Примарные разложения геометрических объектов.

В докладе будет приведена общая схема доказательства существования и единственности разложений различных геометрических объектов в связные суммы примарных слагаемых ( которые дальше не раскладываются).

С помощью этой схемы будет доказан ряд известных теорем (Милнора о разложении 3-многообразий в связную сумму, Сварупа о разложении в граничную связную сумму, Шуберта для узлов). Во всех случаях новые доказательства намного проще существующих ранее. Будут доказаны новые теоремы о примарных разложениях узлов в прямых произведениях поверхностей на отрезок, о разложениях тета-кривых и общих узлов в 3-многообразиях. Будут построены примеры орбифолдов, допускающих несколько разложений, что показывает, что теорема о единственности примарного разложения орбифолда не имеет места (что противоречит распространенному мнению о ее справедливости).

Действие тора на грассманиане, дифференциальные кольца матроидов и матроидные гомологии.

Матроиды были введены Хасслером Уитни для аксиоматизации понятия линейной независимости. В настоящее время они играют большую роль в комбинаторной геометрии, теории графов, линейной алгебре и теории представлений. Геометрам и топологам матроиды стали известны во многом благодаря работе Гельфанда, Горецкого, МакФерсона и Сергановой и теореме Мнева о универсальности пространств точечных конфигураций. Гельфанд с соавторами рассматривали разбиение комплексного грассманиана U(n)/(U(k) x U(n-k)) на алгебраические множества \Omega_M (страты), состоящие из "одинаковых" орбит действия максимального тора группы U(n). Каждому комплексному матроиду M они сопоставили многогранник P(M), являющийся образом страты \Omega_M при отображении моментов \mu:CG^{k,n} -> R^n для этого действия. Класс матроидных многогранников замкнут относительно прямого произведения и взятия границы, что позволяет исследовать их с помощью техники дифференциального кольца многогранников, разработанной Бухштабером. Если же смотреть на матроиды как на симплициальные комплексы, то на их классах изоморфности возникает структура еще одного дифференциального кольца. Оказывается, что если в нем введением ориентаций добиться соотношения d^2=0, то полученный цепной комплекс будет обобщать графовые гомологии Концевича.

Новое доказательство гипотезы Фабера о числах пересечений

Совместно с Сергеем Шадриным мы получили новое доказательство гипотезы Фабера о числах пересечений в тавтологическом кольце когомологий пространства модулей кривых \M_g. Доказательство основано на простых геометрических и комбинаторных вычислениях с циклами двухточечного ветвления.

Теорема Жордана-Брауэра. История и доказательства.

В докладе будут изложены различные идеи доказательств теоремы Жордана и её обобщений и освещена её история.

Высшие иерархии КП, коммутирующие дифференциальные операторы и проколотые ленты.

Хорошо известна связь между решениями уравнения Кадомцева-Петвиашвили (или иерархии КП), кольцами коммутирующих дифференциальных операторов, спектральными кривыми и геометрией бесконечномерного грассманиана. А.Н.Паршиным было предложено обобщение соответствия Кричевера на алгебраические поверхности с дополнительным набором данных. Им же было начато изучение высших иерархий типа КП. Я планирую рассказать о некотором аналоге теории КП в двумерном случае: о результатах, полученных мной, Д.Осиповым и H.Kurke в ряде работ на эту тему.

(совместно с В.М.Бухштабером и Н.Рэем)

Универсальный торический род.

"Универсальный торический род" - это универсальный гомоморфизм из кольца геометрических T^k-эквивариантных комплексных кобордизмов в кольцо кобордизмов классифицирующего пространства k-мерного тора T^k. Он является эквивариантным аналогом универсального рода Хирцебруха. В случае действия с изолированными неподвижными точками получены формулы для универсального торического рода и других эквивариантных родов Хирцебруха на основе теоремы локализации. В случае квазиторических многообразий это привело к явному вычислению родов в терминах данных неподвижных точек. На основе торической топологии получены функциональные уравнения, позволившие решить задачи о жёсткости и мультипликативности родов. В частности, доказано, что обобщённый эллиптический род Кричевера является универсальным для родов, жёстких на SU-многообразиях.

Бесконечная транзитивность для групп автоморфизмов аффинных многообразий.

