Академик АН СССР. Заведовал кафедрой с 1933 по 1982 год.  Герой Социалистического Труда, лауреат Государственной премии, премии имени Н.И.Лобачевского. Основатель Российской топологической школы. В МГУ -- основатель кафедры высшей геометрии и топологии.  В течение многих лет -- Президент Московского математического общества.

В 1913 году П.С.Александров закончил с золотой медалью Смоленскую общественную гимназию. В годы обучения в гимназии на его развитие оказал большое влияние учитель математики А.Р.Эйгес. В том же 1913 году П.С.Александров поступает в Московский университет, и с этих пор вся жизнь Павла Сергеевича неразрывно связана с Московским университетом.

Уже на первом курсе он принял участие в семинаре Д.Ф.Егорова. На втором курсе он становится учеником Н.Н.Лузина и в 1915 году получает свой первый научный результат: доказывает фундаментальную теорему о мощности В-множеств. Он доказывает, что каждое несчетное борелевское множество содержит совершенное подмножество. Аппарат, созданный Павлом Сергеевичем для доказательства этой теоремы -- А-операция (названная так М.Я.Суслиным в честь П.С.Александрова) -- оказал очень существенное влияние на дальнейшее развитие теоретико-множественных методов. Другой фундаментальный результат П.С.Александрова из этой области -- теорема о гомеоморфизме всякого абсолютного $G_{\delta}$-множества полному метрическому пространству. Этот результат стал основой внутренней топологической характеризацией полноты, найденной П.С.Александровым.

Ярчайшим примером остроты математического "видения" является введение П.С.Александровым понятия бикомпакта и выяснение им, уже в самом начале развития теории бикомпактных пространств, самых существенных свойств бикомпактов. Павлом Сергеевичем было, в частности, показано, что в классе регулярных пространств бикомпактность тождественна абсолютной замкнутости, откуда была выведена, с помощью теоремы о сохранении бикомпактности при непрерывных отображениях, дальнейшая теорема о непрерывных разбиениях, порождаемых непрерывными отображениями бикомпактов в хаусдорфовы пространства. Созданная П.С.Александровым (на предварительном этапе в сотрудничестве с П.С.Урысоном) теория бикомпактных пространств стала основой большинства дальнейших теоретико-множественных исследований и проникла своими идеями в теорию непрерывных групп, функциональный анализ, математическую логику и многие другие разделы математики.

С 1921 г. П.С.Александров начал работать в качестве приват-доцента в Московском университете. В 1921-1923 гг. он прочитал курс теории функций действительного переменного и первый в Московском университете курс общей топологии, а также несколько других курсов, например, курс теории Галуа.

Лето 1922 г. Павел Сергеевич и Павел Самуилович Урысон провели вместе вблизи Болшева под Москвой, и именно этим летом ими было положено начало серьезным исследованиям по топологии в нашей стране. Отсюда ведет начало ныне известная во всем мире московская топологическая школа. В то время понятие топологического пространства уже существовало -- оно наметилось в работах М.Фреше (1906 г.) и в книге Ф.Хаусдорфа (1914 г.). Но это была лишь абстрактная общая схема. Наполнить понятие топологического пространства богатым геометрическим содержанием, сделать его необходимым общим достоянием всех математиков -- это и было дело, начатое у нас в стране в июле 1922 г. П.С.Александровым и П.С.Урысоном. Уже первые результаты были весьма значительны. П.С.Александров и П.С.Урысон начали с построения теории счетно-компактных пространств, далеко развитой затем П.С.Александровыч в теорию бикомпактных и локально-бикомпактных пространств. П.С.Александровым и П.С.Урысоном была решена проблема метризации, причем были введены понятия, оказавшие большое влияние на дальнейшее развитие исследований в смежных областях; мы еще скажем об этом ниже. Наконец, П.С.Александровым в 1925 г. была дана окончательная, ныне общепринятая форма аксиоматики топологического пространства.

