Торические действия сложности один

Торические действия сложности один исследовались многими авторами с разных сторон, но, по-видимому, топологическая сторона вопроса пока изучена довольно слабо.

Для нас торическое действие сложности один - это эффективное гладкое действие компактного (n-1)-тора на гладком 2n-многообразии, с конечным числом неподвижных точек. При определенных условиях его пространство орбит является топологическим многообразием без края. Под эти условия подходят: действие трехмерного тора на комплексном грассманиане G_{4,2}, действие двумерного тора на многообразии F_3 полных комплексных флагов, индуцированное действие на квазиторическом многообразии (n-1)-мерного подтора в общем положении. В перечисленных примерах пространство орбит является сферой. Нужным условиям также удовлетворяет пространство периодических трехдиагональных эрмитовых матриц с фиксированным спектром - этот пример является основной мотивацией для нашего исследования.

В докладе я расскажу, как устроена фильтрация пространства орбит по их размерности для торических действий сложности один. В некоторых случаях удается восстановить исходное многообразие, зная его пространство орбит и устройство свободной части действия, то есть получить топологическую классификацию подобных действий.

Алгебраические Калаби-Яу гиперповерхности и SU-бордизмы

В 1962 году С.П.Новиков доказал, что кольцо SU-бордизмов над целыми числами с обращенной двойкой изоморфно кольцу полиномов от бесконечного числа образующих, по одной в каждой четной размерности, начиная с вещественной размерности 4. В работе Ж.Лю и Т.Е.Панова (2014) были построены квазиторические представители для каждой мультипликативной образующей, начиная с вещественной размерности 10; в меньших размерностях квазиторические многообразия представляют в данном кольце нулевой элемент.

Доклад будет посвящен проблеме Хирцебруха для SU-бордизмов: в данном классе бордизма найти неособое (связное) комплексное алгебраическое многообразие. Дж.Мосли (2016) показал, что это не всегда возможно уже в размерности 4. Однако для каждой мультипликативной образующей в кольце SU-бордизмов (кроме размерности 8) такие (вообще говоря, несвязные) представители были построены Ж.Лю, Т.Е.Пановым и докладчиком (2017) с помощью конструкции В.В.Батырева (1993) Калаби-Яу гиперповерхностей в торических многообразиях Фано над рефлексивными многогранниками.

Доклад основан на совместной работе с Т.Е.Пановым и Ж.Лю.

Распроектирование и аппроксимация отображений вложениями

Я расскажу о совместной работе с П. Ахметьевым (https://arxiv.org/abs/1711.03520) про сравнение k-распроектируемости и k-аппроксимируемости отображений. В частности, построен контрпример к "Прем-гипотезе" о совпадении этих понятий для гладких отображений общего положения, выдвинутой П. Ахметьевым и А. Скопенковым в работе 2002 г.

Отображение f: N^n -> M^m называется k-аппроксимируемым, если оно C^0-аппроксимируется вложениями в M x R^k; и k-распроектируемым, если оно является композицией вложения в M x R^k и проекции вдоль R^k.

Несложно видеть, что если f - устойчивое гладкое отображение, то оно k-распроектируемо тогда и только тогда, когда оно C^\infty-аппроксимируется вложениями в M x R^k.

При некоторых разумных ограничениях задачи k-аппроксимации и k-распроектирования сводятся к эквивариантной теории гомотопий, соответственно, к стабильной и нестабильной. (Первое несложно вывести из результата А. Скопенкова 1996 г.; второе - мой недавний результат, обсуждавшийся на семинаре в прошлый раз и записанный в https://arxiv.org/abs/1711.03518).

Соотношение между эквивариантными отображениями и стабильными эквивариантными отображениями можно в свою очередь исследовать геометрическими методами (используя конструкцию Понтрягина-Тома). На этом пути нами получены следующие результаты.

Пусть f: N^n -> R^{2n-q} - k-аппроксимируемое кусочно-линейное отображение общего положения или гладкое складчатое отображение общего положения. Тогда оно k-распроектируемо в следующих случаях:
1) q меньше n/2 и k=1;
2) q\le n и q\le 2k-3;
3) q\in {2k-1,2k-2} и k\in{2,4,8}, причём n достаточно велико.

