов для компактов, лежащих в R^n. Далее он распространил свой метод для доказательства аналогичной теоремы аппроксимации для вложений многообразий коразмерности 1. Его работа содержала одно неверное утверждение. В работе Ancel-Cannon было получено новое доказательство этого результата, в полной мере основывавшееся на технике Штанько, но упомянутое утверждение было обойдено за счет интересной, хотя и достаточно тяжелой техники многозначных отображений, после чего эта теорема стала называться Ancel-Cannon теоремой.

В докладе будет показано, что ошибочное утверждение Штанько имело чисто техническое значение и не является необходимым для проведения доказательства по его плану.

Комбинаторные методы в теории вложений

Предпринимается попытка понять формулировку критерия Куратовского планарности графов (т.е. откуда берутся графы K_5 и K_{3,3}) и 6/7 формулировки критерия Робертсона-Сеймура-Томаса внутренней зацепленности графов. А также продвинуться в направлении многомерного обобщения этих результатов. Более точную аннотацию см. здесь http://arxiv.org/abs/1103.5457 на языке слайдов доклада. Если останется время, я расскажу подробнее о \nabla-Y-преобразованиях комбинаторных многообразий, которые используются для построения дихотомичных 4-сфер с 1-остовами из семейства Петерсена.

Нерв-комплексы и момент-угол пространства выпуклых многогранников

Аннотацию доклада см. здесь.

Алгоритмы распознавания вложимости симплициальных комплексов в евклидовы пространства

Теория симплициальных комплексов, т.е. гиперграфов, - раздел математики, возникший на стыке комбинаторики, топологии и программирования, бурно развивающийся в последнее время. Хорошо известно, что существуетАннотацию доклада см. здесь. линейный алгоритм распознавания вложимости графа в плоскость. Будет рассказано о различных обобщениях этого результата на вложения симплициальных комплексов в евклидовы пространства. В частности, будет доказана NP-трудность проблемы распознавания вложимости n-мерных симплициальных комплексов в m-мерное евклидово пространство при 2m < 3n+3 (Matousek-Tancer-Wagner, http://arxiv.org/abs/0807.0336). Будет рассказано об алгоритмической неразрешимости распознавания

- вложимости n-мерных симплициальных комплексов в (n+1)-мерное евклидово пространство при n>4 (редукция к теореме Новикова о нераспознаваемости n-мерной сферы);

- незаузленности n-мерной сферы в (n+2)-мерном пространстве при n>2 (Вайнбергер-Набутовский);

Будет рассказано о разработке алгоритмического подхода к алгебраической топологии (школа Матушека).

Однородные римановы метрики и многоогранник момента

Аннотацию доклада см. здесь.

Циклическая структура для отображений с особенностью

Аннотацию доклада см. здесь.

Пары Гельфанда и сферические аффинные многообразия

Связная группа Ли и ее компактная подгруппа образуют пару Гельфанда, если представление группы в квадратично интегрируемых функциях на соответствующем однородном пространстве имеет простой спектр. Рассматриваются пары Гельфанда, в которых группа редуктивна. В этом случае комплексифицированное однородное пространство является сферическим аффинным многообразием. Обратно, любое сферическое аффинное однородное пространство получается таким способом. При доказательстве соответствующей теоремы, принадлежащей Э.Б.Винбергу и докладчику, основную роль играет существование инволюции Вейля комплексной редуктивной группы со специальным свойством. Именно, эта инволюция сохраняет заданную редуктивную сферическую подгруппу и определяет поэтому эквивариантную голоморфную инволюцию однородного пространства. Конструкция не переносится на произвольные аффинные сферические многообразия, однако будет показано, что в гладком случае существует антиголоморфная инволюция с не менее замечательным свойством. Именно, эта инволюция эквивариантна относительно инволюции Вейля максимальной компактной подгруппы данной редуктивной группы преобразований. Отсюда следует, что она переставляет орбиты максимальной компактной подгруппы. Ранее было известно, что существование антиголоморфной инволюции многообразия Штейна, переставляющей орбиты компактной группы биголоморфных преобразований, гарантирует простоту спектра представления в голоморфных функциях. Будет показано, что это достаточное условие является также и необходимым. Задача описания всех эквивариантных антиголоморфных инволюций даже для торических многообразий решена только в малых размерностях.