Летом 1923 г. и 1924 г. П.С.Александров и П.С.Урысон были в Геттингене и установили научные коптакты со знаменитой Геттингенской математической школой, которую в то время возглавлял Д.Гильберт. Своими учителями П.С.Александров считает Д.Ф.Егорова, Н.Н.Лузина, Л.Брауэра, Э.Нетер и Д.Гильберта, так как именно эти математики оказали наибольшее влияние на формирование научного мировоззрения и на все научное творчество Павла Сергеевича. О научной жизни в этот период в Геттингене П.С.Александров писал в своих воспоминаниях о Р.Куранте (УМН 30:4 (1975), стр. 205-226) и в воспоминаниях о Х.Хопфе.

Другое применение построенной гомологической теории -- теория двойственности, восходящая к Дж.Александеру и получившая дальнейшее развитие после открытия А.Н.Колмогоровым и Дж.Александером когомологических групп. Предметом двойственности зтого типа являются соотношения между группами гомологий компакта в евклидовом пространстве (или, более общо, многообразии) и его дополнения. Ясно, что сама постановка задачи здесь включает определение групп гомологий открытого множества -- дополнения к компакту. Теория Александрова позволила поставить всю область на твердую основу. На этом пути Л.С.Понтрягин нашел и доказал свой известный закон двойственности для компактов, лежащих в евклидовом пространстве. Окончательную же формулировку такого типа законы получили после создания Л.С.Понтрягиным теории двойственности локально-бикомпактных групп. Таким образом, к середине тридцатых годов оказались связанными в единое целое до того совершенно различные ветви топологии -- алгебраическая, восходящая к А.Пуанкаре, и теоретико-множественная, идущая от Фреше и Хаусдорфа, и в этом огромная заслуга П.С.Александрова. Отражением этого синтеза двух основных ветвей топологии должна была служить совместная трехтомная монография П.С.Александрова и Х.Хопфа "Топология". Закончена книга была осенью 1935 г. в Крыму, недалеко от Ялты, где в это время Находились П.С.Александров, А.Н.Колмогоров, Х.Хопф. Особое место в жизни П.С.Александрова занимает его дружба с А.Н.Колмогоровым, начало которой относится к 1929 г. Вместе с А.Н.Колмогоровым Павел Александрович много путешествовал по Волге, Днепру и другим рекам, по Кавказу. по Крыму, по югу Франции. С 1935 г. начинается, как говорит Павел Александрович, комаровский период в его жизни. С Комаровкой, деревушкой под Москвой, где находится дом, принадлежащий с 1935 г. П.С.Александрову и А.Н.Колмогорову, связано немало событий в истории математики Московсокого университета за последние 40 лет. Здесь были задуманы и выполнены многие выдающиеся работы. В Комаровке часто бывали, а иногда жили продолжительное время многие ученики Павла Сергеевича и Андрея Николаевича. Комаровку посещали выдающиеся зарубежные математики (Адамар, Фреше, Банах, Хопф, Куратовский и другие).

Открытый характер творчества Павла Сергеевича, его педагогическое мастерство и личное обаяние быстро привлекли к нему учеников. Одним из первых учеников Павла Сергеевича был Андрей Николаевич Тихонов. А.Н.Тихонов внес важный вклад в теорию бикомпактных пространств, доказав знаменитую теорему о бикомпактности произведения любого множества бикомпактных пространств. А.Н.Тихоновым же было открыто "правильное" определение топологии произведения любого множества пространств и доказаны важные теоремы о погружении в бесконечномерные кубы.

В 1924 г. Павел Сергеевич доказал, что в каждое открытое покрытие сепарабельного метрического пространства можно вписать локально конечное открытое покрытие, т.е. доказал паракомпактность сепарабельных метрических пространств. Через 20 лет этот результат был передоказан Ж.Дьедонне (введшим термин "паракомапктное пространство"), а через 24 года, в 1948 г., А.Х.Стоун показал, что от требования сепарабельности можно отказаться - что составляет содержание его замечательной теоремы о паракомпактности произвольного метрического пространства. Теорема Стоуна явилась главным средством для получения метризационных теорем Бингом, Нагата и Смирновым в 1950-51 гг. Мы видим, таким образом, что у истока современных метризационных критериев и теория паракомпактных пространств находится понятие локально конечного покрытия, введенного П.С.Александровым еще в 1924 г.