Виртуальные трехмерные многообразия

С.В. Матвеев (2009) определил виртуальное многообразие как специальный полиэдр, рассматриваемый с точностью до обратимого преобразования T. Это определение мотивировано тем, что компактное 3-многообразие полностью задается утолщаемым специальным полиэдром (своим спайном), причем любые два специальных спайна одного и того же многообразия (с двумя и более истинными вершинами) можно всегда связать цепочкой преобразований T и T^{-1}.

В докладе будет построена биекция между множеством всех виртуальных многообразий и множеством всех пар вида: 3-многообразие с RP^2-особенностями и набор дуг, соединяющих особые точки с краем этого многообразия. Отметим, что многие инварианты трехмерных многообразий - группы гомологий и когомологий, а также различные квантовые инварианты (например, инварианты Тураева-Виро) - продолжаются на виртуальные многообразия.

О заменах базисов в алгебрах Стинрода

В алгебрах Стинрода известен ряд аддитивных базисов. Наиболее известными среди них являются базис допустимых мономов, базис Милнора, базис, составленный из элементов Марголиса Pst.

Мы обсудим, для каких пар базисов удается доказать, что матрица перехода оказывается треугольной при определенном выборе порядков на элементах базисов. Наиболее интересными, по всей видимости, являются замены к милноровскому базису, потому что для него есть явная формула умножения базисных элементов.

Распроектирование кусочно-линейных и гладких отображений

Если задано отображение f: N -> M, поднимается ли оно во вложение N -> M x R^k?

Есть очевидное необходимое условие: если имеется такое поднятие f x g, то существует эквивариантное отображение \Delta_f -> S^{k-1}, где \Delta_f состоит из всех пар (x,y) различных точек N, таких что f(x)=f(y). (А именно, всякую такую пару надо отправить в единичный вектор в направлении от g(x) к g(y).)

Теорема. Это условие достаточно, если f: N^n -> M^m - невырожденное кусочно-линейное отображение или гладкое погружение общего положения, m\ge n и m+k\ge 3(n+1)/2.

Ранее этот результат анонсировался докладчиком с дополнительными ограничениями (размерность четверных точек f не превосходит k и f - отображение общего положения). Случай гладкого отображения с особенностями получается лишь при более сильных дополнительных ограничениях (если мы хотим поднять его в гладкое вложение).

Во второй части доклада, насколько позволит время, мы обсудим соотношения между указанной выше задачей распроектирования заданного отображения во вложение и задачей его C^0-аппроксимации вложением в M x R^k. (Это совместная работа с П.М.Ахметьевым.)

Последняя задача сводится при тех же ограничениях к существованию стабильного эквивариантного отображения \Delta_f -> S^{k-1}. Таким образом, различие между двумя геометрическими задачами сводится к алгебраической топологии - которую в свою очередь можно исследовать геометрическими методами (используя конструкцию Понтрягина-Тома).

Так, при достаточно больших n существует гладкое погружение S^n -> R^{2n-7}, допускающее аппроксимацию, но не распроектирование, в коразмерности k=3; тогда как для отображений общего положения из N^n в R^{2n-2d} и (что сложнее) в R^{2n-2d-1} аппроксимация и распроектирование в коразмерности k=d+1 эквивалентны при d=1,3,7.

"Analytic and Algebraic Methods in Differential Equations 2017"

Многообразие изоспектральных эрмитовых матриц-стрелок (по совместной работе с В.М.Бухштабером)

Многообразие трехдиагональных эрмитовых (n+1)x(n+1)-матриц с фиксированным простым спектром хорошо известно и играет важную роль в разных задачах математики. Это многообразие является 2n-мерным квазиторическим: на нем действует компактный тор размерности n, а пространство орбит как многообразие с углами диффеоморфно знаменитому выпуклому многограннику - пермутоэдру.

