О фундаментальной группе и когомологиях 2-значных топологических групп и 2H-пространств

Аннотацию доклада см. здесь.

Дискретные аналитические функции: теоремы сходимости

В ряде задач статистической физики, дискретной дифференциальной геометрии, численных методов естественным образом возникает понятие дискретной аналитической функции, принадлежащее Р.Исааксу, Р.Даффину и Х.Мерка. Рассмотрим граф, лежащий в комплексной плоскости и имеющий только четырехугольные грани. Функция, заданная в вершинах этого графа, называется дискретной аналитической, если для каждой грани ее разностные отношения вдоль двух диагоналей равны.

Мы доказываем, что задача Дирихле о граничных значениях для действительной части дискретной аналитической функции имеет единственное решение. В случае, когда каждая грань имеет перпендикулярные диагонали, мы доказываем, что это решение сходится к гармонической функции в непрерывном пределе (при некоторых предположениях регулярности). Данный результат решает проблему, поставленную С.Смирновым в 2010 году. Этот результат был доказан ранее в частном случае квадратной решетки Р.Курантом, К.Фридрихсом, Х.Леви, для ромбической решетки С.Смирновым, Д.Челкаком и неявно П.Сьярле, П.Равьяром.

Для некоторого специального класса графов, лежащих на римановой поверхности, мы доказываем также сходимость дискретных матриц периодов к их непрерывным аналогам. Этот результат получен совместно с А.Бобенко.

Доказательства основаны на энергетических соображениях, подсказанных теорией цепей переменного тока.

Стабилизаторы и орбиты гладких функций на поверхностях

Аннотацию доклада см. здесь.

Группа автоморфизмов многообразия с действием тора сложности один

В 1970 году Демазюр нашел замечательное описание группы автоморфизмов компактного (гладкого) торического многообразия как линейной алгебраической группы. Центральную роль в этом описании играет чисто комбинаторное понятие корня, связанное с веером полиэдральных конусов. В 1995 году Кокс охарактеризовал корни и группу автоморфизмов компактного торического многообразия в терминах тотального координатного кольца, или кольца Кокса. Мы опишем группу автоморфизмов компактного алгебраического многообразия X с действием алгебраического тора сложности один. Результат основан на задании кольца Кокса R(X) многообразия X как фактора кольца многочленов по идеалу, порожденному триномами, и интерпретации корней Демазюра как однородных локально нильпотентных дифференцирований кольца R(X). Это совместная работа с Juergen Hausen, Elaine Herppich и Alvaro Liendo.

Алгебраические кобордизмы

Алгебраические кобордизмы, построенные в работах Левина-Мореля, являются универсальной ориентируемой теорией когомологий на гладких алгебраических многообразиях над полем нулевой характеристики. По отношению к классическим комплексным кобордизмам они являются тем же, чем кольцо Чжоу является по отношению к кольцу обычных когомологий. В докладе будет рассказано о геометрической конструкции алгебраических кобордизмов через образующие и соотношения по работе Левина-Пандхарипанды http://arxiv.org/abs/math/0605196 Также будут приведены конкретные примеры вычисления колец алгебраических кобордизмов.

Глубина колец Стенли-Райснера и топология симплициальных комплексов

Каждому симплициальному комплексу K можно сопоставить кольцо Стенли-Райснера k[K], несущее полную информацию о комбинаторике комплекса K. Эта стандартная конструкция позволяет описывать комбинаторные свойства симплициальных комплексов в алгебраических терминах. Важной алгебраической характеристикой кольца (или модуля) является глубина. В докладе будут предъявлены топологические условия на комплекс K, при которых глубина алгебры k[K] равна заданному числу s. Эти условия вытекают из общего утверждения, связывающего топологию полных подкомплексов и топологию линков симплексов симплициального комплекса. В качестве частного случая будет получена известная теорема Райснера о характеризации комплексов Коэна-Маколея. Также будет показано, что глубина алгебры k[K] является топологическим инвариантом комплекса K, то есть не зависит от конкретной триангуляции. 