В 1925 г. П.С.Александров в ряде фундаментальных и чрезвычайно целеустремленных работ создает основы гомологической теории общих топологических пространств и общий метод перенесения на теоретико-множественные объекты методов комбинаторной топологии. При этом он кладет в основу своих рассуждений понятие нерва покрытия, введенного им в 1925 г. -- чрезвычайно простое, но фундаментальное по значению понятие. В результате возник некоторый синтез комбинаторно-алгебраических и теоретико-множественных методов в топологии, в большой степени определившей развитие топологии в течение ряда лет. Первым применением понятия нерва была известная теорема Александрова об $\varepsilon$-сдвигах компактов на полиэдры. Эта теорема, в свою очередь, легла в основу доказательства теоремы Небелинга-Понтрягина о вложимости $n$-мерного компакта в $(2n+1)$-мерное евклидово пространство. Первым примером применения построенной теории гомологий была гомологическая теория размерности, созданная П.С.Александровым в 1928-1930 гг. и представляющая собой одно из важнейших открытий в топологии. Как это характерно для творчества П.С.Александрова, в основе теории лежат прозрачные геометрические идеи. Вот одна из таких идей: размерность компакта Ф не ниже $n$, если на нем имеется нетривиальный (не гомологичный нулю на некотором подкомпакте Ф' в Ф) цикл размерности $n-1$, гомологичный нулю на всем Ф. Другие характерики размерности, предложенные П.С.Александровым, основаны на столь же геометричных понятиях зацепления циклов и "разбиения" гомологии.

Значение теории, построенной П.С.Александровым, не только в том, что она дает новый, мощный инструмент исследования (пример тому -- решение Л.С.Понтрягиным проблемы поведения размерности при перемножении пространств, целиком основанное на гомологической теории размерности). Важный аспект ее состоит в том, что получила прямое потверждение сама теория размерности, созданная, совсем незадолго до этого. Именно, факт совпадения в широком классе компактных пространств гомологической размерности и размерности через покрытия, инвариантов, построенных с абсолютно различных точек зрения, показывает правильность и естественность определения размерности.

Как обычно, большие продвижения в одной области связаны с продвижениями и в соседних областях. Так, для гомологической теории размерности П.С.Александрову понадобилось одно утверждение об отображениях полиэдра в сферу. Доказательство этого утверждения было "заказано" Х.Хопфу, и из этого произошла классическая теорема Хопфа о классификации непрерывных отображений $n$-мерного и $n+1$-мерного полиэдра в $n$-мерную сферу, впервые изложенная в письме Хопфа к П.С.Александрову, опубликованном в "Математическом сборнике". Работы П.С.Александрова в этом направлении были продолжены и развиты многими математиками: А.Н.Колмогоровым, К.А.Ситниковым, К.М.Куратовским, Г.С.Чогошвили, Е.Г.Скляренко, В.И.Кузьминовым, И.А.Шведовым -- разумеется, здесь названы не все. Некоторые результаты из этой области получили замечательные чисто теоретико-множественные обощения. Так, теорема П.С.Александрова об $\varepsilon$-сдвигах компактов в полиэдры многие годы спустя предстала в новом облачении -- в форме теоремы Даукера, характеризующей паракомпакты в терминах $\omega$-отображений их в метрические пространства. Этот результат Даукера -- один из центральных сейчас в теории паракомпактных пространств.

