\documentclass[11pt,a4paper]{amsart} \usepackage{amsmath,amssymb,amscd,amsthm} \frenchspacing \emergencystretch=5pt \voffset=-9mm \tolerance=400 \unitlength=1mm \newtheorem{formula}{}[section] \newtheorem{proposition}[formula]{Предложение} \newtheorem{corollary}[formula]{Следствие} \newtheorem{lemma}[formula]{Лемма} \newtheorem{theorem}[formula]{Теорема} \theoremstyle{definition} \newtheorem{definition}[formula]{Определение} \newtheorem{example}[formula]{Пример} \theoremstyle{remark} \newtheorem*{remark}{Замечание} \newcommand{\D}{\Delta} \renewcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\f}{\varphi} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \renewcommand{\k}{\mathbf k} \renewcommand{\le}{\leqslant} \renewcommand{\ge}{\geqslant} \renewcommand{\proofname}{Доказательство} \newcommand{\bideg}{\mathop{\rm bideg}} \newcommand{\Tor}{\mathop{\rm Tor}\nolimits} \newcommand{\tbtk}{\widetilde{B_TK}} \newcommand{\zk}{\mathcal Z_K} \newcommand{\ep}{\nolinebreak\hfill$\square$} \begin{document} \title[Конфигурации координатных подпространств] {Действия тора, эквивариантные момент-угол-комплексы и конфигурации координатных подпространств} \author{В.\,М. Бухштабер, Т.\,Е. Панов} \thanks{Работа поддержана РФФИ, грант \номер~99-01-00090, и INTAS, грант \номер~96-0770.} \subjclass{55N91, 05B35 (Primary) 13D03 (Secondary)} \address{Механико-математический факультет МГУ, Москва 119899, Россия} \email{tpanov@mech.math.msu.su \quad buchstab@mech.math.msu.su} \begin{abstract} Мы показываем, что алгебра когомологий дополнения конфигурации координатных подпространств в $m$-мерном комплексном пространстве изоморфна алгебре когомологий кольца Стэнли--Райснера (кольца граней) некоторого специального симплициального комплекса на множестве из $m$ вершин (кольцо граней рассматривается как модуль над кольцом многочленов от $m$ переменных). Далее мы вычисляем эту алгебру когомологий при помощи стандартной резольвенты Кошуля для кольца многочленов. Для доказательства этих фактов мы строим эквивариантную относительно действий тора гомотопическую эквивалентность между дополнением конфигурации координатных подпространств и момент-угол-комплексом, определяемым симплициальным комплексом. Момент-угол-комплекс~--- это некоторое подмножество единичного поли-диска в $m$-мерном комплексном пространстве, инвариантное относительно действия $m$-мерного тора. Этот комплекс является гладким многообразием при условии, что симплициальный комплекс является симплициальной сферой, но в общем случае имеет более сложную структуру. Затем мы исследуем эквивариантную топологию момент-угол-комплекса и применяем спектральную последовательность Эйленберга--Мура. Также описаны условия при которых наши результаты переходят в известные результаты о торических и симплектических многообразиях. \end{abstract} \maketitle \section{Введение} В данной работе мы применяем результаты нашей предыдущей статьи~\cite{BP2} для описания топологии дополнений конфигураций комплексных координатных подпространств. Конфигурация координатных подпространств $\mathcal A$ (или просто координатная конфигурация)~--- это некоторое множество координатных подпространств $L$ комплексного пространства $\C^m$, а ее дополнение~--- это множество $U(\mathcal A)=\C^m\setminus\bigcup_{L\in\mathcal A}L$. Дополнение $U(\mathcal A)$ всегда представляется в виде $U(\mathcal A)=U(\mathcal A')\times(\C^{*})^k$, где $\mathcal A'$~--- координатная конфигурация в $\C^{m-k}$, не содержащая гиперплоскостей. Имеется взаимно-однозначное соответствие между конфигурациями координатных подпространств в $\C^m$ без гиперплоскостей и симплициальными комплексами на $m$ вершинах $v_1,\ldots,v_m$: каждая конфигурация $\mathcal A$ определяет симплициальный комплекс $K(\mathcal A)$ и наоборот. А именно, пусть $|\mathcal A|$ обозначает носитель $\bigcup_{L\in\mathcal A}L$ координатной конфигурации $\mathcal A$; тогда подмножество $v_I=\{v_{i_1},\ldots,v_{i_k}\}$ является $(k-1)$-симплексом комплекса $K(\mathcal A)$ тогда и только тогда, когда $(m-k)$-мерное координатное подпространство $L_I\subset\C^m$, задаваемое уравнениями $z_{i_1}=\ldots=z_{i_k}=0$, не принадлежит $|\mathcal A|$. Конфигурация $\mathcal A$ очевидным образом восстанавливается из ее симплициального комплекса $K(\mathcal A)$; поэтому в нашей работе мы используем обозначение $U(K)$ вместо $U\bigl(\mathcal A(K)\bigr)$ (более подробная информация о связи координатных конфигураций и симплициальных комплексов приводится в начале раздела~2). Конфигурации подпространств и их дополнения играют ключевую роль во многих конструкциях комбинаторики, алгебраической и симплектической геометрии, механики и т.д.; они также возникают как конфигурационные пространства различных классических систем. В~связи с этим топология дополнений конфигураций привлекала многих математиков на протяжении последних двух десятилетий. Первые важные результаты здесь связаны с конфигурациями гиперплоскостей (не обязательно координатных) в $\C^m$. Арнольдом~\cite{Ar} и Брискорном~\cite{Br} было показано, что алгебра когомологий соответствующего дополнения $U(\mathcal A)$ изоморфна алгебре дифференциальных форм, порожденной замкнутыми формами $\frac1{2\pi i}\frac{dF_A}{F_A}$, где $F_{A}$~--- линейная форма, задающая гиперплоскость $A$, принадлежащую конфигурации. Орлик и Соломон~\cite{OS} доказали, что алгебра когомологий дополнения конфигурации гиперплоскостей зависит только от комбинаторики пересечений гиперплоскостей и представили $H^{*}\bigl(U(\mathcal A)\bigr)$ в виде образующих и соотношений. В~общей ситуации имеется теорема Горески--Макферсона~\cite[Часть~III]{GM}, выражающая группы когомологий $H^{i}\bigl(U(\mathcal A)\bigr)$ (без кольцевой структуры) как сумму групп гомологий