Семинар ``Алгебраическая топология"
(Бюро семинара: В.М.Бухштабер, А.В.Чернавский, И.А.Дынников, Т.Е.Панов, Л.А.Алания, А.А.Гайфуллин, Д.В.Миллионщиков, Д.В.Гугнин)

Вторник, 16:45-18:20, ауд. 16-08

Аннотации докладов

23 мая 2017 Михаил Борисович Скопенков (НИУ ВШЭ, ИППИ)

Дискретная теория поля и умножения коцепей

Основой численных методов является дискретизация, то есть приближение континуальных объектов конечными. В докладе будут представлены новые результаты о дискретизации классической теории поля. Они естественно формулируются на топологическом языке, использующем кограничный оператор и умножения коцепей.
Эта деятельность восходит к работам Г. Кирхгофа об электрических цепях. Электрическая цепь - простейший пример дискретной теории поля. Другой пример - решеточная калибровочная теория К. Уилсона, с помощью которой производятся расчеты взаимодействия кварков. Дискретизаций известно много, и наиболее успешными оказались те, в которых законы сохранения выполняются в точности, а не приближенно.
Мы доказываем дискретный аналог теоремы Нетер, которая связывает симметрии системы с законами сохранения. Это позволяет доказать законы сохранения для ряда дискретных теорий поля.
Большая часть доклада элементарна. Для понимания доклада никакого знания физики не потребуется.

16 мая 2017 Александр Исаакович Эстеров (НИУ ВШЭ)

Разрешимость систем уравнений в радикалах

Классическая теорема Абеля утверждает, что корни общего многочлена степени d можно выразить в радикалах через его коэффициенты, если и только если d<5. Я расскажу про обобщение этой теоремы на системы полиномиальных уравнений нескольких переменных, составленных из данного набора мономов: при некоторых неограничительных естественных предположениях, корни системы выражаются в радикалах через коэффициенты, если и только если система имеет не более четырех корней, то есть объем выпуклой оболочки ее мономов не превосходит 4. В частности, удается классифицировать все такие системы, классифицировав целочисленные многогранники объема не выше 4.

25 апреля 2017 Д.В.Миллионщиков (МГУ)

Алгебры Карно медленного роста

Алгебра Ли g называется естественно градуированной, если она изоморфна gr_C(g) -- своей ассоциированной градуированной алгебре Ли относительно фильтрации идеалами C^i(g) нижнего центрального ряда. Конечномерная естественно градуированная алгебра Ли g(n)=\oplus_{i=1}^n{g}_i называется алгеброй Карно. Ее градуировка обладает важным свойством [g_1, g_i]= g_{i+1}, 1 <= i <= n.
Алгебры Карно играют важную роль в субримановой геометрии и геометрической теории управления.
В 90-е годы прошлого века Шалев и Зельманов инициировали изучение класса медленно растущих алгебр Ли с двумя мультипликативными образующими. В частности, ими было введено понятие ширины положительно градуированной алгебры Ли g=\oplus_i {g}_i. Алгебра Ли g=\oplus_i {g}_i имеет ширину k, если dim{g}_i <= k, i=1,2,... . Самой "узкой" (narrow) среди естественно градуированных алгебр g=\oplus_i {g}_i является m_0: у нее первая однородная компонента двумерна, остальные все компоненты одномерны.
Мы представляем классификацию естественно градуированных алгебр ширины 3/2, т.е. бесконечномерных N-градуированных алгебр Ли g=\oplus_i {g}_i удовлетворяющих условию "средней ширины" 3/2: dim g_i + dim g_{i+1} <= 3, i= 1,2,... .

Д.В.Гугнин (МГУ)

