Poincar\'e duality in equivariant K-theory Of CP(V).

We shall consider an equivariant generalisation of complex projective space, illustrated with pictures which will be familiar to toric topologists. We shall continue by making explicit Poincar\'e duality in equivariant K-theory for these spaces. The case of the trivial group provides an alternative to how Adams treats the non-equivariant case.

Realisations of the Stanley-Reisner algebra and their homotopy types.

For any simplicial complex K, Davis and Januszkiewicz have defined a family of homotopy equivalent CW-complexes whose integral cohomology rings are isomorphic to the Stanley-Reisner algebra of K. Subsequently, Buchstaber and Panov gave an alternative construction, which they also showed to be homotopy equivalent to the original examples. It is therefore natural to investigate the extent to which the homotopy type of a space X is determined by such a cohomology ring. I shall discuss joint work with Dietrich Notbohm on this problem, and attempt to explain how distinct methods are required for proceeding rationally, modulo an arbitrary prime p, and p-adically. The results are then assembled by means of Sullivan's arithmetic square, and uniqueness is deduced whenever the Stanley-Reisner algebra is a complete intersection.

А.А.Айзенберг

f-векторы симплициальных комплексов и частично упорядоченных множеств.

Рассмотрено кольцо симплициальных комплексов, являющееся непосредственным обобщением кольца простых многогранников, веденного В.М.Бухштабером в 2008 году. Структура дифференцирования на множестве симплициальных комплексов позволяет элементарно доказать соотношения Дена-Соммервилля для триангуляций многообразий. Также рассмотрен случай флаговых f-чисел и выведены обобщенные соотношения Дена-Соммервилля для триангулированных многообразий M^{n-1}, допускающих правильную раскраску вершин в n цветов.

Во второй части доклада будет доказана формула, выражающая число симплексов в декартовом произведении двух комплексов через количества симплексов множителей. Эта задача непосредственно связана с подсчетом числа цепей в прямом произведении частично упорядоченных множеств.

А.С.Скрипченко

Симметричные системы наложений отрезков порядка 3 и плоские сечения 3-периодических поверхностей.

Задача о поведении плоских сечений 3-периодических поверхностей была поставлена С.П.Новиковым в 1982 году и изучалась потом его учениками. Один из наиболее интересных оставшихся открытых вопросов об этих сечениях сводится к изучению систем наложений отрезков порядка 3. В настоящей работе исследуется симметрический случай таких систем наложения отрезков, а также описываются примеры симметричных систем, с помощью которых строятся 3-периодические поверхности в трехмерном пространстве, имеющие хаотические плоские сечения.

Классы би-Липшиц эквивалентности множеств Делоне.

В 1993 году М.Громов поставил задачу о би-Липшиц эквивалентности двух произвольных множеств Делоне в некотором метрическом пространстве. Эта задача была решена для некоторых семейств неевклидовых пространств. Для Евклидова пространства размерности больше одного в 1997 году в работе Д.Бураго и Б.Кляйнера и в работе К.МакМаллена было доказано существование множества Делоне, не би-Липшиц эквивалентного решетке Z_n. Также в 2002 году Бураго и Кляйнер доказали достаточный критерий эквивалентности множества Делоне решетке и с помощью этого критерия доказали эквивалентность ряда квази-кристаллов и решетки.

В этом докладе будет приведено несколько достаточных критериев би-Липшиц эквивалентности произвольных множеств Делоне, а также будет приведен конкретный пример множества Делоне, не би-Липшиц эквивалентного решетке.

Квазиторические многообразия с $T^n$-эквивариантной почти комплексной структурой.

Многообразие $M^{2n}$ с локально стандартным действием тора $T^n$ называется квазиторическим, если пространство орбит по действию тора гомеоморфно простому многограннику. Мы доказываем, что любое квазиторическое многообразие обладает $T^n$-эквивариантной почти комплексной структурой, если к этому нет самоочевидных препятствий (в докладе будет сказано, каких именно).

Существование проективного многообразия с любым заданным набором характеристических чисел.

Мы рассмотрим обобщение понятия характеристических чисел для комплексных многообразий с особенностями. Хорошо известно, что наборы характеристических чисел гладких компактных комплексных многообразий размерности $n$ не порождают всю решётку ${\mathbb Z}^{p(n)}$, где $p(n)$ -- количество разбиений числа $n$. Если разрешить особенности, то оказывается, что существует проективное многообразие с любым заданным набором характеристических чисел.