подкомплексов некоторого симплициального комплекса. Этот комплекс, называемый {\it порядковым} (или {\it флаговым}) комплексом, определяется в терминах комбинаторики пересечений подпространств из $\mathcal A$. Доказательство этого результата использует методы стратифицированной теории Морса, развитые в~\cite{GM}. Другой способ описания алгебры когомологий дополнения конфигурации подпространств был недавно предложен де Кончини и Прочези~\cite{dCP}. Они доказали, что рациональное кольцо когомологий дополнения $U(\mathcal A)$ также определяется комбинаторикой пересечений. Эти результаты были развиты Юзвинским в~\cite{Yu}. В случае конфигураций координатных подпространств порядковый комплекс является барицентрическим подразделением некоторого симплициального комплекса $\tilde K$, а слагаемые в формуле Горески--Макферсона являются группами гомологий линков симплексов из $\tilde K$. Комплекс $\tilde K$ имеет то же множество вершин $v_1,\ldots,v_m$, что и наш симплициальный комплекс $K$, и ``двойственен" последнему в следующем смысле: множество $v_I=\{v_{i_1},\ldots,v_{i_k}\}$ порождает симплекс комплекса $\tilde K$ если и только если дополнение $\{v_1,\ldots,v_m\}\setminus v_I$ не порождает симплекс $K$. Операция умножения классов когомологий дополнения конфигурации координатных подпространств была описана в~\cite{dL} в комбинаторных терминах при помощи комплекса $\tilde K$ и описанной выше интерпретации формулы Горески--Макферсона. В нашей работе мы предпочитаем использовать для описания координатной конфигурации симплициальный комплекс $K$ вместо $\tilde K$, так как такой подход раскрывает новые взаимосвязи топологии дополнений конфигураций подпространств с коммутативной алгеброй и геометрией {\it торических многообразий}. Мы показываем, что дополнение $U(K)$ гомотопически эквивалентно так называемому {\it момент-угол-комплексу} $\zk$, определяемому симплициальным комплексом $K$. Комплекс $\zk$ представляет собой компактное подмножество единичного поли-диска $(D^2)^m\subset\C^m$, инвариантное относительно стандартного действия тора $T^m$ на $(D^2)^m$. В то же время, $\zk$ является гомотопическим слоем клеточного вложения $i:\tbtk\hookrightarrow BT^m$, где $BT^m$~--- классифицирующее пространство для тора $T^m$ со стандартной клеточной структурой, а $\tbtk$~--- клеточный подкомплекс, когомологии которого изоморфны {\it кольцу Стэнли--Райснера} (также известному как {\it кольцо граней}) $\k(K)$ симплициального комплекса $K$. Затем мы вычисляем алгебру когомологий $\zk$ (или $U(K)$) при помощи спектральной последовательности Эйленберга--Мура. В качестве результата мы получаем алгебраическое описание алгебры когомологий $U(K)$ как биградуированной алгебры когомологий $\Tor_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr)$ кольца граней $\k(K)$. При помощи стандартной резольвенты Кошуля последняя алгебра может быть выражена как алгебра когомологий дифференциальной биградуированной алгебры $\k(K)\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_m]$, где $\Lambda[u_1,\ldots,u_m]$~--- внешняя алгебра, а дифференциал отображает внешнюю образующую $u_i$ в $v_i\in\k(K)=\k[v_1,\ldots,v_m]/I$. Рациональные модели де Кончини и Прочези~\cite{dCP} и Юзвинского~\cite{Yu} можно также интерпретировать как приложение резольвенты Кошуля к когомологиям дополнений конфигураций подпространств, однако роль кольца граней стала ясна лишь после нашей работы~\cite{BP2}. В случае, когда $K$ является $(n-1)$-мерной симплициальной сферой (например, если $K$ является граничным комплексом $n$-мерного выпуклого симплициального многогранника), наш момент-угол-комплекс $\zk$ оказывается гладким $(m+n)$-мерным многообразием (таким образом, $U(K)$ имеет гомотопический тип гладкого многообразия). Этот важный частный случай наших конструкций был подробно изучен в работах~\cite{BP1}, \cite{BP2}. Топологические свойства таких многообразий $\zk$ представляют большой интерес благодаря их взаимосвязям с комбинаторикой многогранников, симплектической геометрией и геометрией торических многообразий; последний момент был отправной точкой в нашем изучении конфигураций координатных подпространств. Классическое определение торических многообразий (см.~\cite{Da}, \cite{Fu}) основано на комбинаторном понятии {\it веера}. Однако, как недавно было показано несколькими авторами (см., например,~\cite{Au}, \cite{Ba}, \cite{Co}), в случае когда веер, определяющий торическое многообразие $M$ является симплициальным, $M$ можно также определять как геометрический фактор дополнения $U(K)$ относительно некоторого действия алгебраического тора $(\C^{*})^{m-n}$ (здесь $K$~--- симплициальный комплекс, определяемый веером). Наше момент-угол-многообразие $\zk$ представляет собой прообраз регулярной точки в образе отображения моментов $U(K)\to\R^{m-n}$ для гамильтонова действия компактного тора $T^{m-n}\subset(\C^{*})^{m-n}$. В работе~\cite{DJ} Дэвисом и Янушкевичем было введено понятие квазиторического многообразия (также известного как унитарное торическое многообразие), которое можно рассматривать как естественное топологическое обобщение понятия гладкого торического многообразия. Квазиторичекое многообразие $M^{2n}$ допускает гладкое действие тора $T^n$, которое локально выглядит как стандартное действие $T^n$ на $\C^n$; при этом требуется, чтобы пространство орбит являлось $n$-мерным шаром, снабженным комбинаторной структурой простого выпуклого многогранника при помощи множеств неподвижных точек соответствующих подторов. Квазиторические многообразия обладают замечательными топологическими, геометрическими и комбинаторными свойствами; после пионерской работы~\cite{DJ} многочисленные новые взаимосвязи были обнаружены различными авторами (см.