\documentclass[9pt]{amsart}
\usepackage{russcorr,amsmath,amssymb,amsthm}
\frenchspacing
\emergencystretch=5pt
\tolerance=400
\unitlength=1mm

\newtheorem{formula}{}
\newtheorem{corollary}[formula]{Следствие}
\newtheorem{lemma}[formula]{Лемма}
\newtheorem{theorem}[formula]{Теорема}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[formula]{Определение}

\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\renewcommand{\k}{\mathbf k}

\newcommand{\bideg}{\mathop{\rm bideg}}
\newcommand{\cc}{\mathop{\rm cc}}
\newcommand{\cub}{\mathop{\rm cub}}
\newcommand{\Tor}{\mathop{\rm Tor}\nolimits}
\newcommand{\cone}{\mathop{\rm cone}}
\newcommand{\ma}{\mathop{\rm ma}}
\newcommand{\zk}{\mathcal Z_K}
\newcommand{\wk}{\mathcal W_K}


\begin{document}

\title[Момент-угол комплексы и симплициальные многообразия]
{Момент-угол комплексы и комбинаторика симплициальных многообразий}
\author{В.\,М. Бухштабер, Т.\,Е. Панов}
\thanks{Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант \номер 99-01-00090).}
\address{Московский Государственный университет}
\email{buchstab@mech.math.msu.su \quad tpanov@mech.math.msu.su}

\maketitle

Пусть $\rho:(D^2)^m\to I^m$~-- проекция на пространство орбит для
диагонального действия тора $T^m$ на единичном полидиске
$(D^2)^m\subset\C^m$. Каждая грань куба $I^m=[0,1]^m$, рассматриваемого как
кубический комплекс, имеет вид
$$
  F_{I\subset J}=\{(y_1,\ldots,y_m)\in I^m\: : \: y_i=0\text{ при }i\in
  I,\; y_j=1\text{ при }j\notin J\},
$$
где $I\subset J$ два подмножества множества $[m]=\{1,\ldots,m\}$. Для каждой
грани $F_{I\subset J}$ положим $B_{I\subset J}:=\rho^{-1}(F_{I\subset J})$.
Если $\#I=i$, $\#J=j$, то $B_{I\subset J}\cong(D^2)^{j-i}\times T^{m-j}$.
\begin{definition}
\label{ma}
  Пусть $C$ -- некоторый кубический подкомплекс в $I^m$. {\it Момент-угол
  комплексом} $\ma(C)$ называется разбиение $T^m$-инвариантного подмножества
  $\rho^{-1}(C)\subset(D^2)^m$ на блоки $B_{I\subset J}$, соответствующие
  граням $F_{I\subset J}$ комплекса $C$.
\end{definition}
Изучение эквивариантной топологии момент-угол комплексов позволяет решать
задачи комбинаторики кубических разбиений. В настоящей работе мы
демонстрируем возможности такого подхода в случае кубических разбиений,
определяемых симплициальными комплексами. Пусть $K^{n-1}$~-- $(n-1)$-мерный
симплициальный комплекс с $m$ вершинами и $|K|$~-- соответствующий полиэдр.
Если $I=\{i_1,\ldots,i_k\}\subset[m]$ является симплексом $K$, то мы будем
писать $I\in K$. Введем два канонических кубических подкомплекса в $I^m$:
$$
  \cub(K)=\{ F_{I\subset J}\::\:J\in K, I\ne\varnothing \},
  \quad \cc(K)=\{ F_{I\subset J}\::\:J\in K\}.
$$
\begin{lemma}
  Как топологическое пространство, комплекс $\cub(K)$ гомеоморфен $|K|$, а
  $\cc(K)$ гомеоморфен конусу $|\cone(K)|$.
\end{lemma}
Кубический комплекс $\cc(K)$ был введен в~\cite{BP1} и затем изучался
в~\cite{BP2}. Кубический комплекс $\cub(K)$ появился в~\cite{SS}.