Другое применение построенной гомологической теории -- теория двойственности, восходящая к Дж.Александеру и получившая дальнейшее развитие после открытия А.Н.Колмогоровым и Дж.Александером когомологических групп. Предметом двойственности зтого типа являются соотношения между группами гомологий компакта в евклидовом пространстве (или, более общо, многообразии) и его дополнения. Ясно, что сама постановка задачи здесь включает определение групп гомологий открытого множества -- дополнения к компакту. Теория Александрова позволила поставить всю область на твердую основу. На этом пути Л.С.Понтрягин нашел и доказал свой известный закон двойственности для компактов, лежащих в евклидовом пространстве. Окончательную же формулировку такого типа законы получили после создания Л.С.Понтрягиным теории двойственности локально-бикомпактных групп. Таким образом, к середине тридцатых годов оказались связанными в единое целое до того совершенно различные ветви топологии -- алгебраическая, восходящая к А.Пуанкаре, и теоретико-множественная, идущая от Фреше и Хаусдорфа, и в этом огромная заслуга П.С.Александрова. Отражением этого синтеза двух основных ветвей топологии должна была служить совместная трехтомная монография П.С.Александрова и Х.Хопфа "Топология". К сожалению, война помешала завершению этого труда, и написанным оказался лишь первый том, известная во всем мире "Топология I", по которой учились все современные топологи. Написанная выдающимися представителями обоих направлений в топологии книга по богатству заложенных в ней идей, по яркости изложения остается непревзойденной. Закончена книга была осенью 1935 г. в Крыму, недалеко от Ялты, где в это время Находились П.С.Александров, А.Н.Колмогоров, Х.Хопф. Особое место в жизни П.С.Александрова занимает его дружба с А.Н.Колмогоровым, начало которой относится к 1929 г. Вместе с А.Н.Колмогоровым Павел Александрович много путешествовал по Волге, Днепру и другим рекам, по Кавказу, по Крыму, по югу Франции. С 1935 г. начинается, как говорит Павел Александрович, комаровский период в его жизни. С Комаровкой, деревушкой под Москвой, где находится дом, принадлежащий с 1935 г. П.С.Александрову и А.Н.Колмогорову, связано немало событий в истории математики Московского университета за последние 40 лет. Здесь были задуманы и выполнены многие выдающиеся работы. В Комаровке часто бывали, а иногда жили продолжительное время многие ученики Павла Сергеевича и Андрея Николаевича. Комаровку посещали выдающиеся зарубежные математики (Адамар, Фреше, Банах, Хопф, Куратовский и другие).

Следующий большой этап в творчестве П.С.Александрова имеет своей кульминацией его так называемую "казанскую" работу, написанную в 1941-1942 гг., посвященную изучению гомологическими методами формы и расположения комплекса (и замкнутого множества) в обьемлющем комплексе (и замкнутом множестве). Не перечисляя конкретных результатов, полученных в эти годы П.С.Александровым, достаточно сказать, что в указанной работе впервые были выписаны все элементы точной последовательности, столь сейчас употребительного инструмента во всех разделах математики, использующих алгебраические методы.

Наконец, в конце сороковых - начале пятидесятых годов П.С.Александров, а затем его ученики, среди которых прежде всего нужно назвать К.А.Ситникова, занимаются построением гомологической теории незамкнутых множеств в евклидовых пространств, что привело к дальнейшему развитию и самой гомологической теории (работы Г.С.Чогошвили и его учеников). Павлу Сергеевичу принадлежит, в частности, первый общий закон двойственности дли незамкнутого множества, лежащего в евклидовом пространстве, и целый ряд других результатов. Результаты П.С.Александрова по гомологической теории и теоремам двойственности для незамкнутых множеств составили знаменитую большую его работу ("Основные соотношения двойственности для незамкнутых множеств", опубликованную в "Математическом сборнике" в 1947 г.

Работа по созданию гомологической теории топологических пространств и, в частности, гомологической теории размерности велась Павлом Сергеевичем Александровым параллельно с работой в чисто теоретико-множественном направлении. В 1939 г. им было проведено важное исследование бикомпактных расширений вполне регулярных пространств. Здесь примененная новая точка зрения оказалась весьма плодотворной, и в частиости, появилась впоследствии в работак В.И.Пономарева и многих других авторов.