~\cite{BR1}, \cite{BR2}, \cite{BP1}, \cite{BP2}, \cite{Pa1}, \cite{Pa2}, и дополнительные ссылки в этих работах). Комплекс, двойственный к граничному комплексу простого многогранника в пространстве орбит квазиторического многообразия, является симплициальной сферой. Поэтому многие результаты настоящей работы можно рассматривать как обобщение наших предыдущих конструкций с симплициальными сферами на случай общих симплициальных комплексов. Отметим также, что некоторые наши определения и конструкции (например, конструкция Бореля $B_TP$) впервые появились в работе~\cite{DJ} в том или ином виде; в таких случаях мы старались сохранить изначальные обозначения. Авторы выражают особую благодарность Найджелу Рэю за стимулирующие обсуждения и плодотворное сотрудничество, которые вдохновили некоторые идеи и конструкции из нашей работы. Мы также благодарны Наталье Добринской, которая обратила наше внимание на работу~\cite{Ba}, открывающую некоторые взаимосвязи между торическими многообразиями и конфигурациями координатных подпространств, и Сергею Юзвинскому, который указал нам на результаты препринта~\cite{dL}. \section{Гомотопическая реализация дополнения конфигурации координатных подпространств} Пусть $\C^m$~--- комплексное $m$-мерное пространство с координатами $z_1,\ldots,z_m$. Для любого подмножества индексов $I=\{i_1,\ldots,i_k\}$ обозначим через $L_I$ $(m-k)$-мерное координатное подпространство, задаваемое уравнениями $z_{i_1}=\ldots=z_{i_k}=0$. Заметим, что $L_{\{1,\ldots,m\}}=\{0\}$ и $L_{\varnothing}=\C^m$. \begin{definition} \sloppy {\it Конфигурацией координатных подпространств} (или {\it координатной конфигурацией\/}) $\mathcal A$ называется произвольное множество координатных подпространств $L_I$. {\it Дополнением} конфигурации $\mathcal A$ называется подмножество $$ U(\mathcal A)=\C^m\setminus\bigcup_{L_I\in\mathcal A}L_I\subset\C^m. $$ \end{definition} В дальнейшем мы будем различать координатную конфигурацию $\mathcal A$ рассматриваемую как абстрактное множество подпространств и ее носитель $|\mathcal A|$~--- подмножество $\bigcup_{L_I\in\mathcal A}L_I\subset\C^m$. Если $I\subset J$ и $L_I\subset|\mathcal A|$, то $L_J\subset|\mathcal A|$. Если координатная конфигурация $\mathcal A$ содержит гиперплоскость $z_i=0$, то ее дополнение $U(\mathcal A)$ представляется в виде $U(\mathcal A_0)\times\C^{*}$, где $\mathcal A_0$~--- конфигурация координатных подпространств в гиперплоскости $\{z_i=0\}$ и $\C^{*}=\C\setminus\{0\}$. Таким образом, для любой координатной конфигурации $\mathcal A$ ее дополнение $U(\mathcal A)$ представляется в виде $$ U(\mathcal A)=U(\mathcal A')\times(\C^{*})^k, $$ где $\mathcal A'$~--- координатная конфигурация в $\C^{m-k}$, не содержащая гиперплоскостей. С учетом этого замечания мы ограничимся рассмотрением координатных конфигураций, не содержащих гиперплоскостей. Конфигурация координатных подпространств $\mathcal A$ в $\C^m$ (без гиперплоскостей) определяет симплициальный комплекс $K(\mathcal A)$ с $m$ вершинами $v_1,\ldots,v_m$ следующим образом: скажем, что подмножество $v_I=\{v_{i_1},\ldots,v_{i_k}\}$ является $(k-1)$-симплексом комплекса $K(\mathcal A)$, если и только если $L_I\not\subset|\mathcal A|$. \begin{example} 1) Пусть $\mathcal A=\varnothing$; тогда $K(\mathcal A)$ представляет собой $(m-1)$-мерный симплекс $\D^{m-1}$. 2) Пусть $\mathcal A=\{0\}$; тогда $K(\mathcal A)=\partial\D^{m-1}$~--- граница $(m-1)$-симплекса. \end{example} С другой стороны, симплициальный комплекс $K$ на множестве вершин $\{v_1,\ldots,v_m\}$ определяет координатную конфигурацию $\mathcal A(K)$ такую, что $L_I\subset|\mathcal A|$ если и только если $v_I=\{v_{i_1},\ldots,v_{i_k}\}$ не является симплексом $K$. Заметим, что если $K'\subset K$~--- подкомплекс, то $\mathcal A(K)\subset\mathcal A(K')$. Итак, мы имеем обращающее порядок взаимно-однозначное соответствие между симплициальными комплексами на $m$ вершинах и конфигурациями координатных подпространств в $\C^m$ без гиперплоскостей. Обозначим теперь через $U(K)=\C^m\setminus|\mathcal A(K)|$ дополнение координатной конфигурации $\mathcal A(K)$. \begin{example} \label{uk} 1) Пусть $K=\D^{m-1}$ есть $(m-1)$-simplex; тогда $U(K)=\C^m$. 2) Пусть $K=\partial\D^{m-1}$; тогда $U(K)=\C^m\setminus\{0\}$. 3) Пусть $K$ представляет собой несвязное объединение $m$ вершин; тогда $U(K)$ получается удалением из $\C^m$ всех координатных подпространств коразмерности два, т.е. вида $z_i=z_j=0$, $i,j=1,\ldots,m$. \end{example} Пусть теперь $\k$~--- произвольное поле, которое мы будем называть основным полем. Образуем кольцо многочленов $\k[v_1,\ldots,v_m]$, где $v_i$ рассматриваются как переменные. \begin{definition} \label{fr} {\it Кольцом граней\/} (или {\it кольцом Стэнли--Райснера\/}) (обозначается $\k(K)$) симплициального комплекса $K$ называется факторкольцо $\k[v_1,\ldots,v_m]/I$ кольца многочленов, где $$ I=\left(v_{i_1}\cdots v_{i_s}: \{v_{i_1},\ldots,v_{i_s}\}\; \text{ не порождает симплекс }K \right). $$ \end{definition} Таким образом, кольцо граней является факторкольцом кольца многочленов по некоторому идеалу, порожденному мономами степени $\ge2$, не содержащими квадратов. Мы превратим $\k(K)$ в градуированное кольцо полагая $\deg v_i=2$, $i=1,\ldots,m$. \begin{example} 1) Пусть $K=\D^{m-1}$; тогда $\k(K)=\k[v_1,\ldots,v_m]$. 