О нижних оценках на степень разветвленных накрытий многообразий

Разветвленным накрытием f: X^m -> Y^m связных топологических m-мерных многообразий без края называется открыто-замкнутое конечнократное отображение (у каждой точки из Y^m конечное число прообразов). Замечательная теорема А.В.Чернавского 1964 года утверждает следующее.
Теорема. Всякое разветвленное накрытие f: X^m -> Y^m является ограниченократным отображением (т.е. существует конечное n = максимальное число точек прообраза). Кроме того, если выкинуть из X^m и Y^m некоторые замкнутые подмножества, коразмерность которых 2 или больше, то на дополнении отображение f является настоящим n-листным накрытием.
Теория разветвленных накрытий многообразий размерности больше 2 началась со знаменитой теоремы Александера 1920 года.
Теорема. Для любого замкнутого связного ориентируемого PL многообразия X^m существует кусочнолинейное разветвленное накрытие f:X^m -> S^m.
Однако, в конструкции Александера степень n (число листов) данного разветвленного накрытия была очень большой и росла с увеличением количества максимальных симплексов многообразия X^m.
В случае m=2, из существования гиперэллиптических кривых произвольного рода вытекает, что любое M^2 может 2-листно разветвленно накрыть 2-сферу. Знаменитая теорема, доказанная в 1974 году независимо Хилденом, Хиршем и Монтезиносом, утверждает, что любое связное замкнутое ориентируемое 3-многообразие 3-листно и кусочнолинейно накрывает 3-сферу. Трудная теорема Пиергаллини 1995 года утверждает, что любое PL связное замкнутое ориентируемое 4-многообразие 4-листно и кусочнолинейно накрывает 4-сферу (со стандартной PL структурой). Аналогичный вопрос в размерности 5 и выше является полностью открытым.
Естественно возникает следующая задача.
Задача. Пусть даны два многообразия X^m и Y^m, для которых существует хотя бы одно разветвленное накрытие f: X^m -> Y^m. Как в терминах топологии этих многообразий оценить снизу минимальную степень разветвленных накрытий f: X^m -> Y^m.
В 1978 году в работе Берстейна-Эдмондса была получена следующая замечательная оценка. Напомним, что рациональной когомологической длиной L(Z) топологичоского пространства Z называют наибольшее число s однородных классов a_1,a_2,\ldots, a_s \in H^*(Z;Q) размерности больше нуля, имеющих ненулевое произведение.
Теорема. Пусть f: X^m -> Y^m разветвленное n-листное накрытие связных замкнутых ориентируемых топологических многообразий. Тогда справедлива следующая нижняя оценка n >= L(X)/L(Y).
В докладе будет представлена недавняя теорема автора, дающая оценку, которая для любой пары X^m и Y^m или лучше оценки Берстейна-Эдмондса, или совпадает с ней. В частности, можно доказать следующую теорему.
Теорема 1. Пусть X^m имеет максимальную когомологическую длину L(X)=m (например, X^m=T^m) и Y^m=S^2 x \ldots x S^2(k times) x S^{m-2k}, m>= 4k+2, k>=1. Тогда для любого n-листного разветвленного накрытия f: X^m -> Y^m выполнено n>= m - 2k.
Заметим, что в данном примере оценка Берстейна-Эдмондса дает только n>=m/(k+1).
Доказательство основной теоремы, дающей новые нижние оценки, нетривиально и опирается на технику n-гомоморфизмов градуированных алгебр, развитую автором в работе 2011 года. Понятие n-гомоморифзмов неградуированных коммутативных алгебр было дано в работах В.М.Бухштабера-Э.Г.Риса 1996-97 гг. Также ими была развита обширная теория n-гомоморифзмов (неградуированных) алгебр.

18 апреля 2017 В.М.Бухштабер (МИАН, МГУ), Н.Ю.Ероховец (МГУ)

Конструкции семейств трёхмерных многогранников, характеристические фрагменты фуллеренов и многогранники Погорелова

Доклад посвящён описанию комбинаторики трёх семейств простых 3-мерных многогранников, играющих важную роль в разных задачах алгебраической топологии, гиперболической геометрии, теории графов и их приложений. Первое семейство P6 состоит из простых многогранников с не более чем 6-угольными гранями. Второе семейство Pog состоит из многогранников Погорелова. Третье семейство F состоит из фуллеренов и является пересечением первых двух семейств. Будет показано, что в случае фуллеренов имеют место более сильные результаты, чем для первых двух семейств рассматриваемых многогранников. Основные инструменты -- k-пояса граней, простые разбиения диска и операции перестройки и связной суммы многогранников и разбиений диска.

28 марта 2017 Яков Александрович Верёвкин (МГУ)

Коммутант прямоугольной группы Артина и прямоугольной группы Коксетера

Будет рассмотрено полиэдральное произведение и граф-произведение групп. Также будет вычислен минимальный набор образующих для коммутанта прямоугольной группы Артина и прямоугольной группы Коксетера.

21 марта 2017 Дмитрий Панов (Королевский колледж Лондона, Великобритания)

Односвязность 6-мерных симплектических Фано с гамильнотовым действием окружности

Доклад посвящен совместной работе с Ником Линдси. Компактное симплектическое многообразие называется многообразием Фано, если первый класс Черна его касательного расслоения равен классу симплектической формы. В размерности 2 такое многообразие одно - это сфера, в размерности 4 благодаря теории Зайферга-Виттена известно, что таких многообразий 10, и они все односвязны. Начиная с размерности 12 есть примеры симплектических многообразий Фано с бесконечной фундаментальной группой. В нашей работе мы доказываем, что 6-мерные симплектические Фано с гамильнотовым действием окружности также односвязны. Это первый шаг в сторону классификации таких многообразий.