Минимальная триангуляция комплексной проективной плоскости, допускающая черно-белую раскраску четырехмерных симплексов.

Хорошо известна задача о построении минимальной триангуляции заданного многообразия, то есть триангуляции, имеющей наименьшее возможное число вершин. Замечательным примером является построенная в 1983 году В.Кюхнелем и Т.Банхофом минимальная 9-вершинная триангуляция комплексной проективной плоскости. Представляет интерес также задача о построении минимальных триангуляций в классе триангуляций, удовлетворяющих каким-либо естественным условиям. В докладе в качестве такого класса будет выступать класс триангуляций, допускающих черно-белую раскраску симплексов максимальной размерности, такую что любые два симплекса, имеющие общую гипергрань, окрашены в разные цвета. Интерес к такому классу триангуляций связан с работами И.А.Дынникова и С.П.Новикова, в которых триангуляции двумерных поверхностей с черно-белой раскраской симплексов были использованы для построения дискретизации комплексного анализа. В докладе будет построена новая 15-вершинная триангуляция X комплексной проективной плоскости, являющаяся минимальной в классе триангуляций, допускающих черно-белую раскраску четырехмерных симплексов. Эта триангуляция имеет много интересных свойств. Будет обсуждена ее связь с комплексными кристаллографическими группами и построена ее явная реализация.

Задача Кнастера для орбит $(Z_p)^k$

Доклад посвящён некоторым положительным результатам по задаче Кнастера.

Задача. Обозначим $S^{d-1}$ единичную сферу в $\mathbb R^d$. Для данных m = d-k+1 точек $x_1, \ldots, x_m\in S^{d-1}$ и непрерывного отображения $f: S^{d-1}\to \mathbb R^k$ найти вращение $\rho\in SO(d)$, для которого $f(\rho(x_1)) = f(\rho(x_2)) = \dots = f(\rho(x_m))$.

Эта задача не всегда допускает положительное решение, для $k\ge 3$ контрпримеры строятся из соображений размерности, для k=1,2 также существуют контрпримеры при достаточно большой размерности d. В докладе будут обсуждаться положительные решения задачи для $k=1,2$ в случае, когда множество точек $x_1, \ldots, x_m$ является орбитой действия p-тора, или орбитой без одной точки.

Решения задачи Кнастера построены на вычислении некоторого препятствия в эквивариантных когомологиях SO(d), будет показано применение этих препятствий к другим геометрическим задачам.

Гипотеза Гала для нестоэдров, отвечающих полным двудольным графам.

Простой многогранник называется флаговым, если любой набор его попарно пересекающихся гиперграней имеет непустое пересечение. Нас интересует задача: охарактеризовать f-векторы флаговых многогранников. На этот счёт имеется известная гипотеза С.Р.Гала о том, что коэффициенты гама-полинома всякого флагового многогранника неотрицательны. Каждому связному графу можно сопоставить флаговый многогранник - так называемый нестоэдр. В докладе будет показано, что для вякого нестоэдра, соответствующего связному производящему множеству, h-полином может быть записан как производящая функция количества "спусков" некоторого класса перестановок и доказана гипотеза Гала для многогранников, отвечающих полным двудольным графам.

Скручивающие коцепи, пространства петель и характеристические классы.

В этом докладе я попытаюсь дальше описать связи между скручивающими коцепями и теорией характеристических классов. На прошлом своем выступлении я объяснил, как с помощью скручивающей коцепи получить формулы, выражающие характеристические классы главного расслоения в терминах локальных функций переклейки. На этом докладе я собираюсь, напомнив для начала, что такое скручивающая коцепь, объяснить ее связь с такими важными дифференциально-геометрическими объектами, как монодромия связности, пространство свободных петель, а также, если успею, показать, как с ее помощью можно потроить аналог так называемого "циклического характера Чженя" в смысле Виттена, Бисмю, Джонса-Гетцлера-Петрака и т.д.

Дифференциалы спектральной последовательности Адамса и инвариант Кервера.

В докладе исследуются дифференциалы спектральной последовательности Адамса стабильных гомотопических групп сфер, и дается ответ на вопрос о равенстве единице инварианта Кервера для n-мерных многообразий в случае n=2^i-2, i>6.

16 декабря 2008

16:45-18:20, ауд. 16-08

Coarse (co-)homological dimension of expanders with large girth.