Комплексные структуры на момент-угол-многообразиях

Момент-угол-комплексы $Z_K$, параметризованные симплициальными комплексами $K$, образуют широкое семейство пространств с естественным действие тора. Мы покажем, что в том случае, когда комплекс $K$ происходит из полного симплициального веера $\Sigma$, на пространстве $Z_K$ можно ввести структуру комплексного многообразия. Эта конструкция позволяет получить такие хорошо известные примеры некэлеровых комплексных многообразий, как многообразия Хопфа и Калаби-Экманна. После этого мы опишем важный инвариант введенных комплексных структур - кольцо когомологий Дольбо. Основным инструментом для его вычисления будет спектральная последовательность Бореля, позволяющая находить когомологии Дольбо тотального пространства комплексно-аналитического расслоения.

О сложности инвариантных лагранжевых подмногообразий в симплектических многообразиях с действием редуктивной группы

Пусть X - комплексное алгебраическое симплектическое многообразие с действием редуктивной группы G, снабженное отображением моментов. Напомним, что сложностью многообразия с действием редуктивной группы называется коразмерность типичной орбиты борелевской подгруппы группы G (то есть максимальной разрешимой группы). Я собираюсь рассказать о следующих интересных фактах. В случае, когда X содержит инвариантное лагранжево подмногообразие, можно легко вычислить замыкание образа отображения моментов, через инварианты этого лагранжева подмногообразия. Более того, оказывается, что все инвариантные лагранжевы подмногообразия в X имеют одинаковую сложность. Последний факт является прямым обобщением теоремы Панюшева о том, что для многообразия с действием редуктивной группы все конормальные расслоения к инвариантым подмногообразиям имеют одинаковую сложность.

Мультипликативные гомоморфизмы кольца выпуклых многогранников

Аннотацию доклада см. здесь.

Равномерные полиэдры и основания алгебраической топологии.

Аннотацию доклада см. здесь.

Скручивающие коцепи и характеристические классы симплициальных многообразий.

В конце 1970-х - начале 1980-х годов Тонгом, Толедо и О'Брайеном была предложена конструкция, позволяющая описывать характеристические классы комплексных многообразий и пучков на них в терминах "скручивающих коцепей", ("в первом приближении" это способы деформации дифференциала в чеховском коплексе). Я попытаюсь рассказать о том, как подобные конструкции можно было бы использовать для нахождения более-менее явных выражений для характеристических классов симплициальных многообразий. В докладе будет указана явная конструкция для скручивающей коцепи, описан способ построения по ней коциклов в комплексе Чеха, а также я постараюсь обосновать то, что эти коциклы в самом деле соответствуют характеристическим классам, построенным по PL структуре многообразия. Доклад основан на совместной работе докладчика с Н.Мневом (ПОМИ), пока еще далекой от завершения (work in progress).

Об операциях Дайера-Лашофа на когомологиях топологической n-группы.

Аннотацию доклада см. здесь.

Гомотопическая классификация действий конечных групп на пространствах Эйленберга-Маклейна.

Проблема классификации действий конечных групп на асферических пространствах тесно связана с групповыми расширениями. А именно, определено естественное взаимно однозначное соответствие между классами изоморных расширений групп и классами гомотопически сопряженных действий. На докладе будет обсуждаться корректность задачи классификации, основная классификационная теорема и ее приложения. В том числе интересными представляются некоторые результаты в гомотопической теории групповых решеток. Например, будет построена спектральная последовательность Хохшильда-Мостова связывающая групповые когомологии с когомологиями решетки подгрупп.

Категорное доказательство законов взаимности Паршина на алгебраических поверхностях.