Все необходимые для понимания алгебраические определения и утверждения будут даны в ходе доклада.

(по совместной работе с И.А.Дынниковым)

Шунты для прямоугольных диаграмм

С каждой прямоугольной диаграммой зацепления естественно ассоциируются два лежандровых типа лежандровых зацеплений. Оказалось, что в терминах этих лежандровых типов естественно формулируется критерий упрощаемости соответствующей прямоугольной диаграммы. С помощью введенного нами понятия шунта мы показали, что упрощения двух разных типов (каждое меняет ровно один из ассоциированных лежандровых типов) в определенном смысле независимы между собой, т.е. для них верна лемма о диаманте. Неожиданным образом это привело к доказательству нескольких известных гипотез, в частности, гипотезы Джонса об инвариантности алгебраического числа пересечений минимальной косы, представляющей данный тип зацеплений.

Топологические модели рациональных функций

Мы обсудим топологические конструкции, позволяющие получать явное (с точки зрения топологической динамики) описание некоторых рациональных функций одной комплексной переменной, которые мы рассматриваем как отображения сферы в себя. Речь пойдет о конструкциях спаривания (mating), захвата (capture), и переклейки (regluing), а также о том, как эти конструкции связаны друг с другом.

Обобщения формы Зейферта

Определяется инвариант "форма Зейферта" для вложений замкнутых ориентируемых n-мерных многообразий в (2n-1)-мерное евклидово пространство. Для n>2 конструкция нетривиальна, в отличие от случая n=2. Она была придумана Crowley и докладчиком в 2010. Соответствующая более сложная конструкция для многообразий с краем проведена Saeki в 1998 для n=3 и Тонконогом в 2011 для n>3.

Доказываются красивые свойства этого инварианта. Форма Зейферта и ее свойства нужны для классификация вложений неодносвязных n-мерных многообразий в (2n-1)-мерное евклидово пространство. Формулируются соответствующие классификационные теоремы и гипотезы.

Некоторые классы расслоенных зацеплений

В докладе будут представлены два новых класса зацеплений, задаваемых при помощи прямоугольных диаграмм, и доказана их расслоенность. Первая серия характеризуется тем, что у каждого зацепления половина вершин диаграммы лежит на его диагонали - мы будем называть такие зацепления диагональными. Этот класс является расширением класса лоренцевых зацеплений, введенных J.Birman и R.F.Williams. Вторая серия характеризуется тем, что диаграммы этих узлов сложности n инварианты относительно действия Z_n циклическими сдвигами по модулю n на вектор (p,q) для p и q взаимно простых с n.

Комбинаторное описание топологии пространств функций Морса на поверхностях

Пусть M - гладкая связная ориентируемая замкнутая поверхность рода g. Рассмотрим морсовские функции на M, у которых фиксировано количество критических точек каждого индекса 0, 1, 2 (точки локальных минимумов, седловые точки и точки локальных максимумов). Для удобства предположим, что не менее чем 3-2g критических точек отмечены разными метками (т.е. покрашены в разные цвета или занумерованы). Цель доклада - изучить и описать гомотопический тип пространства F=F(M) таких функций, снабженное C^\infty-топологией.

Будет описан конечномерный счетный (и конечный при g=0) полиэдр K - "косой цилиндрически-полиэдральный" комплекс оснащенных функций Морса. Полиэдр K состоит из блоков - "косых цилиндрических ручек", которые находятся во взаимно однозначном соответствии с "классами изотопности" функций из F. Аналогично случаю клеточных разбиений, любая ручка индекса k гомеоморфна прямому произведению DxC выпуклого k-мерного многогранника D на цилиндр C (точнее, факторпространству (DxC)/Г по свободному действию конечной группы Г - "группы симметрий" соответствующей функции из F), а подошва ((dD)xC)/Г ручки содержится в объединении ручек индекса k-1.

Теорема 1. Пространство F гомотопически эквивалентно прямому произведению R и K, где R - одно из следующих многообразий: SO(3), T^2 и точка, - в зависимости от g=0, 1 и больше.