Будем говорить, что действие группы G на множестве A бесконечно транзитивно, если для любого натурального m и любых наборов (a_1,...,a_m) и (b_1,...,b_m) попарно различных точек множества A найдется такой элемент g группы G, что g(a_i)=b_i, i=1,...,m. Нетрудно проверить, что при n>1 группа алгебраических автоморфизмов Aut(A^n) действует на аффинном пространстве A^n бесконечно транзитивно. Хотелось бы выяснить, для каких аффинных алгебраических многообразий X группа автоморфизмов Aut(X) действует на множестве гладких точек X_{reg} бесконечно транзитивно. Мы доказываем это свойство для нормальных конусов над многообразиями флагов и для невырожденных аффинных торических многообразий размерности >1. В первом случае доказательство построено на изучении прообраза открытой клетки Шуберта, во втором используется теория корней Демазюра и соответствующие однопараметрические подгруппы автоморфизмов.

Пусть X -- неприводимое аффинное многообразие и f -- непостоянный многочлен на X. Определим надстройку над многообразием X как гиперповерхность в A2 \times X, заданную уравнением uv=f(x). Мы показываем, что надстройка сохраняет свойство бесконечной транзитивности для действия группы автоморфизмов.

The homotopy theory of moment-angle complexes.

In recent years, toric topology has been recognised as an area of topology which has deep connections with combinatorics, algebraic and symplectic geometry, and homological algebra.

The moment-angle complex, an object initially studied in algebraic geometry, has become one of the central objects of toric topology. Thus its homotopy type, stable and unstable, is of great interest. In this talk I'll explain a relation between simplicial complexes and moment-angle complexes and determine the unstable homotopy type of moment-angle complexes related to shifted complexes.

In addition, I'll describe how higher Whitehead products arise in the homotopy theory of moment-angle complexes and their relations with the loop homology of Davis-Januszkiewicz spaces.

(по серии совместных работ с П.В.Бибиковым)

О разбиениях, связанных с дискретными группами отражений.

Пусть W --- конечная группа порожденная отражениями, а С --- ее камера Вейля, то есть фундаментальная область действия этой группы. В недавней статье Вальдшпургера (2007) был получен удивительный результат: конус, сопряженный фундаментальной камере C, есть дизъюнктное объединение по всем w\in W конусов вида (1-w)C^0, где C^0 --- внутренность камеры C. Это разбиение имеет крайне нетривиальную комбинаторную структуру.

Отметим, что оригинальное доказательство Вальдшпургера было крайне нетривиально и запутано. Мы приведем более простое и ясное доказательство этого результата, а также его обобщение на случай аффинных и гиперболических групп отражений. Как оказалось, это, с первого взгляда, комбинаторное утверждение имеет чисто топологическую природу. Мы также приведем приложения теоремы Вальдшпургера. А именно, мы получим формулу Де Кончини и Прочези об относительной угловой мере сопряженного конуса к С и ее обобщение, связанное с формулами Мак-Мюллена.

Об одном методе построения универсальных пространств.

В докладе будет рассмотрен метод построения универсальных пространств. Этот метод теоретико-множественный в том смысле, что в нём, кроме понятия базы открытых множеств пространства, никакие другие топологические понятия не используются.

The smooth structure set of S^p x S^q.

We calculate the smooth structure set of $S^p \times S^q$, $S(p, q)$, for $p, q \geq 2$ and $p+q \geq 5$. As a consequence we show that in general $S(4j-1, 4k)$ cannot admit a group structure such that the smooth surgery exact sequence is a long exact sequence of groups. We also show that the image of forgetful map $F: S(4j, 4k) --> S^{Top}(4j, 4k)$ is not in general a subgroup of the topological structure set.

Комбинаторика комбинаторной трансверсальности.

Аннотацию доклада см. здесь.

Кубические реализации флаговых нестоэдров и доказательство гипотезы Гала для них.

Общая задача заключается в описании h-полиномов (эквивалентно, гамма-полиномов) простых флаговых многогранников. Имеется известная гипотеза С.Гала, утверждающая, что коэффициенты гамма-полиномов таких многогранников неотрицательны. Недавно автором было получено доказательство гипотезы Гала для флаговых нестоэдров.

Каждый нестоэдр является многогранником Дельзанта, и, согласно теореме Дельзанта, существует симплектическое многообразие с гамильтоновым действием тора, такое что нестоэдр является образом соответствующего отображения моментов. В этом случае, согласно теореме Дэвиса-Янушкевича, коэффициенты h-полинома многограгранника совпадают с числами Бетти полученного симплектического многообразия. Таким образом, гипотеза Гала напрямую связана с дифференциальной геометрией гамильтоновых торических многообразий.