We show that expanders with large girth have coarse (co-)homological dimension 1. This is in sharp contrast with their asymptotic dimension which is infinite.

16 декабря 2008

18:30-20:05, ауд. 12-24

Коприсоединенные орбиты унитреугольной группы.

В докладе будут построены системы образующих элементов для полей инвариантов коприсоединенных представлений алгебр Ли, являющихся факторами унитреугольной алгебры Ли по регулярным идеалам.

Гомотопические группы двумерной сферы и брунновы косы.

Обсудим теорему: n-ая гомотопическая группа двумерной сферы изоморфна n-ым гомологиям комплекса, у которого на n-ом месте стоит группа брунновых кос на n нитях. Доказательство использует классические результаты про симплициальные множества. Теорема опубликована в статье

Jon Berrick, Fred Cohen, Yanloi Wong and Jiе Wu, "Braids, configurations and homotopy groups", http://www.math.nus.edu.sg/~matwujie/BCWWfinal.pdf

Гомологии и когомологии дополнений для наборов координатных плоскостей.

В докладе будут рассматриваться группы гомологий и когомологий для дополнений к наборам комплексных координатных плоскостей, а также вопросы связанные с геометрической реализацией циклов, и явным заданием коциклов в виде дифференциальных форм, и связь всего этого с торическими многообразиями.

Введение в квантовую топологию.

Мы расскажем об использовании квантовых инвариантов многообразий в классификационных задачах алгебраической геометрии.

О каскадном поиске прообраза подпространства и множества совпадений набора отображений в метрическом пространстве.

Каскад (термин предложен Д.В.Аносовым) на метрическом пространстве $(X,\rho )$- это дискретная динамическая система c фазовым пространством X$ и полугруппой сдвигов $(Z_{\ge 0},+)$.Рассматривается задача каскадного поиска замкнутого подпространства A метрического пространства $(X,\rho )$, то есть построение (многозначного)каскада на пространстве X с предельным множеством A, с оценкой расстояния от произвольной начальной точки до соответствующих предельных точек. Будет рассказано о развитии результатов, изложенных в предыдущем докладе 29 апреля текущего года. В частности, общий принцип каскадного поиска и его применения, указанные в заголовке, в ситуации однозначных и многозначных отображений.

Алгебра формальных векторных полей на прямой и гипотеза Бухштабера.

Рассмотрим алгебру Ли $L_1$ формальных векторных полей на вещественной прямой ${\mathbb R}^1$, обращающихся в ноль вместе с первой производной в начале координат. Бухштабер и Шокуров показали, что универсальная обертывающая $U(L_1)$ изоморфна тензорному произведению алгебру Ландвебера--Новикова на поле вещественных чисел. Гончарова вычислила когомологии $H^*(L_1)=H^*(U(L_1))$, оказалось, что у $H^*(L_1)$ умножение тривиально. Бухштабер выдвинул гипотезу, что когомологии $H^*(L_1)$ порождаются нетривиальными произведениями Масси, начиная с двух одномерных классов. Фейгин, Фукс и Ретах представили $H^*(L_1)$ с помощью тривиальных произведений Масси. В докладе будет показано, что $H^*(L_1)$ все же порождается с помощью нетривиальных произведений Масси.

D.V.Millionschikov (MSU)

Algebra of formal vector fields on the line and Buchstaber's conjecture.

Let $L_1$ denotes the Lie algebra of formal vector fields on the real line which vanish at the origin together with their first derivatives. Buchstaber and Shokurov have shown that the universal enveloping algebra $U(L_1)$ is isomorphic to the tensor product $S\otimes {\mathbb R}$, where $S$ is the Landweber-Novikov algebra in complex cobordism theory. Goncharova calculated the cohomology $H^*(L_1)=H^*(U(L_1))$, it follows that $H^*(L_1)$ has trivial multiplicative structure. Buchstaber conjectured that $H^*(L_1)$ is generated with respect to non-trivial Massey products by two one-dimensional classes. Feigin, Fuchs and Retakh found representation of $H^*(L_1)$ by trivial Massey products. In the talk we will show that $H^*(L_1)$ is generated with respect to non-trivial Massey product.

Деформация особенности и обобщение формулы Варченко для дзета-функции монодромии.