2) Пусть $K=\partial\D^{m-1}$~--- граничный комплекс $(m-1)$-симплекса; тогда $\k(K)=\k[v_1,\ldots,v_m]/(v_1\cdots v_m)$. \end{example} Компактный тор $T^m$ действует на $\C^m$ диагонально; при этом, так как конфигурация $\mathcal A(K)$ состоит из координатных подпространств, это действие также определено на $U(K)$. Обозначим через $B_TK$ соответствующую конструкцию Бореля: \begin{equation} \label{borel} B_TK=ET^m\times_{T^m}U(K), \end{equation} где $ET^m$~стягиваемое пространство универсального $T^m$-расслоения $ET^m\to BT^m$ над классифицирующим пространством $BT^m=(\C P^{\infty})^m$. Таким образом, $B_TK$ является тотальным пространством расслоения $B_TK\to BT^m$ со слоем $U(K)$. Пространство $BT^m$ имеет каноническое клеточное разбиение (каждый сомножитель $\C P^\infty$ имеет по одной клетке в каждой четной размерности). Для любого множества индексов $I=\{i_1,\ldots,i_k\}$ имеется клеточный подкомплекс $BT^k_I=BT^k_{i_1,\ldots,i_k}\subset BT^m$, гомеоморфный $BT^k$. \begin{definition} \label{tbtk} Для данного симплициального комплекса $K$ с множеством вершин $\{v_1,\ldots,v_m\}$ введем клеточный подкомплекс $\widetilde{B_TK}\subset BT^m$, представляющий собой объединение подкомплексов $BT^k_I$ по всем $I$ таким, что $v_I$ является симплексом $K$. \end{definition} \begin{example} \label{bouquet} Пусть $K$ представляет собой несвязное объединение $m$ вершин $v_1,\ldots,v_m$. Тогда $\widetilde{B_TK}$ есть букет $m$ экземпляров $\C P^{\infty}$. \end{example} Кольцо когомологий пространства $BT^m$ изоморфно кольцу многочленов $\k[v_1,\ldots,v_m]$ (все когомологии рассматриваются с коэффициентами в основном поле~$\k$). \begin{lemma} \label{cohomtbtk} Кольцо когомологий комплекса $\widetilde{B_TK}$ изоморфно кольцу граней $\k(K)$. Вложение $i:\widetilde{B_TK}\hookrightarrow BT^m$ индуцирует проекцию на факторкольцо $i^{*}:\k[v_1,\ldots,v_m]\to\k(K)=\k[v_1,\ldots,v_m]/I$ в когомологиях. \end{lemma} \begin{proof} Доказательство проведем по индукции по числу симплексов $K$. Если $K$ представляет собой несвязное объединение вершин $v_1,\ldots,v_m$, то $\tbtk$ есть букет $m$ экземпляров $\C P^{\infty}$ (см. пример~\ref{bouquet}). В размерности ноль $H^{*}(\tbtk)$ есть просто $\k$, а в размерностях $\ge 1$ это кольцо изоморфно $\k[v_1]\oplus\cdots\oplus\k[v_m]$. Следовательно, $H^{*}(\tbtk)=k[v_1,\ldots,v_m]/I$, где $I$~--- идеал, порожденный всеми мономами степени $\ge 2$ не содержащих квадратов, а $i^{*}$ представляет собой проекцию на факторкольцо. Итак, лемма доказана в случае $\dim K=0$. Предположим теперь, что симплициальный комплекс $K$ получен из симплициального комплекса $K'$ добавлением одного $(k-1)$-мерного симплекса $v_I=\{v_{i_1},\ldots,v_{i_k}\}$. По предположению индукции, лемма выполнена для комплекса $K'$, то есть $i^{*}H^{*}(BT^m)=H^{*}(\widetilde{B_TK'})=\k(K')=\k[v_1,\ldots,v_m]/I'$. В силу определения~\ref{tbtk}, комплекс $\tbtk$ есть объединение комплекса $\widetilde{B_TK'}$ и подкомплекса $BT^k_{i_1,\ldots,i_k}\subset BT^m$. Тогда $H^{*}(\widetilde{B_TK'}\cup BT^k_{i_1,\ldots,i_k})=\k[v_1,\ldots,v_m]/I=\k(K'\cup v_I)$, где идеал $I$ порожден $I'$ и $v_{i_1}v_{i_2}\cdots v_{i_k}$. \end{proof} Пусть $I^m$~--- стандартный $m$-мерный куб в $\R^m$: $$ I^m=\{(y_1,\ldots,y_m)\in\R^m\,:\;0\le y_i\le 1,\,i=1,\ldots,m\}. $$ Симплициальный комплекс $K$ с $m$ вершинами $v_1,\ldots,v_m$ определяет кубический комплекс $\mathcal C_K$, канонически вложенный в граничный комплекс куба $I^m$. \begin{definition} \label{cubcom} Для $(k-1)$-мерного симплекса $v_J=\{v_{j_1},\ldots,v_{j_k}\}$ комплекса $K$ обозначим через $C_J$ грань размерности $k$ куба $I^m$, выделяемую $m-k$ уравнениям $$ y_i=1,\quad i\notin \{j_1,\ldots,j_k\}. $$ Далее, определим кубический подкомплекс $\mathcal C_K\subset I^m$ как объединение граней $C_J$ по всем симплексам $v_J$ комплекса $K$. \end{definition} \begin{remark} Наш кубический подкомплекс $\mathcal C_K\subset I^m$ является геометрической реализацией абстрактного кубического комплекса в конусе над барицентрическим подразделением комплекса $K$ (см.~\cite[p.~434]{DJ}). Действительно, пусть $\D^{m-1}$ есть $(m-1)$-мерный симплекс с множеством вершин $\{v_1,\ldots,v_m\}$, а $\hat\D^{m-1}$~--- барицентрическое подразделение $\D^{m-1}$, то есть вершины $\hat\D^{m-1}$ соответствуют симплексам $v_J\subset\D^{m-1}$. Построим отображение $\iota:\hat\D^{m-1}\to I^m$ следующим образом: отобразим вершину $v_J$ комплекса $\hat\D^{m-1}$ в вершину куба $I^m$ с координатами $y_j=0$ для $j\in J$ и $y_j=1$ для $j\notin J$, а затем продолжим отображение линейно на каждом симплексе комплекса $\hat\D^{m-1}$. Образом $\hat\D^{m-1}$ при этом отображении является объединение граней куба $I^m$, содержащих нуль. Затем построим отображение $C\iota$ из конуса $C\hat\D^{m-1}$ над $\hat\D^{m-1}$ в $I^m$ отправляя вершину конуса в вершину $(1,\ldots,1)$ куба и продолжая линейно на симплексах комплекса $C\hat\D^{m-1}$. Образом $C\hat\D^{m-1}$ при отображении $C\iota$ является весь куб $I^m$. Пусть теперь $K$~--- симплициальный комплекс на множестве вершин $\{v_1,\ldots,v_m\}$. Как только мы зафиксировали нумерацию вершин, мы можем рассматривать $K$ как симплициальный подкомплекс в $\D^{m-1}$. Тогда наш кубический комплекс $\mathcal C_K\subset I^m$ из определения~\ref{cubcom} есть просто образ $C\iota(C\hat K)$ конуса над барицентрическим подразделением комплекса $K$ при отображении $C\iota$. \end{remark} \begin{example} На рис. 1 а) и б) изображен кубический комплекс $\mathcal C_K$ в случаях, когда $K$ есть несвязное объединение 3 вершин и граничный комплекс 2-симплекса