Другой весьма существенный результат из теоретико-множественной топологии, полученной П.С.Александровым в этот период, утверждает, что каждый бикомпакт веса, равного данному кардинальному числу $\tau$, является непрерывным образом замкнутого подпространства обобщенного канторова дисконтинуума $D~{\tau}$. Еще в 1927 г. П.С.Александровым было доказано, что каждый компакт явлнется непрерывным образом обычного канторова дисконтинуума $D~{\aleph_0}$ в связи с этим Павлом Сергеевичем было введено понятие диадического бикомпакта как непрерывного образа всего обобщенного канторова дисконтинуума $D~{\tau}$ при каком-нибудь $\tau$. В ответ на вопрос П.С.Александрова Марчевский доказал, что не каждый бикомпакт веса $\tau$ при $\tau > \aleph_0$ диадичен, в противоположность со случаем $\tau = \aleph_0$. Теория диадических бикомпактов, которой таким образом положена основа, оказалась весьма интересной и важной.

Павлом Сергеевичем была выдвинута также гипотеза о диадичиости пространства любой бикомпактной группы, доказанная впоследствии Л.Н.Ивановским и В.Н.Кузьминовым. Доказано также, что метризуемость диадического бикомпакта следует уже из первой аксиомы счетности. Эти исследования были продолжены А.В.Архангельским, В.И.Пономаревым, Б.А.Ефимовым, М.Катетовым, Р.Энгелькингом и многими другими математиками как у нас, так и за границей.

Вообще, под самым непосредственным влиянием Павла Сергеевича развивалась вся теория непрерывных отображений топологических пространств. Она началась по существу с создания П.С.Александровым еще в двадцатые годы теории непрерывных отображений и отвечающих им непрерывных разбиений бикомпактов. Вероятно, нет ни одного важного положения этой теории, которое не послужило бы отправной точкой дальнейших исследований. Так, уже упоминавшейся теореме П.С.Александрова о представлении каждого компакта, как непрерывного образа канторова совершенного множества, соответствуют теперь теорема о том, что каждый бикомпакт является непрерывным образом нульмерного бикомпакта того же веса и вся теория диадических бикомпактов. Вся теория непрерывных отображений бикомпактов развилась в теорию совершенных отображений произвольных вполне регулярных пространств, весьма общую и насыщенную богатейшим конкретным материалом. П.С.Александрову принадлежат первые фундаментальные результаты об открытых отображениях бикомпактов и постановка основных задач в зтой области. Им было доказано сохранение размерности $dim$ при открытых счетнократных отображениях (бикомпактов) -- результат, теснейшим образом связанный с проблематикой открытых нульмерных отображений и открытых конечнократных отображений, в частности, с задачей о существовании открытого нульмерного отображения куба в куб большей размерности. Под влиянием Павла Сергеевича были выполнены первые основополагающие работы по теории замкнутых непрерывных отображений небикомпактных метрических пространнств на метрические пространства. Учеником П.С.Александрова И.А.Вайнштейном был получен фундаментальный результат о периферической бикомпактности всякого такого отображения. Это утвержденис послужило прообразом и ступенью ко многим важным результатам в общей теории замкнутых отображений, полученным у нас и за границей (А.Х.Стоуном, К.Моритой, Н.С.Лашневым и др.). Особенно много внимания общей теории непрерывных отображений Павел Сергеевич уделяет в период, начавшийся в 1954 г., когда семинар для начинающих, созданный Павлом Сергеевичем, увлек большую группу первокурсников и определил для многих из них научное их будущее. Начиная с этого времени Павел Сергеевич в значительной степени концентрирует на теоретико-множественных вопросах топологии и воспитании учеников в этой области. В обзорах, опубликованных в УМН в 1960 и 1964 гг., Павел Сергеевич подводит первые итоги работы этой только что выращенной им группы молодык ученых и определяет направления дальнейшего исследования, формулируя множество интереснейших конкретных задач.

Особенно большое влияние на развитие исследований в общей топологии в последние годы оказал обзорный доклад П.С.Александрова на Втором Пражском симпозиуме по общей топологии и ее применениям в 1966 г. В этом докладе были сформулированы основные принципы взаимной классификации пространств и отображеий. Сегодня трудно даже перечислить все интересные исследования, вызванные к жизни этим докладом.