Рассмотрим росток $n$-мерной комплексной функции $f$ с особенностью в начале координат и соответствующее расслоение Милнора над маленькой проколотой окрестностью нуля в $\mathbb{C}$. Дзета-функцией $\zeta_f (t)$ ростка $f$ называется дзета-функция преобразования монодромии этого расслоения. Формула Варченко выражает $\zeta_f (t)$ в терминах диаграммы Ньютона ростка $f$ в невырожденных случаях.

Мы приводим аналогичную теорию для деформации $f_\sigma$ ростка комплексной функции $f=f_0$ ($\sigma \in \mathbb{C}$). Деформация ростка также задает расслоение над проколотой окрестностью нуля (со слоем $\{f_\sigma = 0\}$ над точкой $\sigma$). Мы приводим формулу типа Варченко для дзета-функции $\zeta_{f_\sigma} (t)$ этого расслоения. В случае деформации $f_\sigma = f - \sigma$ ростка $f$ наша формула совпадает с формулой Варченко.

Геометрический подход к проблеме сопряженности кос.

Я расскажу о классическом решении проблемы сопряженности в группах кос и о своем новом подходе, который, как я предполагаю, приведет к полиномиальному алгоритму.

Когда множество зацеплений конечно?

Доклад посвящен многомерному обобщению теории узлов и зацеплений.

Под узлом мы понимаем вложение p-мерной сферы в m-мерную сферу, а под зацеплением - вложение несвязного объединения p-мерной и q-мерной сфер в m-мерную сферу. Явно описать множества многомерных узлов и зацеплений очень трудно, и мы пытаемся найти ответ на следующий более простой вопрос: при каких p,q,m множество зацеплений (или узлов) конечно?

Для узлов данный вопрос был полностью решен А. Хефлигером в 1960-х. В докладе будет приведен ответ на этот вопрос для зацеплений:

Теорема. Пусть p и q меньше m-2. Тогда множество вложений несвязного объединения p-мерной и q-мерной сферы в m-мерную сферу, компоненты которых незаузлены, бесконечно, если и только если прямая (m-p-2)x+(m-q-2)y=m-3 пересекает множество U(m-p-2,m-q-2).

Здесь U(i,j) - конкретное подмножество целочисленной решетки, зависящее от четности чисел i и j, которое будет построено в докладе.

Доказательство основано на сведении к задаче рациональной теории гомотопий и теории супералгебр Ли.

Будут приведены также результаты о конечности множества вложений произведения сфер различной размерности в евклидово пространство.

Гомологии Хованова и гипотеза Милнора.

Гомологии Хованова узлов и зацеплений появились недавно, но уже успели приобрести большую известность в математике. Если говорить кратко, гомологии Хованова - это биградуированное семейство групп гомологий, эйлерова характеристика которого совпадает с полиномом Джонса узла. За прошедшее время появились модификации этой теории, одна из которых в конечном итоге привела Дж. Расмуссена к элементарному доказательству гипотезы Милнора о роде торического узла (первоначально доказанной при помощи калибровочной теории). Мы разберем это доказательство, а также некоторые смежные вещи.

Список литературы.

[1] Paul Turner, "Five lectures on Khovanov Homology", http://arxiv.org/abs/math/0606464. Наверное, наиболее подходящий для первого чтения текст: много примеров и замечаний по сути дела.

[2] Marta Asaeda, Mikhail Khovanov, "Notes on link homology", http://arxiv.org/abs/0804.1279. Гомологии Хованова - в лекции 3. Работа 2008 года, внутри - много всего интересного, например, категорификация полинома HOMFLY.

[3] Mikhail Khovanov "A categorification of Jones polynomial", http://arxiv.org/abs/math/9908171. Оригинальная работа Хованова (2000 год).

[4] Dror Bar-Natan, "On Khovanov's categorification of the Jones polynomial", http://arxiv.org/abs/math/0201043. Работа, проливающая свет на то, что написано в предыдущей. Доказательство инвариантности, обилие явных вычислений (в частности, пример двух узлов с одинаковыми полиномами Джонса и разными гомологиями Хованова).

[5] Jacob Rasmussen , "Khovanov homology and slice genus", http://arxiv.org/abs/math/0402131. Работа (2004), содержащая комбинаторное доказательство гипотезы Милнора с помощью гомологий Хованова в модификации Ли. Недостающие детали - в следующей работе.

[6] Eun Soo Lee, "An endomorphism of Khovanov invariant", http://arxiv.org/abs/math/0210213. Строится вариация гомологий Хованова, позволяющая доказать вторую гипотезу в работе Бар-Натана выше (и частично проливающая свет на первую).