14 марта 2017 Виктор Вадимович Батырев (Университет Тюбингена, Германия)

Струнные классы Чженя особых торических многообразий и их приложения

String theory suggests some generalizations of the classical Chern classes for singular varieties. These generalizations are called stringy Chern classes. The purpose of the talk is to explain the combinatorial meaning of stringy Chern classes in the case of projective toric varieties and show some combinatorial applications related to a stringy version of the Libgober-Wood formula. This a joint work with K. Schaller.

Ссылка: arXiv:1607.04135

7 марта 2017 Дмитрий Владимирович Миллионщиков (МГУ)

Естественно градуированные алгебры Ли медленного роста

Алгебра Ли g называется естественно градуированной, если она изоморфна своей ассоциированной градуированной алгебре Ли относительно фильтрации идеалами нижнего центрального ряда. Конечномерные естественно градуированные алгебры Ли называются иногда алгебрами Карно.
В 90-е годы прошлого века Шалев и Зельманов, сравнивая аппарат, развитый в теории про-p групп, с теорией про-нильпотентных алгебр Ли над полем нулевой характеристики, инициировали изучение т.н. "узких" алгебр Ли, класса медленно растущих алгебр Ли с двумя мультипликативными обрузующими.
В частности ими было введено понятие ширины положительно градуированной алгебры Ли g. Алгебра Ли g имеет ширину d, если размерность каждой её однородной компоненты не превосходит d. Зельманов и Шалев поставили задачу классификации градуированных алгебр Ли конечной ширины d. Самой "узкой" (narrow) "ширины почти один" среди естественно градуированных алгебр g является алгебра m_0, которая задается бесконечным базисом e_1,e_2,e_3,... и коммутационными соотношениями [e_1, e_i]=e_i+1, i>1.
В естественной градуировке алгебры m_0 первая однородная компонента двумерна (линейная оболочка e_1 и e_2), остальные все компоненты одномерны.
Классический результат Вернь говорит о том, что с точностью до изоморфизма алгебра m_0 является единственной с таким свойством.
В докладе будет рассказано о классификации естественно градуированных алгебр Ли (алгебр Карно) ширины два и о некоторых геометрических задачах, приводящих к необходимости такой классификации.

28 февраля 2017 Дмитрий Владимирович Гугнин (МГУ)

Когомологии симметрических степеней CW комплексов и Римановых поверхностей

Доклад основан на arXiv препринтах автора 1502.01862v2 и 1606.00453v2.
Симметрическая степень Хаусдорфова пространства X есть факторпространство Sym^nX:=X^n/S_n. Когомологиям симметрических степеней посвящены работы Дольда, Тома, Накаоки, Мильграма, Макдональда и многих других математиков. Фундаментальный факт состоит в том, что рациональное кольцо когомологий H^*(Sym^nX;Q) симметрической степени есть достаточно простой функтор от исходного кольца H^*(X,Q) (для связных CW комплексов X конечного гомологического типа).
В первой части доклада будет представлена теорема автора, утверждающая, что кольцо H^*(Sym^nX;Z)/Tor есть функтор от кольца H^*(X;Z)/Tor (для связных CW комплексов X конечного гомологического типа). Более того, будет дано явное описание этого функтора. Нетривиальность этого факта состоит в том, что функтор H^*(-;Z)/Tor более тонкий, чем H^*(-;Q): существуют многообразия без кручения в когомологиях, имеющие изоморфные рациональные кольца когомологий и неизоморфные целочисленные кольца когомологий.
Вторая часть доклада будет посвящена симметрическим степеням Римановых поверхностей. Есть простой факт: симметрическая степень Sym^n M^m многообразия M^m есть многообразие тогда и только тогда, когда m=2. Более того, структура Римановой поверхности на M^2 индуцирует структуру комплексного многообразия на Sym^n M^2.
Пусть даны две компактные Римановы поверхности M^2_g и M^2_g'. Тогда если g не равно g', то замкнутые многообразия Sym^n M^2_g и Sym^n M^2_g' гомотопически неэквивалентны (у них разные pi_1). Пусть теперь даны две компактные Римановы поверхности с проколами M^2_{g,k} и M^2_{g',k'}. Тогда открытые многообразия Sym^n M^2_{g,k} и Sym^n M^2_{g',k'} гомотопически эквивалентны iff 2g+k=2g'+k'. В 2003 году сербскими математиками Благоевичем, Груичем и Живалевичем была сформулирована следующая
Гипотеза. Пусть 2g+k=2g'+k' и g не равно g'. Тогда открытые многообразия Sym^n M^2_{g,k} и Sym^n M^2_{g',k'} негомеоморфны.
До препринта автора 1606.00453v2 (июнь 2016), эта гипотеза была доказана только в случае n<=2max{g,g'}. В указанном препринте автором было получено полное доказательство этой гипотезы.

Ссылки: arXiv:1502.01862 arXiv:1606.00453