Русский:  ps         Английский:  tex (gzipped)  ps (gzipped)

Abstract. We discuss a notion of integration with respect to the Euler characteristic in the projectivization $\P{\cal O}_{\C^n,0}$ of the ring ${\cal O}_{\C^n,0}$ of germs of functions on C^n$ and show that the Alexander polynomial and the zeta-function of a plane curve singularity can be expressed as certain integrals over $\P{\cal O}_{\C^2,0}$ with respect to the Euler characteristic.

Русский:  tex  ps  zip (zipped ps)           Английский:  tex  ps

Аннотация. Дан обзор результатов и открытых проблем, связанных с такими фундаментальными комбинаторными объектами как многогранники, симплициальные комплексы, кубические комплексы и конфигурации подпространств. Особое внимание уделено симплициальным и кубическим разбиениям многообразий, и в первую очередь, сфер. Изложены важные конструкции, позволяющие исследовать эти объекты средствами коммутативной и гомологической алгебры. В основе предлагаемого подхода ко всему кругу рассматриваемых проблем лежит развиваемая авторами теория момент-угол комплексов. Ключевым в ней является построение по каждому симплициальному комплексу K с m вершинами пространства Z_K с действием m-мерного тора, обладающего специальным биградуированным клеточным разбиением. В рамках этой теории широко известные неособые торические многообразия появляются как фактор-пространства момент-угол комплексов для симплициальных сфер по максимальному свободному действию тора. Показано, что инварианты симплициальных комплексов и связанных с ними комбинаторно-геометрических объектов выражаются в терминах биградуированных колец когомологий соответствующих момент-угол комплексов. Описаны решения ряда известных топологических задач, полученные на основе новых взаимосвязей комбинаторики, геометрии и топологии.

Русский:  ps  zip (zipped ps)
Английский:  ps (gzipped)

Аннотация. Рассмотрена общая задача классификации всех стабильных, ассоциалтивных умножений в теории комплексных кобордизмов. Показано, что эта задача сводится к теории алгебры Хопфа S (алгебры Ландвебера-Новикова), действующей в двойственной алгебре Хопфа S* с выделенной "топологически целочисленной" частью \Lambda\subset S*, которая соответствует алгебре комплексных кобордизмов точки. В терминах представлений алгебры S построена формальная группа и ее логарифм. Введено понятие одномерного представления алгебры Хопфа. Приведено ряд примеров таких представлений, подсказанных известными топологическими и алгебраическими результатами. Введены и изучены операторы разностной производной в коммутативном, ассоциативном кольце без делителей нуля. Описан ряд важных примеров операторов разностной производной, естественно возникших в задачах анализа, теории представлений и некоммутативной алгебры. Особое внимание уделено операторам деления на необратимый элемент кольца. Дано несколько конструкций новых ассоциативных умножений (в том числе и некоммутативных) при помощи операторов разностной производной. В качестве приложений описаны классы новых ассоциативных умножений в теории комплексных кобордизмов.

Английский:  tex  ps

Abstract. An n-dimensional polytope Pⁿ is called simple if exactly n codimension-one faces meet at each vertex. The lattice of faces of a simple polytope Pⁿ with m codimension-one faces defines an arrangement of coordinate subspaces in C^m. The group R^m-n acts on the complement of this arrangement by dilations. The corresponding quotient is a smooth manifold Z_P invested with a canonical action of the compact torus T^m with the orbit space Pⁿ. For each smooth projective toric variety M²ⁿ defined by a simple polytope Pⁿ with the given lattice of faces there exists a subgroup T^m-n\subset T^m acting freely on Z_P such that Z_P/T^m-n=M²ⁿ. We calculate the cohomology ring of Z_P and show that it is isomorphic to the cohomology of the Stanley-Reisner ring of Pⁿ regarded as a module over the polynomial ring. In this way the cohomology of Z_P acquires a bigraded algebra structure, and the additional grading allows to catch combinatorial invariants of the polytope. At the same time this gives an example of explicit calculation of the cohomology ring for the complement of a subspace arrangement defined by simple polytope, which is of independent interest.

Английский: tex ps

Abstract. We extend work of Davis and Januszkiewicz by considering omnioriented toric manifolds, whose canonical codimension-2 submanifolds are independently oriented. We show that each omniorientation induces a canonical stably complex structure, which is respected by the torus action and so defines an element of an equivariant cobordism ring. As an application, we compute the complex bordism groups and cobordism ring of an arbitrary omnioriented toric manifold. We consider a family of examples B_i,j, which are toric manifolds over products of simplices, and verify that their natural stably complex structure is induced by an omniorientation. Studying connected sums of products of the B_i,j allows us to deduce that every complex cobordism class of dimension >2 contains a toric manifold, necessarily connected, and so provides a positive answer to the toric analogue of Hirzebruch's famous question for algebraic varieties. In previous work, we dealt only with disjoint unions, and ignored the relationship between the stably complex structure and the action of the torus. In passing, we introduce a notion of connected sum # for simple n-dimensional polytopes; when Pⁿ is a product of simplices, we describe Pⁿ#Qⁿ by applying an appropriate sequence of pruning operators, or hyperplane cuts, to Qⁿ.