\medskip

\centerline{
\begin{picture}(30,20)
  \put(15,10){\oval(20,20)}
  \put(25,10){\circle*{1}}
  \put(2,7){\small $T$}
  \put(26,7){\small 1}
  \put(9,13){\small $D$}
  \put(-4,8){а)}
\end{picture}
\qquad\qquad\qquad
\begin{picture}(30,20)
  \put(15,10){\oval(20,20)}
  \put(25,10){\circle*{1}}
  \put(15,10){\circle*{1}}
  \put(15,10){\line(1,0){10}}
  \put(2,7){\small $T$}
  \put(26,7){\small 1}
  \put(13,7){\small 0}
  \put(19,11){\small $I$}
  \put(9,13){\small $D$}
  \put(-4,8){б)}
\end{picture}
}

Обозначим момент-угол комплексы, соответствующие $\cub(K)$ и $\cc(K)$ через
$\wk$ и $\zk$ соответственно. Фиксируем клеточное разбиение полидиска
$(D^2)^m$, при котором каждый $D^2$ представляется в виде объединения
0-мерной клетки $1$, 1-мерной клетки $T$ и 2-мерной клетки $D$ (см.~рис.~а)).
Каждая клетка в $(D^2)^m$ представляется в виде произведения клеток $D_i$,
$T_i$, $1_i$, $i=1,\ldots,m$, т.е. имеет вид $D_IT_J1_{[m]\setminus I\cup
J}$, где $I,J$~-- попарно непересекающиеся подмножества $[m]$. Положим
$D_IT_J:=D_IT_J1_{[m]\setminus I\cup J}$. При этом $\zk$ является клеточным
подкомплексом в $(D^2)^m$, состоящим из всех клеток $D_IT_J$, для которых
$I\in K$.

\begin{lemma}
  Вложение $T^m=\rho^{-1}(1,\ldots,1)\hookrightarrow\zk$ является клеточным
  отображением, гомотопным отображению в точку.
\end{lemma}

Как показано в~\cite{BP2}, для произвольного поля $\k$ имеет место изоморфизм
алгебр:
\begin{equation}
\label{toralg}
  H^{*}(\zk)\cong\Tor_{\k[v_1,\ldots,v_m]}(\k(K),\k)
  \cong H^{*}[\k(K)\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_m],d],
\end{equation}
где $\k(K)$~-- кольцо Стенли--Райснера комплекса $K$, а дифференциал $d$
определяется как $d(v_i)=0$, $d(u_i)=v_i$, $i=1,\ldots,m$. $\Tor$-алгебра
из~(\ref{toralg}) естественным образом является {\it биградуированной},
причем $\bideg(v_i)=(0,2)$, $\bideg(u_i)=(-1,2)$. Вычисление кольца
$H^{*}(\zk)$ позволило решить задачу описания мультипликативной структуры
когомологий дополнения конфигурации координатных подпространств в
$\C^m$~\cite{BP2}.

В~\cite{BP1} был введен подкомплекс $\mathcal C^{*}(K)\subset
\k(K)\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_m]$, порожденный мономами $u_J$ и $v_Iu_J$,
для которых $I\cap J=\varnothing$, $I\in K$, и показано, что когомологии
$\mathcal C^{*}(K)$ также совпадают с когомологиями $\zk$.  Обозначим через
$\mathcal C_{*}(\zk)$ и $\mathcal C^{*}(\zk)$ соответственно цепной и
коцепной комплексы клеточного разбиения $\zk$ типа~а).
\begin{theorem}
\label{hom}
  Пусть $(D_IT_J)^{*}\in\mathcal C^{*}(\zk)$~-- клеточная коцепь,
  двойственная клетке $D_IT_J\in\zk$. Соответствие
  $v_Iu_J\mapsto(D_IT_J)^{*}$ устанавливает канонический изоморфизм
  комплексов $\mathcal C^{*}(K)$ и $\mathcal C^{*}(\zk)$, каждый из которых
  вычисляет $H^{*}(\zk)$.
\end{theorem}

Пара $(\zk,T^m)$ приобретает биградуированную клеточную структуру, где
$\bideg(D_i)=(0,2)$, $\bideg(T^i)=(-1,2)$. Пусть $b_{-q,2p}(\zk,T^m)=\dim
H_{-q,2p}[\mathcal C_{*}(\zk,T^m)]$. Фиксируем новое клеточное разбиение
полидиска $(D^2)^m$, при котором каждый диск $D^2$ разбивается на 5 клеток
$D$, $T$, $I$, 1, 0 (см.~рис.~б)). Это позволяет ввести на $\wk$
биградуированную клеточную структуру и определить числа $b_{q,2p}(\wk)=\dim
H_{q,2p}[\mathcal C_{*}(\wk)]$. Положим
$$
  \chi(\zk,T^m;t)=\sum_{p,q}(-1)^qb_{-q,2p}(\zk,T^m)t^{2p},\quad
  \chi(\wk;t)=\sum_{p,q}(-1)^qb_{q,2p}(\wk)t^{2p}.
$$