соответственно. \begin{figure} \begin{picture}(120,45) \put(15,5){\line(1,0){25}} \put(15,5){\line(0,1){25}} \put(40,5){\line(1,1){10}} \put(50,15){\line(0,1){25}} \put(50,40){\line(-1,0){25}} \put(25,40){\line(-1,-1){10}} \put(40,5){\circle*{2}} \put(40,30){\circle*{2}} \put(15,30){\circle*{2}} \put(50,40){\circle*{2}} \multiput(40,29.3)(0,0.1){16}{\line(1,1){10}} \multiput(25,15)(5,0){5}{\line(1,0){3}} \multiput(25,15)(0,5){5}{\line(0,1){3}} \multiput(25,15)(-5,-5){2}{\line(-1,-1){4}} \put(26,16){$0$} \put(30,0){а)} \put(75,5){\line(1,0){25}} \put(75,5){\line(0,1){25}} \put(100,5){\line(1,1){10}} \put(110,15){\line(0,1){25}} \put(110,40){\line(-1,0){25}} \put(85,40){\line(-1,-1){10}} \put(100,5){\circle*{2}} \put(110,15){\circle*{2}} \put(100,30){\circle*{2}} \put(75,30){\circle*{2}} \put(85,40){\circle*{2}} \put(75,5){\circle*{2}} \put(110,40){\circle*{2}} \multiput(100,29.3)(0,0.1){16}{\line(1,1){10}} \multiput(75,29.3)(0,0.1){16}{\line(1,1){10}} \multiput(100,4.3)(0,0.1){16}{\line(1,1){10}} \multiput(85,15)(5,0){5}{\line(1,0){3}} \multiput(85,15)(0,5){5}{\line(0,1){3}} \multiput(85,15)(-5,-5){2}{\line(-1,-1){4}} \multiput(78,5)(4,0){6}{\line(0,1){25}} \multiput(78,30)(4,0){6}{\line(1,1){10}} \multiput(100,8)(0,4){6}{\line(1,1){10}} \put(86,16){$0$} \put(90,0){б)} \linethickness{1mm} \put(15,30){\line(1,0){25}} \put(40,5){\line(0,1){25}} \put(75,30){\line(1,0){25}} \put(75,5){\line(1,0){25}} \put(85,40){\line(1,0){25}} \put(100,5){\line(0,1){25}} \put(75,5){\line(0,1){25}} \put(110,15){\line(0,1){25}} \end{picture} \caption{Кубический комплекс $\mathcal C_K$.} \end{figure} \end{example} \begin{remark} В случае, когда $K$ является двойственным комплексом к граничному комплексу $n$-мерного простого многогранника $P^n$, кубический комплекс $\mathcal C_K$ совпадает с кубическим разбиением $P^n$, изучавшимся в работе~\cite{BP2}. \end{remark} Пространство орбит диагонального действия тора $T^m$ на $\C^m$ представляет собой положительный конус $$ \R^m_+=\{(y_1,\ldots,y_m)\in\R^m\,:\;y_i\ge 0,\,i=1,\ldots,m\}. $$ Проекция $\C^m\to\R^m_+$ на пространство орбит задается как $(z_1,\ldots,z_m)\to(|z_1|^2,\ldots,|z_m|^2)$. Пространством орбит ограничения этого действия на стандартный поли-диск $$ (D^2)^m=\{(z_1,\ldots,z_m)\in\C^m:\;\:|z_i|\le 1,\,i=1,\ldots,m\}\subset\C^m, $$ является стандартный куб $I^m\subset\R^m_+$. Пусть $U_{\R}(K)\subset\R^m_+$ обозначает пространство орбит $U(K)/T^m$. Заметим, что если мы рассматриваем $\R^m_+$ как подмножество в $\C^m$, то $U_{\R}(K)$ есть просто ``вещественная часть": $U_{\R}(K)=U(K)\cap\R^m_+$. \begin{definition} \label{zk} \sloppy {\it Эквивариантный момент-угол-комплекс} $\zk\subset\C^m$, соответствующий симплициальному комплексу $K$ есть $T^m$-пространство, определяемое из коммутативной диаграммы $$ \begin{CD} \zk @>>> (D^2)^m\\ @VVV @VVV\\ \mathcal C_K @>>> I^m, \end{CD} $$ где правая вертикальная стрелка обозначает проекцию на пространство орбит для диагонального действия тора $T^m$, а нижняя вертикальная стрелка обозначает вложение кубического комплекса $\mathcal C_K$ в $I^m$. \end{definition} \begin{lemma} \label{zu} $\mathcal C_K\subset U_{\R}(K)$ и $\zk\subset U(K)$. \end{lemma} \begin{proof} Определение~\ref{zk} показывает, что второе утверждение следует из первого. Для доказательства первого утверждения заметим, что точка если $a=(y_1,\ldots,y_m)\in\mathcal C_K$ имеет координаты $y_{i_1}=\ldots=y_{i_k}=0$, то $v_I=\{v_{i_1},\ldots,v_{i_k}\}$ является симплексом $K$, следовательно, $L_I\not\subset|\mathcal A(K)|$. \end{proof} \begin{lemma} \label{he1} Дополнение $U(K)$ эквивариантно гомотопически эквивалентно момент-угол-комплексу~$\zk$. \end{lemma} \begin{proof} Мы построим ретракцию $r:U_{\R}(K)\to\mathcal C_K$, которая накрывается эквивариантной ретракцией $U(K)\to\zk$. Последняя ретракция и будет требуемой гомотопической эквивалентностью. Ретракцию $r:U_{\R}(K)\to\mathcal C_K$ будет строить индуктивно, начиная с граничного комплекса $(m-1)$-мерного симплекса и последовательно удаляя симплексы положительной размерности, пока не получим $K$. На каждом шаге мы будем строить некоторую ретракцию, и композиция этих ретракций будет давать требуемую ретракцию~$r$. Если $K=\partial\D^{m-1}$ является граничным комплексом $(m-1)$-симплекса, то $U_{\R}(K)=\R^m_+\setminus\{0\}$ и ретракция $r$ показана на~Рис.~2. \begin{figure} \begin{picture}(120,45) \put(45,5){\circle{2}} \put(80,5){\circle*{2}} \put(45,40){\circle*{2}} \put(80,40){\circle*{2}} \put(46,5){\vector(1,0){24}} \put(46,5){\line(1,0){34}} \put(45.8,5.2){\vector(4,1){24}} \put(45.8,5.2){\line(4,1){34}} \put(45.5,5.5){\vector(2,1){24}} \put(45.5,5.5){\line(2,1){34}} \put(45.8,5.8){\vector(4,3){24}} \put(45.8,5.8){\line(4,3){34}} \put(46,6){\vector(1,1){24}} \put(46,6){\line(1,1){34}} \put(45,6){\vector(0,1){24}} \put(45,6){\line(0,1){34}} \put(45.2,5.8){\vector(1,4){6}} \put(45.2,5.8){\line(1,4){8.5}} \put(45.5,5.5){\vector(1,2){12}} \put(45.5,5.5){\line(1,2){17}} \put(45.8,5.2){\vector(3,4){18}} \put(45.8,5.2){\line(3,4){26}} \linethickness{1mm} \put(80,5){\line(0,1){35}} \put(45,40){\line(1,0){35}} \end{picture} \caption{Ретракция $r:U_{\R}(K)\to\mathcal C_K$ для $K=\partial\D^{m-1}$.} \end{figure} Теперь предположим, что симплициальный комплекс $K$ получен удалением одного $(k-1)$-мерного симплекса $v_J=\{v_{j_1},\ldots,v_{j_k}\}$ из симплициального комплекса~$K'$. По предположению индукции, лемма доказана для $K'$, то есть имеется ретракция $r':U_{\R}(K')\to\mathcal C_{K'}$ с требуемыми свойствами. Рассмотрим грань $C_J\subset I^m$ (см. определение~\ref{cubcom}). Так как $v_J$ не является симплексом $K$, точка $a$ с координатами $y_{j_1}=\ldots=y_{j_k}=0$, $y_i=1$, $i\notin\{j_1,\ldots,j_k\}$, не принадлежит $U(K)$. Поэтому мы можем применить ретракцию изображенную на~Рис.~2 на грани $C_J$ с начальной точкой~$a$. Обозначим эту ретракцию~$r_J$. Положим теперь $r=r_J\circ r'$. Легко проверить, что~$r$ есть в точности требуемая ретракция. \end{proof} \begin{example} \label{zp} 1) Пусть $K=\partial\D^{m-1}$~--- граничный комплекс $(m-1)$-мерного симплекса; тогда $\zk$ гомеоморфно $(2m-1)$-мерной сфере $S^{2m-1}$. 