В докладе будет показано, что любой флаговый нестоэдр можно получить из куба срезками граней коразмерности 2. Как следствие будет установлена гипотеза Гала для флаговых нестоэдров.

Самосовпадения непрерывных отображений между многообразиями.

Рассмотрим непрерывное отображение f:M->N между гладкими многообразиями. Широко известны условия (Ву, Коннер-Флойд, Шварц), гарантирующие наличие двукратных самосовпадений отображения f в терминах двойственных классов Штифеля-Уитни (или других классов mod p) расслоения f^*(TN)-TM. Если рассмотреть самосовпадения f большей кратности q>2 (в данном докладе рассматривается случай, когда q - степень двойки или простое число), то оказывается, что тоже можно определить характеристические классы f^*(TN)-TM, гарантирующие q-кратные самосовпадения. В частности доказывается, что непрерывные отображения f: RP^m->R^n обязаны иметь q-кратные самосовпадения при некоторых ограничениях на числа n\ge m и q.

Представление Лоуренс-Краммера-Бигелоу группы кос.

Будет рассказано о различных определениях представления Лоуренс-Краммера-Бигелоу (ЛКБ) группы кос и двух доказательствах точности этого представления. Представление ЛКБ появилось в 1999 году в работе Даана Краммера и представляло собой частный случай семейства представлений, которое ранее было рассмотрено Рут Лоуренс при изучении представлений алгебр Гекке. В своей работе Краммер доказал точность этого представления для группы кос из 4-х нитей. В 2000 году Стивен Бигелоу дал топологическую интерпретацию представлению ЛКБ и доказал его точность для любого числа нитей. В том же году Краммер распространил и своё доказательство на любое число нитей.

Обобщённые представления Бурау.

Будет рассказано о различных определениях представлений Бурау групп кос Артина и возможности их распространения на обобщенные группы кос, связанные с конечными группами отражений. Будет затронут вопрос об их точности.

Число Бухштабера симплициальных комплексов и его связь с универсальными комплексами.

В докладе речь пойдет о свойствах вещественного и комплексного чисел Бухштабера. Оказывается, существует серия симплициальных комплексов U_l, l>0, таких что задача отыскания комплексного числа Бухштабера комплекса K эквивалентна задаче поиска наименьшего l, для которого существует невырожденное отображение комплекса K в комплекс U_l. Аналогичная серия комплексов существует и для вещественного числа Бухштабера. Обе серии были введены Дэвисом и Янушкиевичем в 1991 году при построении универсальных объектов в категории квазиторических пространств над симплициальными комплексами. Элементы этих серий называются универсальными комплексами и, как показали Дэвис и Янушкиевич, обладают интересными гомологическими свойствами. Нас же больше интересуют комбинаторные свойства этих комплексов. Из этих свойств будут выведены некоторые оценки на числа Бухштабера, часть из которых была получена другими методами Николаем Ероховцом. Также будет доказана точная формула для комплексного и вещественного числа Бухштабера в случае простого графа и несколько следующих из нее соотношений.

Симплициальные разбиения куба.

Доклад посвящен разбиениям кубов на симплексы с вершинами в вершинах куба. Обозначим минимальное число симплексов в разбиении $n$-мерного куба через $dis(n)$. Используя евклидов объем, нетрудно получить следующую нижнюю оценку:

dis(n)\geq \dfrac {n!} {2 \left(\dfrac {\sqrt{n+1}} {2}\right)^{n+1}} =: E(n).

В 2000 г. У. Смитом с помощью гиперболического объема была получена следующая оценка:

dis(n) \geq H(n) \geq \frac 1 2 6^{\frac n 2} (n+1)^{- \frac {n+1} 2} n!

\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac {H(n)} {E(n)} \right)^{\frac 1 n} \approx 1.261522510

С помощью теоремы о симплициальных инвариантах многогранников специального вида -- призмоидов -- мы строим общую конструкцию для нахождения нижних оценок -- некоторый взвешенный объем симплекса, зависящий от матрицы параметров. Выбрав соответствующую матрицу параметров, мы докажем новую нижнюю асимптотическую оценку:

dis(n) \geq (n+1)^{\frac {n-1} 2} =: F(n)

\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac {F(n)} {E(n)} \right)^{\frac 1 n} = \frac e 2 \approx 1.359140914

Классификация вложений неодносвязных четырехмерных многообразий в семимерное евклидово пространство.