Пусть $f_i$~-- число $i$-симплексов комплекса $K$ и $(h_0,\ldots,h_n)$~--
$h$-{\it вектор}, определяемый из соотношения
$h_0t^n+\ldots+h_{n-1}t+h_n=(t-1)^n+f_0(t-1)^{n-1}+\ldots+f_{n-1}$.
\begin{theorem}
\label{chi}
Положим $h(t)=h_0+h_1t+\cdots+h_nt^n$. Тогда
$$
\begin{aligned}
  \chi(\zk;T^m,t)&=(1-t^2)^{m-n}h(t^2)-(1-t^2)^m,\\
  \chi(\wk;t)&=(1-t^2)^{m-n}h(t^2)+(-1)^{n-1}h_n(1-t^2)^m.
\end{aligned}
$$
\end{theorem}
\begin{lemma}
  Если $|K|\cong S^{n-1}$, то $\zk$ является замкнутым многообразием.
\end{lemma}
Пусть теперь $K^{n-1}$~-- симплициальное многообразие. Тогда комплекс $\zk$,
вообще говоря, не является многообразием, но удаляя малую окрестность
$U_\varepsilon(T^m)$ орбиты $\rho^{-1}(1,\ldots,1)\cong T^m$, мы получаем
многообразие $W_K=\zk\setminus U_\varepsilon(T^m)$ с краем $\partial
W_K=|K|\times T^m$.
\begin{theorem}
  Многообразие с краем $W_K$ эквивариантно гомотопически эквивалентно
  комплексу $\wk$. Имеет место гомеоморфизм пар $(W_K,\partial
  W_K)\to(\zk,T^m)$.
\end{theorem}
Из относительной двойственности Пуанкаре для $W_K$ вытекает соотношение
$\chi(\wk;t)=(-1)^{m-n}t^{2m}\chi(\zk,T^m;\textstyle\frac1t)$.  Отсюда и из
теоремы~\ref{chi} получаем
\begin{corollary}
\label{DSman}
  Пусть~$K^{n-1}$~-- симплициальное многообразие. Тогда
  $$
    h_{n-i}-h_i=(-1)^i(h_n-1){\textstyle\binom ni}
    =(-1)^i\bigl(\chi(K^{n-1})-\chi(S^{n-1})\bigr)
    {\textstyle\binom ni},\quad i=0,1,\ldots,n.
  $$
\end{corollary}
Записав соотношения~(\ref{DSman}) в терминах $f$-вектора, мы приходим к более
сложным соотношениям, полученным в~\cite{CY}, \cite{Kl}. При $|K|=S^{n-1}$
следствие~\ref{DSman} дает классические соотношения Дена--Соммервилля.  Для
случая PL-многообразий топологическая инвариантность чисел $h_{n-i}-h_i$,
вытекающая из следствия~\ref{DSman}, была установлена в~\cite[(7.11)]{Pa}.

Детальное изложение результатов см. в {\tt
http://xxx.lanl.gov/abs/math.AT/0005199}.  Авторы выражают благодарность
О.\,Р.~Мусину который в ходе полезных обсуждений результатов работы обратил
наше внимание на работы~\cite{CY}, \cite{Pa}.

\begin{thebibliography}{BP2}

\bibitem{BP1}
В.\,М.~Бухштабер, Т.\,Е.~Панов.
Труды МИРАН. 1999. Т.~225. С.~96--131.

\bibitem{BP2}
В.\,М.~Бухштабер, Т.\,Е.~Панов.
Записки научных семинаров ПОМИ. 2000. Т.~266.
С.~29--50.

\bibitem{SS}
М.\,А.~Штанько, М.\,И.~Штогрин.
УМН. 1992. Т.~47. N~1. С.~219--220.

\bibitem{CY}
B.~Chen, M.~Yan.
Труды МИРАН. 1998. Т.~221. С.~305--319.

\bibitem{Kl}
V.~Klee.
Canadian J. Math. 1964. Т.~16. P.~517--531.

\bibitem{Pa}
U.~Pachner,
European J. Combinatorics. 1991. Т.~12. P.~129--145.

\end{thebibliography}

\end{document}