В докладе будет рассмотрено пространство всех эрмитовых (n+1)x(n+1)-матриц с фиксированным простым спектром и нулями на всех позициях кроме диагонали, первой строки и первого столбца (такие матрицы мы называем матрицами-стрелками). Это пространство является гладким 2n-мерным многообразием (гладкий тип не зависит от выбора простого спектра). На этом многообразии, как и в случае трехдиагональных матриц, имеется действие n-мерного тора, но пространство орбит не является многогранником. В докладе будут описаны комбинаторика и топология таких пространств орбит. Будет подробно рассмотрено многообразие 4х4-матриц-стрелок с фиксированным простым спектром. Это многообразие имеет размерность 6, а пространство орбит является полноторием. Граница пространства орбит представляет собой фактор плоскости графена по сдвигам, определяемым двумя хиральными векторами, т.е. граница является тором, разбитым на шестиугольники. Техника, развитая ранее докладчиком, позволила вычислить кольцо когомологий и эквивариантных когомологий такого 6-мерного многообразия.

Итерированые высшие произведения Уайтхеда в топологии момент-угол-комплексов

Естественное обобщение понятий букета и толстого букета представляют собой полиэдральные произведения, частным случаем которых являются момент-угол-комплексы. Оба объекта интересны тем, что почти все методы нестабильной теории гомотопий имеют нетривиальные применения. В частности, на момент-угол-комплексах можно попытаться изучать поведение произведений Уайтхеда.
На докладе будет приведён пример симплициального комплекса, который реализует данную скобку, и я покажу, что он на самом деле является наименьшим с данным свойством. Также я приведу пример к гипотезе Бухштабера-Панова: если момент-угол-комплекс гомотопически эквивалентен букету сфер, то все сферы реализуются как линейные комбинации произведений Уайтхеда канонических сфероидов.

Дифференциальные формы и гомологии Хохшильда

Я расскажу о некотором сюжете на стыке алгебры и геометрии: о том, как чисто алгебраическое понятие гомологий Хохшильда ассоциативной алгебры позволяет понять, а в чем-то и обобщить, такие геометрические понятия, как дифференциальные формы и дифференциал де Рама. Если позволит время, я также расскажу, как эта техника позволяет получить очень простую конструкцию так называемого комплекса де Рама-Витта.

Числа Бетти малых накрытий и их обобщений

Доклад будет посвящен вычислению чисел Бетти двулистных накрывающих малых накрытий с некоторым специальным свойством. В частности, будут использованы известные результаты Дэвиса-Янушкевича о когомологиях малых накрытий. Их исходное доказательство содержит пробел, который также планируется обсудить.
Далее, если останется время, планируется обсудить ближайшее обобщение конструкции малых накрытий. Например, дать набросок того, как можно вычислять их когомологии, аналогично тому, как в работе Панова-Масуды'06 были обобщены и изучены квазиторические многообразия.

Лежандровы зацепления, рокировочные классы прямоугольных диаграмм и группа симметрий зацепления

В трехмерной сфере рассматриваются две контактные структуры, одна из которых стандартная, а другая зеркально симметричная к ней. Прямоугольные диаграммы задают зацепления, лежандровые по отношению к обеим этим структурам. Если рассматривать прямоугольные диаграммы с точностью до рокировок и стабилизаций/дестабилизаций типа I, получается теория лежандровых зацеплений по отношению к стандартной контактной структуре, рассматриваемых с точностью до лежандровых изотопий. Если вместо типа I использовать тип II, то получится аналогичная теория для зеркального образа стандартной контактной структуры.
А что, если запретить все стабилизации/дестабилизации и рассматривать прямоугольные диаграммы с точностью до рокировок? Полученные классы, которые мы будем называть рокировочными, естественно описываются для данного топологического типа зацепления в терминах лежандровых классов по отношению к упомянутым контактным структурам и симметрий данного зацепления, а также симметрий соответствующих лежандровых типов.
Этот результат основан на наших работах с Максимом Прасоловым, а также использует трюк, который использовали мы с Владимиром Шастиным для узлов с тривиальной группой симметрий.