Хорошо известен закон взаимности А. Вейля на проективной алгебраической кривой (компактной римановой поверхности): произведение ручных символов двух мероморфных функций на алгебраической кривой равно 1, и почти все элементы этого произведения равны 1. Этот закон является мультипликативным аналогом следующего закона: сумма вычетов по всем точкам мероморфной дифференциальной формы равна нулю. В случае алгебраической поверхности законы взаимности, открытые А.Н. Паршиным, утверждают:

1)произведение двумерных ручных символов трех мерофорфных функций на алгебраической поверхности по всем точкам фиксированной кривой на поверхности равно 1;

2)произведение двумерных ручных символов трех мерофорфных функций на алгебраической поверхности по всем кривым, проходящим через фиксированную точку на поверхности, равно 1.

Я расскажу о новом доказательстве законов взаимности Паршина, которое использует методы из теории 2-категорий, а также кольцо аделей самой поверхности плюс конечномерность когомологий некоторых комплексов, связанных с этим кольцом. Доклад основан на совместной работе с Х. Жу: arXiv:1002.4848.

Проблема Кервера.

Представлено решение Проблемы Кервера. Вводится понятие абелевой структуры скошенно--оснащенного погружения, бициклической структуры $\Z/2^{[3]}$-оснащенного погружения и кватернионно-циклической структуры $\Z/2^{[4]}$-оснащенного погружения. Используя введенные понятия мы доказываем, что при достаточно большом $n$, $n=2^{\ell}-2$, произвольное скошенно-оснащенное погружение в евклидово $n$-мерное пространство $\R^n$ имеет нулевой инвариант Кервера. Кроме того, доказано, что при $\ell \ge 11$ (т.е. при $n \ge 2046$) произвольное скошенно-оснащенное погружение имеет нулевой инвариант Кервера, при условии сжатия порядка $30$.

Обнаружение сателлитной структуры узла (зацепления) при помощи монотонного упрощения прямоугольной диаграммы узла (зацепления).

В недавней работе И.А.Дынникова показано, что всякая прямоугольная диаграмма тривиального узла, разводимого зацепления или связной суммы может быть без увеличения сложности переведена в диаграмму, на которой будет явно видно, что узел является тривиальным, а зацепление - связной суммой или разводимым соответственно. Возникает естественный вопрос: всегда ли можно преобразовать диаграмму сателлитного узла или зацепления без увеличения сложности так, чтобы сателлитная структура на итоговой диаграмме была явно видна? Будет показано, что подход И.А.Дынникова к данной проблеме не дает результатов в общем случае и предложены возможные модификации этого подхода.

Теорема Стокера для гомологических рядов многогранников в евклидовом пространстве.

Гипотеза Стокера [1], согласно редакции ее в [2], состоит в решении следующего вопроса. Можно ли утверждать, что если у двух замкнутых выпуклых многогранников одинакового комбинаторного строения соответствующие двугранные углы равны, то у них соответствующие плоские углы тоже равны?

Гомологические ряды многогранников. Гомологическим рядом многогранников называют бесконечную или конечную последовательность многогранников, комбинаторная структура каждого из которых определяется по правилу, заданному для этого ряда. Определение гомологического ряда обобщает понятие ``бесконечная серия'', например, призм или антипризм [3].

Обратимся к многогранникам с числом вершин меньшим семи. Число таких многогранников равно десяти. Каждый из них может быть либо первым многогранником гомологического ряда, либо входить элементом в тот или иной гомологический ряд многогранников. Приводим перечень гомологических рядов, содержащих указанные многогранники, и доказываем справедливость гипотезы Стокера для них. При доказательстве существенно используется метод, адаптированный к оригинальному методу, разработанному в [2].

1. Stoker J.J., Geometrical problems concerning polyhedra in the large//Communications on Pure and Applied Mathematics, vol.XXI, 119-168 (1968).

2. Погорелов А.В. Об одной проблеме Стокера// Доклады Академии Наук, 2002, т.385, N 1, с.25-27.

3. Гурин А.М., Залгаллер В.А., К истории изучения выпуклых многогранников с правильными гранями и гранями, составленными из правильных // Труды Санкт Петербургского математического общества, декабрь 2008, том 14, стр.215-292. Перевод: Gurin A.M., Zalgaller V.A., On the history of the study of convex polyhedra with regular faces and faces composed of regular ones //American Mathematical Society, 2009, Vol. 228, pp.169-229.