Основной результат - описание множества E^7 (S^1 x S^3) вложений в семимерное евклидово пространство декартова произведения S^1 x S^3 окружности и трехмерной сферы и (в процессе разработки) произвольного замкнутого связного ориентируемого четырехмерного многообразия без кручения в гомологиях.

Для S^1 x S^3 и кусочно-линейной категории геометрически строится взаимно-однозначное соответствие между множеством вложений и Z+Z_2.

Для S^1 x S^3 и гладкой категории геометрически строится сюръекция f : Z_{12}+Z+Z -> E^7 (S^1 x S^3), для которой f(a,b,c)=f(a',b',c') тогда и только тогда, когда a=a', b=b' и c-c' делится на 2b.

Для общего случая ответ дается в терминах гомологий многообразия.

Доказательство основано на использовании и развитии нового подхода, основанного на модификации Крека теории хирургии. Оно включает явное построение инвариантов и вложений. В частности, построено вложение Уайтхеда S^1 x S^3 -> R^7 (аналог зацепления Уайтхеда), обладающее удивительными свойствами.

Добавлено в апреле 2013.

Вот исправленная версия основного результата для S^1 x S^3.

Для S^1 x S^3 и гладкой категории геометрически строится сюръекция f : Z_{12} + Z + Z -> E^7 (S^1 x S^3), для которой f(a,b,c) = f(a',b',c') тогда и только тогда, когда b=b' и
- либо b<>0, c-c' делится на 2b и a=a',
- либо b=0, c=c' и a-a' делится на 2GCD(c,6).

Для S^1 x S^3 и кусочно-линейной категории геометрически строится сюръекция f : Z + Z_6 -> E^7 (S^1 x S^3), для которой f(b,c) = f(b',c') тогда и только тогда, когда b=b' и c-c' делится на 2GCD(b,3).

Хотя исправление получено в рамках того же общего подхода, оно потребовало доказательства принципиально новых свойств инварианта Крека.

Инвариант Бухштабера простых многогранников.

Выпуклые многогранники служили объектом исследований ещё с древности, вспомним хотя бы Платоновы правильные тела, теорему Коши о равенстве многогранников с равными гранями, формулу Эйлера, неравенства Брунна-Минковского и Александрова-Фенхеля, теорему Александрова и многое другое. Торическая топология даёт новый взгляд на простые многогранники. По каждому простому $n$-мерному многограннику $P^n$ с $m$ гипергранями можно канонически построить момент-угол многообразие $\mathcal Z_P$ с действием $m$-мерного тора $T^m$, причём $\mathcal{Z}_P/T^m=P$.

Оказывается, для некоторых многогранников существует торическая подгруппа, изоморфная $T^{m-n}$, действующая свободно. Факторпространство по действию такой подгруппы называется квазиторическим многообразием. Однако, далеко не все многогранники допускают хотя бы одно квазиторическое многообразие. Примером может служить уже многогранник, двойственный к циклическому многограннику, имеющему $m>2^n$ вершин. Таким образом, возникает естественный вопрос, а какова наибольшая размерность торической подгруппы, действующей свободно на момент-угол многообразии. Это число и называется инвариантом Бухштабера простого многогранника. Как мы видим, $s$-число, в некотором смысле, измеряет симметрию момент-угол многообразия, отвечающего многограннику.

Проблема, которую поставил В.М. Бухштабер в 2002 году, заключается в том, чтобы найти простое комбинаторное описание $s$-числа.

Мы покажем, что:

1) Для любого простого многогранника, кроме симплекса, $s(P)\ge 2$;

2) Существуют простые многогранники со сколь угодно большим $\nu=m-n$ и $s(P)=2$;

3) $s(P)$ не определяется только $f$-вектором и хроматическим числом $\gamma$ многогранника;

4) $s(P)\ge m-\gamma+s(\Delta^{\gamma-1}_{n-1})$;

5) При $i$-флипе для $1 6) Для флаговых многогранников $s(P)>=[(m-n)/2]$;

Также найдём значение $s(P)$ для всех простых $n$-мерных многогранников с $n+3$ гипергранями и покажем, что в этом случае это значение выражается через биградуированные числа Бетти момент-угол многообразия, которые сами по себе являются комбинаторными инвариантами простого многогранника, определяющими его $f$-вектор. При этом мы вычислим и сами биградуированные кольца когомологий соответствующих момент-угол многообразий.

Рациональная теория вложений многообразий.

Доклад посвящен классической проблеме классификации вложений многообразий. Явно описать множество вложений очень трудно, и мы пытаемся найти ответ на следующий более простой вопрос: является ли множество вложений данного многообразия в сферу данной размерности с точностью до изотопии конечным?

