Семинар ``Алгебраическая топология"
(Бюро семинара: В.М.Бухштабер, А.В.Чернавский, И.А.Дынников, Т.Е.Панов, Л.А.Алания, А.А.Гайфуллин, Д.В.Миллионщиков, Д.В.Гугнин)

Вторник, 16:45-18:20, ауд. 16-08

Аннотации докладов

28 марта 2017 Яков Александрович Верёвкин (МГУ)

Коммутант прямоугольной группы Артина и прямоугольной группы Коксетера

Будет рассмотрено полиэдральное произведение и граф-произведение групп. Также будет вычислен минимальный набор образующих для коммутанта прямоугольной группы Артина и прямоугольной группы Коксетера.

21 марта 2017 Дмитрий Панов (Королевский колледж Лондона, Великобритания)

Односвязность 6-мерных симплектических Фано с гамильнотовым действием окружности

Доклад посвящен совместной работе с Ником Линдси. Компактное симплектическое многообразие называется многообразием Фано, если первый класс Черна его касательного расслоения равен классу симплектической формы. В размерности 2 такое многообразие одно - это сфера, в размерности 4 благодаря теории Зайферга-Виттена известно, что таких многообразий 10, и они все односвязны. Начиная с размерности 12 есть примеры симплектических многообразий Фано с бесконечной фундаментальной группой. В нашей работе мы доказываем, что 6-мерные симплектические Фано с гамильнотовым действием окружности также односвязны. Это первый шаг в сторону классификации таких многообразий.

14 марта 2017 Виктор Вадимович Батырев (Университет Тюбингена, Германия)

Струнные классы Чженя особых торических многообразий и их приложения

String theory suggests some generalizations of the classical Chern classes for singular varieties. These generalizations are called stringy Chern classes. The purpose of the talk is to explain the combinatorial meaning of stringy Chern classes in the case of projective toric varieties and show some combinatorial applications related to a stringy version of the Libgober-Wood formula. This a joint work with K. Schaller.

Ссылка: arXiv:1607.04135

7 марта 2017 Дмитрий Владимирович Миллионщиков (МГУ)

Естественно градуированные алгебры Ли медленного роста

Алгебра Ли g называется естественно градуированной, если она изоморфна своей ассоциированной градуированной алгебре Ли относительно фильтрации идеалами нижнего центрального ряда. Конечномерные естественно градуированные алгебры Ли называются иногда алгебрами Карно.
В 90-е годы прошлого века Шалев и Зельманов, сравнивая аппарат, развитый в теории про-p групп, с теорией про-нильпотентных алгебр Ли над полем нулевой характеристики, инициировали изучение т.н. "узких" алгебр Ли, класса медленно растущих алгебр Ли с двумя мультипликативными обрузующими.
В частности ими было введено понятие ширины положительно градуированной алгебры Ли g. Алгебра Ли g имеет ширину d, если размерность каждой её однородной компоненты не превосходит d. Зельманов и Шалев поставили задачу классификации градуированных алгебр Ли конечной ширины d. Самой "узкой" (narrow) "ширины почти один" среди естественно градуированных алгебр g является алгебра m_0, которая задается бесконечным базисом e_1,e_2,e_3,... и коммутационными соотношениями [e_1, e_i]=e_i+1, i>1.
В естественной градуировке алгебры m_0 первая однородная компонента двумерна (линейная оболочка e_1 и e_2), остальные все компоненты одномерны.
Классический результат Вернь говорит о том, что с точностью до изоморфизма алгебра m_0 является единственной с таким свойством.
В докладе будет рассказано о классификации естественно градуированных алгебр Ли (алгебр Карно) ширины два и о некоторых геометрических задачах, приводящих к необходимости такой классификации.

28 февраля 2017 Дмитрий Владимирович Гугнин (МГУ)

Когомологии симметрических степеней CW комплексов и Римановых поверхностей

Доклад основан на arXiv препринтах автора 1502.01862v2 и 1606.00453v2.
Симметрическая степень Хаусдорфова пространства X есть факторпространство Sym^nX:=X^n/S_n. Когомологиям симметрических степеней посвящены работы Дольда, Тома, Накаоки, Мильграма, Макдональда и многих других математиков. Фундаментальный факт состоит в том, что рациональное кольцо когомологий H^*(Sym^nX;Q) симметрической степени есть достаточно простой функтор от исходного кольца H^*(X,Q) (для связных CW комплексов X конечного гомологического типа).
В первой части доклада будет представлена теорема автора, утверждающая, что кольцо H^*(Sym^nX;Z)/Tor есть функтор от кольца H^*(X;Z)/Tor (для связных CW комплексов X конечного гомологического типа). Более того, будет дано явное описание этого функтора. Нетривиальность этого факта состоит в том, что функтор H^*(-;Z)/Tor более тонкий, чем H^*(-;Q): существуют многообразия без кручения в когомологиях, имеющие изоморфные рациональные кольца когомологий и неизоморфные целочисленные кольца когомологий.
Вторая часть доклада будет посвящена симметрическим степеням Римановых поверхностей. Есть простой факт: симметрическая степень Sym^n M^m многообразия M^m есть многообразие тогда и только тогда, когда m=2. Более того, структура Римановой поверхности на M^2 индуцирует структуру комплексного многообразия на Sym^n M^2.
Пусть даны две компактные Римановы поверхности M^2_g и M^2_g'. Тогда если g не равно g', то замкнутые многообразия Sym^n M^2_g и Sym^n M^2_g' гомотопически неэквивалентны (у них разные pi_1). Пусть теперь даны две компактные Римановы поверхности с проколами M^2_{g,k} и M^2_{g',k'}. Тогда открытые многообразия Sym^n M^2_{g,k} и Sym^n M^2_{g',k'} гомотопически эквивалентны iff 2g+k=2g'+k'. В 2003 году сербскими математиками Благоевичем, Груичем и Живалевичем была сформулирована следующая
Гипотеза. Пусть 2g+k=2g'+k' и g не равно g'. Тогда открытые многообразия Sym^n M^2_{g,k} и Sym^n M^2_{g',k'} негомеоморфны.
До препринта автора 1606.00453v2 (июнь 2016), эта гипотеза была доказана только в случае n<=2max{g,g'}. В указанном препринте автором было получено полное доказательство этой гипотезы.

Ссылки: arXiv:1502.01862 arXiv:1606.00453