|
А.Б.Скопенков (МГУ)
Группы инерции гладких вложений.
Классическим и очень интересным объектом дифференциальной топологии
является группа $C^k_n$ гладких вложений $S^n$ в $S^{n+k}$ (с точностью до
гладкой изотопии).
А. Хефлигер доказал, например, что $C_n^k=0$ при $n\le2k-4$ и
что $C_4^3\cong Z_{12}$.
Пусть $N$ --- замкнутое гладкое $n$-мерное многообразие.
Пусть $Emb^{n+k}(N)$ --- множество гладких вложений многообразия $N$ в
$S^{n+k}$.
Группа $C_n^k$ действует на $Emb^{n+k}(N)$ путем вложенной связной суммы
вложенных многообразия и сферы.
О тривиальности или нетривиальности этого действия для $k>2$ и $N\ne S^n$
ничего не было известно.
Дж. Левин в 1960-х рассматривал аналогичную проблему о действии группы
гомотопических сфер на множестве гладких многообразий (с точностью до
диффеоморфизмов) путем связной суммы.
Основной результат доклада (полученный совместно с М. Креком) следующий.
Пусть $N$ --- замкнутое гладкое односвязное четырехмерное многообразие,
сигнатура которого не делится ни на какой квадрат целого числа (например,
$N=CP^2$).
Тогда для любых (возможно, не изотопных) вложений $g_1,g_2:S^4\to S^7$
вложения $f\#g_1,f\#g_2:N\to S^7$ изотопны.
Обозначим $N=\#_i(S^2\times S^2)$.
Пусть $f:N\to S^7$ --- гладкое вложение, которое почти гладко изотопно
гладкому вложению с образом в $S^6\subset S^7$.
Тогда для любых не изотопных вложений $g_1,g_2:S^4\to S^7$
вложения $f\#g_1,f\#g_2:N\to S^7$ не изотопны.
Будут приведены классификационные результаты, вытекающие из указанных
теорем. Доказательство основано на модификации Крека теории перестроек.
|