Ответ на данный вопрос был получен А.Хефлигером в 1966 для случая вложений сфер (узлов) в коразмерности >2, Д. Кроули, С. Ферри и автором в 2008 - для случая вложений несвязного объединения сфер (зацеплений).

В докладе данная проблема будет изучаться для следующего по сложности случая: случая вложений произведения сфер (заузленных торов).

Теорема. Пусть m < p+3q/2+2 и m > 2p+q+2. Тогда множество гладких вложений произведения p-мерной и q-мерной сфер в m-мерную сферу с точностью до изотопии конечно, если и только если либо q+1 делится на 4, либо или p+q+1 делится на 4, либо прямая (m-p-2)x+(m-q-2)y=m-3 пересекает множество U(m-p-2,m-q-2).

Здесь U(i,j) - конкретное подмножество целочисленной решетки, зависящее от четности чисел i,j, которое будет построено в докладе.

Основным новым интрументом является геометрическая точная последовательность, сводящая классификацию заузленных торов к классификации зацеплений и оснащенных узлов.

Для многообразия N обозначим через E^m(N) множество вложений N->S^m с точностью до изотопии. Обозначим через E0^m(S^{p+q}|_|S^q) множество вложений S^{p+q}|_|S^q->S^m, ограничение которых на S^q незаузлено. При m > 2p+q+2 множества E0^m(S^{p+q}|_|S^q), E^m(D^p x S^q) и E^m(S^p x S^q) обладают естественной групповой структурой.

Теорема. При m > 2p+q+2 имеется точная последовательность: ... -> E0^m(S^{p+q}|_|S^q) -> E^m(S^p x S^q) -> E^m(D^p x S^q) -> E0^{m-1}(S^{p+q-1}|_|S^{q-1}) -> ...

Градуированная теория n-гомоморфизмов Фробениуса и ее топологические приложения.

В докладе будет рассказано о развитой автором градуированной теории n-гомоморфизмов Фробениуса в связи с ее двуми основными топологическими приложениями. Неградуированная теория n-гомоморфизмов Фробениуса была в построена в работах В.М.Бухштабера и Э.Риса начиная с 1996 года.

Первое приложение касается теории разветвленных накрытий по Дольду-Смиту, которая тесно связана с действиями конечных групп на топологических пространствах. Для всякого n-листного разветвленного накрытия f:X -->Y по Дольду-Смиту существует классический трансфер \tau(f):H^*(X;Q)-->H^*(Y;Q), \tau(f):H^*(X;Z_p)-->H^*(Y;Z_p), p>n, который в свете новой теории является не просто линейным отображением, а n-гомоморфизмом специального вида. Это знание позволяет сказать много нового о мультипликативной структуре кольца H^*(Y), зная кольцо H^*(X). В частности, получаются нижние оценки на рациональную (и mod p, p>n) когомологическую длину l(Y) через l(X) и n.

Второе приложение развитой теории связано с понятием n-значной топологической группы, введенным В.М.Бухштабером в 1990 г. В 1996 году В.М.Бухштабером и Э.Рисом было предложено понятие n-алгебы Хопфа для четноградуированной коммутативной алгебры. В.М.Бухштабером и Э.Рисом была доказана теорема о существовании структуры n-алгебры Хопфа в четных когомологиях H^2*(X;Q) для любой n-значной топологической группы X. Автор вводит понятие n-алгебры Хопфа для общего случая градуированной коммутативной алгебры и доказывает, что H^*(X;Q) наделяется структурой n-алгебры Хопфа для любой n-значной топологической группы X. Это позволяет получать результаты о несуществовании структуры n-значного умножения для новых серий многообразий, n=2,3.

Гипотеза Громова о макроскопической размерности для многообразий положительной скалярной кривизны.

Доклад основан на совместной работе с А.Н.Дранишниковым (Университет Флориды).

Мы доказываем гипотезу Громова, утверждающую, что макроскопическая размерность универсального накрытия замкнутого спинорного многообразия Mⁿ с фундаментальной группой п, допускающего метрику положительной скалярной кривизны, не превосходит n-2, если выполнены следующие условия на фундаментальную группу:

1. Сильная гипотеза Новикова верна для п,

2. Естественное преобразование per: ko_n(Bп) -> KO_n(Bп) иньективно.

В частности, гипотеза верна, если фундаментальная группа является свободной абелевой.