Русский:  tex  ps        Английский:  tex  ps

Аннотация. Квазиторическое многообразие представляет собой гладкое 2n-многообразие M²ⁿ с действием компактного тора Tⁿ, причем действие локально изоморфно стандартному действию Tⁿ на Cⁿ, а пространство орбит диффеоморфно, как многообразие с углами, некоторому простому многограннику Pⁿ. Название объясняется тем, что по своим топологическим и комбинаторным свойствам квазиторические многообразия аналогичны неособым алгебраическим торическим многообразиям. В отличие от торических многообразий квазиторические многообразия могут не быть комплексными, однако, они всегда допускают стабильно (или слабо почти) комплексную структуру, и их классы кобордизмов порождают кольцо комплексных кобордизмов. Как было недавно показано В.М.Бухштабером и Н.Рэем, стабильно комплексная структура на квазиторическом многообразии определяется в чисто комбинаторных терминах, а именно, ориентацией многогранника и функцией на множестве его гиперграней, принимающей значения в примитивных векторах целочисленной решетки. Мы вычисляем x_y-род квазиторического многообразия с фиксированной стабильно комплексной структурой в терминах соответствующих комбинаторных данных. В частности, приводятся явные формулы для классического рода Тодда и сигнатуры. Мы также связываем наши результаты с известными фактами из теории торических многообразий

Русский:  ps      Английский:  tex

Русский:  ps     Английский:  tex  ps

Аннотация. В работе построена теория индексов векторных полей Морса-Ботта на многообразии и на ее основе решена известная задача о локализации трансфера гладких расслоений. В качестве следствия получены теоремы сложения для классов Понтрягина вещественных векторных расслоений в кобордизмах. Это позволило завершить построение теории характеристических классов, начатое более двадцати лет назад.

Русский:  ps

Русский:  tex  ps         Английский:  tex  ps

Русский:  tex  ps              Английский:  tex  ps

Аннотация. Мы показываем, что алгебра когомологий дополнения конфигурации координатных подпространств в m-мерном комплексном пространстве изоморфна алгебре когомологий кольца Стэнли-Райснера (кольца граней) некоторого симплициального комплекса на множестве из m вершин (кольцо граней рассматривается как модуль над кольцом многочленов от m переменных). Далее мы вычисляем эту алгебру когомологий при помощи стандартной резольвенты Кошуля для кольца многочленов. Для доказательства этих фактов мы строим эквивариантную относительно действий тора гомотопическую эквивалентность между дополнением конфигурации координатных подпространств и момент-угол-комплексом, определяемым симплициальным комплексом. Момент-угол комплекс -- это некоторое подмножество единичного поли-диска в m-мерном комплексном пространстве, инвариантное относительно действия m-мерного тора. Этот комплекс является гладким многообразием при условии, что симплициальный комплекс является симплициальной сферой, но в общем случае имеет более сложную структуру. Затем мы исследуем эквивариантную топологию момент-угол комплекса и применяем спектральную последовательность Эйленберга-Мура. Также описаны условия при которых наши результаты переходят в известные результаты о торических и симплектических многообразиях.

Русский:  ps

English:  tex (gzipped)  ps (gzipped)

Abstract.  We review basic ideas and basic examples of the theory of the inverse spectral problems.

Русский:  ps

Русский:  ps  zip (zipped ps)

English:  tex (gzipped)  ps (gzipped)

Abstract. We consider nonlocal field-theoretical Poisson brackets containing the operator of integration in the nonlocal part. The main attention is given to the nonlocal brackets of Hydrodynamic Type for which we introduce the Physical and Canonical forms. We use the Canonical form of these brackets for the investigation of a Poisson structure on the loop spaces defined by the corresponding pseudo-differential expression.

English:  tex (gzipped)  ps (gzipped)

Abstract. Let $A$ be a separable $C^*$-algebra and let $B$ be a stable $C^*$-algebra with a strictly positive element. We consider the (semi)group $\Ext^{as}(A,B)$ (resp. $\Ext(A,B)$) of homotopy classes of asymptotic (resp. of genuine) homomorphisms from $A$ to the corona algebra $M(B)/B$ and the natural map $i:\Ext(A,B)\ar\Ext^{as}(A,B)$. We show that if $A$ is a suspension then $\Ext^{as}(A,B)$ coincides with $E$-theory of Connes and Higson and the map $i$ is surjective. In particular any asymptotic homomorphism from $SA$ to $M(B)/B$ is homotopic to some genuine homomorphism.

English:  tex (gzipped)  ps (gzipped)

Abstract. Let $A$ be a separable $C^*$-algebra and $B$ a stable $C^*$-algebra containing a strictly positive element. We show that the group $\Ext(SA,B)$ of unitary equivalence classes of extensions of $SA$ by $B$, modulo the extensions which are asymptotically split, coincides with the group of homotopy classes of such extensions. This is done by proving that the Connes-Higson construction gives rise to an isomorphism between $\Ext(SA,B)$ and the $E$-theory group $E(A,B)$ of homotopy classes of asymptotic homomorphisms from $S^2A$ to $B$.

Русский: ps

Аннотация. Показано, что E- теория Конна-Хигсона может быть определена в терминах расширений С*- алгебр аналогично тому, как определяется KK- теория Каспарова. Отличие заключается в том, что вместо расщепимых расширений следует рассматривать асимптотически расщепимые. Расширения C*- алгебры A стабильной C*- алгеброй B  называется асимптотически расщепимым, если существует асимптотический гомоморфизм, состоящий из правых обратных к гомоморфизму факторизации. Расширения называется полуобратимым, если оно может стать асимптотически расщепимым после прибавления к нему некоторого другого расширения. Основной результат статьи -- доказательство существования взаимно-однозначного соответствия между асимптотическими гомоморфизмами из SA в B и гомотопическими классами полуобратимых расширений S²A алгеброй B.