2) Если $K$ является комплексом, двойственным к граничному комплексу $n$-мерного простого многогранника $P^n$, то $\zk$ гомеоморфно гладкому $(m+n)$-мерному многообразию. Это многообразие, обозначаемое $\mathcal Z_P$, является главным объектом исследования в работе~\cite{BP2}. \end{example} \begin{corollary} Конструкция Бореля $ET^m\times_{T^m}\zk$ гомотопически эквивалентна $B_TK$. \end{corollary} \begin{proof} Ретракция $r:U(K)\to\zk$, построенная при доказательстве леммы~\ref{he1}, эквивариантна относительно действий тора $T^m$ на $U(K)$ и $\zk$. Тогда следствие вытекает из определения $B_TK=ET^m\times_{T^m}U(K)$. \end{proof} В дальнейшем мы не будем различать пространства (конструкции Бореля) $ET^m\times_{T^m}\zk$ и $B_TK=ET^m\times_{T^m}U(K)$. \begin{theorem} \label{he2} Клеточное вложение $i:\tbtk\hookrightarrow BT^m$ (см. определение~{\rm\ref{tbtk}}) и расслоение $p:B_TK\to BT^m$ (см.~{\rm (\ref{borel})}) гомотопически эквивалентны. В частности, $\tbtk$ и $B_TK$ имеют один гомотопический тип. \end{theorem} \begin{proof} Пусть $\pi:\zk\to\mathcal C_K$ обозначает проекцию на пространство орбит для действия тора на момент-угол комплексе $\zk$ (см. определение~\ref{zk}). Для каждого подмножества $I=\{i_1,\ldots,i_k\}\subset\{1,\ldots,m\}$ обозначим через $B_I$ следующее подмножество поли-диска $(D^2)^m$: $B_I=B_1\times\cdots\times B_m\subset D^2\times\cdots\times D^2=(D^2)^m$, где $B_i$ есть диск $D^2$ если $i\in I$ и $B_i$ есть граница $S^1$ диска $D^2$ если $i\notin I$. Таким образом, $B_I\cong (D^2)^k\times T^{m-k}$, $k=|I|$. Легко видеть, что если $C_I$ является гранью кубического комплекса $\mathcal C_K$ (см. определение~\ref{cubcom}), то $\pi^{-1}(C_I)=B_I$. Если мы имеем $I\subset J$, то $B_I$ канонически отождествляется с подмножеством $B_J$. Следовательно комплекс $\zk$ склеивается из подмножеств $B_I$, соответствующих симплексам $v_I$ комплекса $K$. (Эта идея может быть также использована для доказательства того факта, что $\zk$ является гладким многообразием при условии, что $K$ является двойственным комплексом к граничному комплексу простого многогранника, см.~\cite[теорема~2.4]{BP2}.) Для каждого симплекса $v_I\subset K$ подмножество $B_I\subset\zk$ инвариантно относительно действия тора $T^m$ на~$\zk$. Следовательно, конструкция Бореля $B_TK=ET^m\times_{T^m}\zk$ также склеивается из конструкций Бореля $ET^m\times_{T^m}B_I$ (сравните это с локальной конструкцией $B_TP$ из~\cite[p.~435]{DJ}). Последнее пространство может быть разложено как $ET^m\times_{T^m}B_I=\bigl(ET^k\times_{T^k}(D^2)^k\bigr)\times ET^{m-n}$, что гомотопически эквивалентно $BT^k_I$. Следовательно, ограничение проекции $p:B_TK\to BT^m$ на $ET^m\times_{T^m}B_I$ гомотопически эквивалентно вложению $BT^k_I\hookrightarrow BT^m$. Эти гомотопические эквивалентности для всех симплексов $v_I\subset K$ склеиваются вместе в требуемую гомотопическую эквивалентность между $p:B_TK\to BT^m$ и $i:\tbtk\hookrightarrow BT^m$. \end{proof} \begin{corollary} \label{homfib} Дополнение $U(K)$ конфигурации координатных подпространств является гомотопическим слоем клеточного вложения $i:\tbtk\hookrightarrow BT^m$.\ep \end{corollary} \begin{corollary} \label{eqv} Кольцо $H^{*}_{T^m}\bigl(U(K)\bigr)$ $T^m$-эквивариантных когомологий дополнения $U(K)$ изоморфно кольцу граней $\k(K)$. \end{corollary} \begin{proof} Мы имеем $H^{*}_{T^m}\bigl(U(K)\bigr)=H^{*}\bigl(ET^m\times_{T^m}U(K)\bigr)= H^{*}(B_TK)$. Теперь следствие вытекает из леммы~\ref{cohomtbtk} и теоремы~\ref{he2}. \end{proof} \section{Кольцо когомологий $U(K)$} {\sloppy Пусть имеется $\k[v_1,\ldots,v_m]$-свободная резольвента кольца граней $\k(K)$ как градуированного модуля над кольцом многочленов $\k[v_1,\ldots,v_m]$: \begin{equation} \label{resol} \begin{CD} 0\to R^{-h} @>d^{-h}>> R^{-h+1} @>d^{-h+1}>> \cdots\to R^{-1} \stackrel{d^{-1}}{\longrightarrow} R^0 \stackrel{d^{0}}{\longrightarrow} \k(K)\to 0 \end{CD} \end{equation} } \noindent(заметим, что в силу теоремы Гильберта о сизигиях, в предыдущей формуле $h\le m$). Применяя функтор $\otimes_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\k$ к~(\ref{resol}), мы получаем коцепной комплекс: $$ \begin{CD} 0 \longrightarrow R^{-h}\otimes_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\k \longrightarrow \cdots \longrightarrow R^0\otimes_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\k \longrightarrow 0, \end{CD} $$ когомологии которого обозначаются $\Tor^{-i}_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr)$. Так как все $R^{-i}$ в резольвенте~(\ref{resol}) являются градуированными $\k[v_1,\ldots,v_m]$-модулями, $\Tor^{-i}_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr)=\bigoplus_j \Tor^{-i,j}_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr)$ является градуированным $\k$-модулем, а \begin{equation} \label{tor} \Tor_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr)=\bigoplus_{i,j} \Tor^{-i,j}_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr) \end{equation} является {\it биградуированным} $\k$-модулем. Заметим, что у его ненулевых элементов первая градуировка всегда неположительна, а вторая~--- неотрицательна и четна (так как $\deg v_i$=2). Биградуированный $\k$-модуль~(\ref{tor}) можно также рассматривать как просто градуированный модуль относительно полной степени $-i+j$. Числа Бетти \begin{align*} \beta^{-i}\bigl(\k(K)\bigr)&= \dim_{\k}\Tor^{-i}_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr)\\ \intertext{и} \beta^{-i,2j}\bigl(\k(K)\bigr)&= \dim_{\k}\Tor^{-i,2j}_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr) \end{align*} представляют большой интерес для геометрической комбинаторики; они изучались различными авторами (см., например,~\cite{St}). Мы упомянем лишь один результат Хохстера, который сводит вычисление $\beta^{-i,2j}\bigl(\k(K)\bigr)$ к вычислению гомологий подкомплексов симплициального комплекса~$K$. \begin{theorem}[\rm Хохстер~\cite{Ho}, \cite{St}] \label{hoch} Ряд Гильберта $\sum_{j}\beta^{-i,2j}\bigl(\k(K)\bigr)t^{2j}$ модуля $\Tor^{-i}_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr)$ вычисляется по формуле $$ \sum_{j}\beta^{-i,2j}\bigl(\k(K)\bigr)t^{2j}= \sum_{I\subset\{v_1,\ldots,v_m\}} \bigl(\dim_{\k}\tilde{H}_{|I|-i-1}(K_I)\bigr)t^{2|I|}, $$ где $K_I$~--- подкомплекс $K$, состоящий из всех симплексов с вершинами в~$I$.