Павел Сергеевич никогда не мыслил научной деятельности вне педагогического воздействия, вне контакта с учениками. Он сам отмечает четыре основные хронологические группы своих учеников, четыре "пласта" или "слоя". К первой группе относятся А.Н.Тихонов, Л.А.Тумаркин, В.В.Немыцкий, А.Н.Черкасов, Н.Б.Веденисов. В это же время учеником Павла Сергеевича стал Л.С.Понтрягин, который уже в первые аспирантские годы сделал крупные открытия в топологии. Ко второй группе "сороковые годы" принадлежат Ю.М.Смирнов, К.А.Ситников, О.В.Локуциевский, Е.Ф.Мищенко. К поколению пятидесятых годов относятся А.В.Архангельский, Б.Л.Пасынков, В.И.Пономарев, а также Е.Г.Скляренко и А.А.Мальцев, бывшие в аспирантуре соответственно у Ю.М.Смирнова и К.А.Ситникова. Группу самых молодых учеников образуют В.В.Федорчук, В.И.Зайцев и Е.В.Щепин. Конечно, перечислить всех учеников Павла Сергеевича невозможно, и мы указали только некоторых. Трудно назвать кого-либо из видных советских топологов, на кого Павел Сергеевич не оказал бы большого и часто решающего влияния, и можно сказать, что все они в том или ином смысле являются учениками Павла Сергеевича.

Научная и педагогическая деятепьность Павла Сергеевича органически сочеталась с общественной и административной. Во время международных поездок, начавшихся с 1923 г., он встречался с Гильбертом, Брауером, Хаусдорфом, Хопфом, Курантом и многими другими зарубежными математиками, с некоторыми из них он долгое время сотрудничал и дружил. Образовавшиеся таким образом международиые контакты Павла Сергеевича служили поднятию престижа советской математической науки и содействовали росту и расцвету московской математической школы. С 1958 по 1962 г. П.С.Александров был вице-президентом Международного математического союза.

Павел Сергеевич руководил кафедрой высшей геометрии и топологии в Московском университете, заведовал отделением математики МГУ и проявлял в этом качестве большую заботу о всем аспирантском коллективе. Возглавлял Павел Сергеевич и отдел общей топологии Математического института АН СССР им. В. А. Стеклова. В течение тридцати трех лет Павел Сергеевич был президентом Московского математического общества, а в 1964 г. он избран почетным президентом. П.С.Александров был членом редколлегий нескольких ведущих математических журналов, главным редактором журнала "Успехи математических наук". В 1935 г. он был в числе первых организаторов Московской математической олимпиады для школьников.

Большую роль в развитии науки и математического образования в нашей стране сыграли книги, написанные Павлом Сергеевичем: "Введение в общую теорию множеств и функций", "Комбинаторная топология", "Лекции по аналитической геометрии", "Теория размерности" (совместно с Б.А.Пасынковым) и "Введение в гомологическую теорию размерности". Научная, педагогическая и общественная деятельность Павла Сергеевича высоко оценена: в 1929 г. он был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР, а в 1953 г. -- действительным ее членом. П.С.Александров являлся также членом Геттингенской академии наук, Австрийской академии наук, Академии Леопольдина в Галле, Польской академии наук, Академии наук ГДР, Национальной академии наук США, членом Американского философского общества в Филадельфии, почетным доктором Берлинского университета им. Гумбольта, почетным членом Голландского математического общества.

Правительство СССР наградило Павла Сергеевича многими орденами, присвоило ему звание Героя Социалистического Труда. За работу "Гомологические свойства расположения комплексов и замкнутых множеств" Совет Министров СССР присудил ему Государственную премию первой степени, а за цикл работ по гомологической теории размерностей Павлу Сергеевичу Александрову присуждена международная премия имени Н.И.Лобачевского.

Трудно переоценить ту роль, которую сыграли П.С.Александров и созданная им научная школа в развитии отечественной математики, в повышении ее международного престижа.