\ep \end{theorem} Заметим, что вычисление чисел $\beta^{-i,2j}\bigl(\k(K)\bigr)$, основанное на этой теореме становится весьма сложным даже для небольших комплексов~$K$. Оказывается, что модуль $\Tor_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr)$ допускает естественную структуру биградуированной {\it алгебры}, и соответствующая градуированная алгебра есть в точности алгебра когомологий $H^{*}\bigl(U(K)\bigr)$: \begin{theorem} \label{cohom1} Имеет место следующий изоморфизм градуированных алгебр: $$ H^{*}\bigl(U(K)\bigr)\cong\Tor_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr) $$ \end{theorem} \begin{proof} Рассмотрим коммутативную диаграмму \begin{equation} \label{wuk} \begin{CD} \widetilde{U(K)} @>>> ET^m\\ @VVV @VVV\\ \tbtk @>i>> BT^m, \end{CD} \end{equation} где левая вертикальная стрелка обозначает индуцированное расслоение. Следствие~\ref{homfib} показывает, что $\widetilde{U(K)}$ гомотопически эквивалентно $U(K)$. Из~(\ref{wuk}) мы получаем, что алгебры клеточных коцепей $C^{*}(\tbtk)$ и $C^{*}(ET^m)$ являются модулями над $C^{*}(BT^m)$. Как следует из доказательства леммы~\ref{cohomtbtk}, мы имеем $C^{*}(\tbtk)=\k(K)$, а $i^{*}:C^{*}(BT^m)=\k[v_1,\ldots,v_m]\to\k(K)=C^{*}(\tbtk)$ является эпиморфизмом на факторкольцо. Так как пространство $ET^m$ стягиваемо, мы имеем цепную эквивалентность $C^{*}(ET^m)\to\k$. Следовательно, имеет место изоморфизм \begin{equation} \label{chain} \Tor_{C^{*}(BT^m)}\bigl(C^{*}(\tbtk),C^{*}(ET^m)\bigr)\cong \Tor_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr). \end{equation} Спектральная последовательность Эйленберга--Мура (см.~\cite[Theorem~1.2]{Sm}) коммутативного квадрата~(\ref{wuk}) имеет член $E_2$ следующего вида $$ E_2=\Tor_{H^{*}(BT^m)}\bigl(H^{*}(\tbtk),H^{*}(ET^m)\bigr) $$ и сходится к $\Tor_{C^{*}(BT^m)}(C^{*}(\tbtk),C^{*}(ET^m))$. Так как $$ \Tor_{H^{*}(BT^m)}(H^{*}(\tbtk),H^{*}(ET^m))= \Tor_{\k[v_1,\ldots,v_m]}\bigl(\k(K),\k\bigr), $$ из (\ref{chain}) вытекает, что спектральная последовательность вырождается в члене $E_2$, то есть $E_2=E_{\infty}$. Далее, предложение~3.2 из~\cite{Sm} показывает, что модуль $\Tor_{C^{*}(BT^m)}\bigl(C^{*}(\tbtk),C^{*}(ET^m)\bigr)$ является алгеброй, изоморфной алгебре когомологий $H^{*}\bigl(\widetilde{U(K)}\bigr)$, что завершает доказательство. \end{proof} Наша следующая теорема дает явное описание алгебры $H^{*}\bigl(U(K)\bigr)$ как алгебры когомологий простой дифференциальной биградуированной алгебры. Рассмотрим тензорное произведение $\k(K)\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_m]$ кольца граней $\k(K)=\k[v_1,\ldots,v_m]/I$ и внешней алгебры $\Lambda[u_1,\ldots,u_m]$ с $m$ образующими, и превратим его в дифференциальную биградуированную алгебру, полагая \begin{gather} \bideg v_i=(0,2),\quad\bideg u_i=(-1,2),\notag\\ \label{diff} d(1\otimes u_i)=v_i\otimes 1,\quad d(v_i\otimes 1)=0 \end{gather} и требуя, чтобы $d$ был дифференцированием алгебр. \begin{theorem} \label{cohom2} Имеет место следующий изоморфизм градуированных алгебр: $$ H^{*}\bigl(U(K)\bigr)\cong H\bigl[\k(K)\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_m],d\bigr], $$ (правая часть является градуированной алгеброй относительно полной степени). \end{theorem} \begin{proof} Превратим $\k$ в $\k[v_1,\ldots,v_m]$-модуль при помощи гомоморфизма, который отображает 1 в 1 и $v_i$ в 0. Рассмотрим резольвенту Кошуля (см., например,~\cite[Глава~VII,~\S~2]{Ma}) $\k[v_1,\ldots,v_m]$-модуля~$\k$: $$ \bigl[\k[v_1,\ldots,v_m]\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_m],d\bigr], $$ где дифференциал $d$ определен как в~(\ref{diff}). Так как биградуированное периодическое произведение $\Tor_{\k[v_1,\ldots,v_m]}(\ ,\ )$ является симметрической функцией своих аргументов, мы имеем $$ \Tor_{\Gamma}\bigl(\k(K),\k\bigr)\\ =H\bigl[\k(K)\otimes_{\Gamma}\Gamma\otimes \Lambda[u_1,\ldots,u_n],d\bigr]\\ =\bigl[\Gamma\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_m],d\bigr], $$ где мы обозначили $\Gamma=\k[v_1,\ldots,v_m]$. Так как в силу теоремы~\ref{cohom1} $H^{*}\bigl(U(K)\bigr)\cong\Tor_{\Gamma}\bigl(\k(K),\k\bigr)$, мы получаем требуемый изоморфизм. \end{proof} Заметим, что предыдущая теорема не только вычисляет алгебру когомологий дополнения $U(K)$, но также превращает последнюю в {\it биградуированную} алгебру. \begin{corollary} \label{ls} Спектральная последовательность Лере--Серра расслоения $\widetilde{U(K)}\to\tbtk$ со слоем $T^m$ (см.~{\rm(\ref{wuk})}) вырождается в члене $E_3$. \end{corollary} \begin{proof} Рассматриваемая спектральная последовательность сходится к $H^{*}\bigl(\widetilde{U(K)}\bigr)=H^{*}\bigl(U(K)\bigr)$ и имеет $$ E_2=H^{*}(\tbtk)\otimes H^{*}(T^m)= \k(K)\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_m]. $$ Легко видеть, что дифференциал в члене $E_2$ действует как в~(\ref{diff}). Следовательно, $E_3=H[E_2,d]= H\bigl[\k(K)\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_m]\bigr]=H^{*}\bigl(U(K)\bigr)$, в силу теоремы~\ref{cohom2}. \end{proof} \begin{proposition} \label{monom} Предположим, что моном $$ v^{\alpha_1}_{i_1}\ldots v^{\alpha_p}_{i_p} u_{j_1}\ldots u_{j_q}\in\k(K)\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_m], $$ где $i_1<\ldotsm. \end{align*} и умножение в когомологиях тривиально. В частности, при $m=3$ мы имеем 6 трехмерных классов когомологий $v_iu_j$, $i\ne j$, связанных 3 соотношениями $v_iu_j=v_ju_i$, и 3 четырехмерных класса когомологий $v_1u_2u_3$, $v_2u_1u_3$, $v_3u_1u_2$, связанных одним соотношением $$ v_1u_2u_3-v_2u_1u_3+v_3u_1u_2=0. $$ Следовательно, $\dim H^{3}\bigl(U(K)\bigr)=3$, $\dim H^{4}\bigl(U(K)\bigr)=2$, и умножение тривиально. \end{example} \begin{example} Пусть $K$~--- граничный комплекс $m$-угольника ($m\ge4$). Тогда, как мы уже отмечали выше, момент-угол комплекс $\zk$ является гладким многообразием размерности $m+2$, а $U(K)$ гомотопически эквивалентно $\zk$. Мы имеем $\k(K)=\k[v_1,\ldots,v_m]/I$, где $I$ порожден мономами $v_iv_j$ такими, что $i\ne j\pm1$ (здесь мы используем соглашение $v_{m+i}=v_i$ и $v_{i-m}=v_i$). Кольца когомологий таких многообразий были вычислены в работе~\cite{BP2}. Мы имеем $$ \dim H^k\bigl(U(K)\bigr)=\left\{ \begin{array}{l} 1\quad\text{при }k=0\text{ или }m+2;\\[1mm] 0\quad\text{при }k=1,2,m\text{ или }m+1;\\[1mm] (m-2)\binom{m-2}{k-2}-\binom{m-2}{k-1}-\binom{m-2}{k-3} \quad\text{при }3\le k\le m-1. \end{array} \right. $$ Например, в случае $m=5$ имеется 5 образующих группы $H^3\bigl(U(K)\bigr)$, представленных коциклами $v_iu_{i+2}\in\k(K)\otimes\Lambda[u_1,\ldots,u_5]$, $i=1,\ldots,5$, и 5 образующих группы $H^4\bigl(U(K)\bigr)$, представленных коциклами $v_ju_{j+2}u_{j+3}$, $j=1,\ldots,5$. Как следует из предложения~\ref{poin}, произведение коциклов $v_iu_{i+2}$ и $v_ju_{j+2}u_{j+3}$ представляет нетривиальный класс когомологий в $H^7\bigl(U(K)\bigr)$ (а именно, фундаментальный класс с точностью до знака) тогда и только тогда, когда $\{i,i+2,j,j+2,j+3\}=\{1,2,3,4,5\}$. Следовательно, для каждого класса когомологий $[v_iu_{i+2}]$ имеется единственный (двойственный по Пуанкаре) класс когомологий $[v_ju_{j+2}u_{j+3}]$ такой, что произведение $[v_iu_{i+2}]\cdot[v_ju_{j+2}u_{j+3}]$ нетривиально. \end{example} \begin{thebibliography}{BR2} \bibitem{Ar} В.\,И.~Арнольд, {\it Кольцо когомологий группы крашенных кос}, Матем. Заметки~{\bf 5} (1969), 227--231. \bibitem{Au} M.~Audin, {\it The Topology of Torus Actions on Symplectic Manifolds}, Progress in Mathematics~{\bf 93}, Birkh\"auser, Boston Basel Berlin, 1991. \bibitem{Ba} V.\,V.~Batyrev, {\it Quantum Cohomology Rings of Toric Manifolds}, Journ\'ees de G\'eom\'etrie Alg\'ebrique d'Orsay (Juillet 1992), Ast\'erisque {\bf 218}, Soci\'ete Math\'ematique de France, Paris, 1993, pp. 9--34; доступно в Интернет http://xxx.lanl.gov/abs/alg-geom/9310004. \bibitem{Br} E.~Brieskorn, {\it Sur le groupes de tresses}, in: S\'eminare Bourbaki 1971/72, Lecture Notes in Math. {\bf 317}, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1973, pp. 21--44. \bibitem{BP1} В.\,М.~Бухштабер, Т.\,Е.~Панов, {\it Алгебраическая топология многообразий, определяемых простыми многогранниками}, Успехи Мат. Наук {\bf 53} (1998), \номер3, 195--196. \bibitem{BP2} В.\,М.~Бухштабер, Т.\,Е.~Панов, {\it Действия тора и комбинаторика многогранников}, Труды МИ РАН им. Стеклова {\bf 225} (1999), 96--131; доступно в Интернет http://xxx.lanl.gov/abs/math.AT/9909166. \bibitem{BR1} В.\,М.~Бухштабер, Н.~Рай, {\it Торические многообразия и комплексные кобордизмы}, Успехи Мат. Наук {\bf 53} (1998), \номер2, 139--140. \bibitem{BR2} V.\,M.~Buchstaber and N.~Ray, {\it Tangential structures on toric manifolds, and connected sums of polytopes}, preprint UMIST, Manchester, 1999. \bibitem{Co} D.\,A.~Cox, {\it Recent developments in toric geometry}, in: Algebraic geometry (Proceedings of the Summer Research Institute, Santa Cruz, CA, USA, July 9--29, 1995), J.~Kollar, (ed.) et al. Providence, RI: American Mathematical Society. Proc. Symp. Pure Math. {\bf 62} (pt.2), 389-436 (1997); available at http://xxx.lanl.gov/abs/alg-geom/9606016. \bibitem{Da} В.~Danilov, {\it Геометрия торических многообразий}, Успехи Мат. Наук {\bf 33} (1978), \номер2, 85--134. \bibitem{DJ} M.~Davis and T.~Januszkiewicz, {\it Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions}, Duke Math. Journal {\bf 62}, (1991), no.~2, 417--451. \bibitem{dCP} C. De Concini and C. Procesi, {\it Wonderful models of subspace arrangements}, Selecta Mathematica, New Series {\bf 1} (1995), 459--494. \bibitem{dL} M. De Longueville, {\it The ring structure on the cohomology of coordinate subspace arrangements}, preprint, 1999; доступно в Интернет http://www.math.tu-berlin.de/\~{}ziegler. \bibitem{Fu} W.~Fulton, {\it Introduction to Toric Varieties,} Princeton Univ. Press, 1993. \bibitem{GM} М. Горески, Р. Макферсон, {\it Стратифицированная теория Морса}, Мир, Москва, 1991. \bibitem{Ho} M. Hochster, {\it Cohen--Macaulay rings, combinatorics, and simplicial complexes}, in: Ring Theory II (Proc. Second Oklahoma Conference), B.\,R.~McDonald and R.~Morris, editors, Dekker, New York, 1977, pp.~171--223. \bibitem{Ma} С. Маклейн, {\it Гомология}, Мир, Москва, 1966. \bibitem{OS} P.~Orlik and L.~Solomon, {\it Combinatorics and Topology of Complements of Hyperplanes}, Invent. Math. {\bf 56} (1980), 167--189. \bibitem{Pa1} Т.\,Е.~Панов, {\it Комбинаторные формулы для $\chi_y$-рода полиориентированного квазиторического многообразия}, Успехи Мат. Наук {\bf 54} (1999), \номер5, 169--170. \bibitem{Pa2} T.\,E.~Panov. {\it Hirzebruch genera of manifolds with torus action}, preprint, 1999; доступно в Интернет http://xxx.lanl.gov/abs/math.AT/9910083. \bibitem{Sm} L. Smith, {\it Homological Algebra and the Eilenberg--Moore Spectral Sequence}, Transactions of American Math. Soc. {\bf 129} (1967), 58--93. \bibitem{St} R. Stanley, {\it Combinatorics and Commutative Algebra}, Progress in Math. {\bf 41}, Birkh\"auser, Boston, 1983. \bibitem{Yu} S. Yuzvinsky, {\it Small rational model of subspace complement}, preprint, 1999; доступно в Интернет http://xxx.lanl.gov/abs/math.CO/9806143. \end{thebibliography} \end{document}