Теорема 2. Если g=0, то (-1)^q \chi(K) равно количеству клеточных разбиений сферы M=S^2, имеющих p вершин, q ребер и r граней (т.е. двумерных клеток), с точностью до изотопии разбиений.

Примеры. Если количество q седловых критических точек равно 2, то полиэдр K является ориентированной хордовой диаграммой (которая будет построена на докладе), в которой хорды и ориентированные циклы - это торические ручки индексов 1 и 0 соответственно. В частности, полиэдр K гомотопически эквивалентен букету 4, 6 или бесконечному числу окружностей.

Следующие статьи по этой теме есть в Архиве:

[1] E.A. Kudryavtseva, On the homotopy type of the spaces of Morse functions on surfaces, Матем. Сб. (в печати). arXiv:1104.4796.

[2] E.A. Kudryavtseva, Topology of the spaces of Morse functions on surfaces. arXiv:1104.4792.

[3] E.A. Kudryavtseva, Special framed Morse functions on surfaces. Вестник МГУ, 2012, N.3 (в печати). arXiv:1106.3116.

[4] E.A. Kudryavtseva, Connected components of spaces of Morse functions with fixed critical points. Вестник МГУ, 2012, N.1, 3-12. arXiv:1007.4398.

Эквивариантная двойственность Саито и дзета функция монодромии двойственных обратимых многочленов

Одним из первых (если не первым) наблюдением зеркальной симметрии была "странная двойственность" Арнольда на множестве исключительных унимодальных особенностей. Ее обобщением является двойственность Берглунда-Хюбша, так называемых, обратимых многочленов: квазиоднородных многочленов от $n$ переменных, содержащих ровно $n$ мономов. Двойственность Саито - это двойственность на множестве рациональных функций вида $\phi(t)=\prod_{m|d}(1-t^m)^{s_m}$ с фиксированным натуральным $d$. Двойственной по Саито к функции $\phi$ по отношению к $d$ является $\phi^\ast(t) = \prod_{m|d}(1-t^{d/m})^{-s_m}$. Двойственные по Арнольду особенности имеют двойственные по Саито характеристические многочлены классических преобразований монодромии (с $d$ равным их квазистепени). Обобщение этого свойства на обратимые многочлены формулируется в терминах эквивариантной версии двойственности Саито, которая является аналогом преобразования Фурье на кольцах Бернсайда конечных абелевых групп. Кроме того, приведенные орбифолдные эйлеровы характеристики слоев Милнора двойственных по Берглунда-Хюбша обратимых многочленов (по отношению к группам симметрий, двойственным в подходящем смысле) совпадают с точностью до знака (зависящего от числа переменных).

Доклад основан на совместных результатах с В.Эбелингом.

Свойство отслеживания в динамических системах

Теория отслеживания изучает свойства приближенных траекторий динамических систем. Основной вопрос теории отслеживания - при каких условиях рядом с любой псевдотраекторией динамической системы найдется точная траектория.

Псевдотраектории возникают естественным образом, например, при компьютерном моделировании. Таким образом, если динамическая система обладает свойством отслеживания, то ее можно эффективно моделировать на компьютере.

Известно, что гиперболические динамические системы обладают свойством отслеживания. В настоящем докладе будет произведен обзор классических результатов на данную тему, а также результаты докладчика, посвященные вопросу: "Как много негиперболических систем обладают свойством отслеживания?"

Характеристические классы комбинаторных расслоений

Мы будем понимать под комбинаторным расслоением над симплициальным комплексом Х функтор из категории симплексов Х в категорию симплициальных n-сфер и их абстрактных сборок (согласно теореме Н.Мнева, реализация этой категории гомотопически эквивалентна классифицирующему пространству группы кусочно-линейных преобразований n-мерного пространства). Частным случаем такого функтора является "функтор Гаусса", который сопоставляется любому симплициальному многообразию. В своем докладе я постараюсь объяснить то. каким образом любому такому функтору можно сопоставить набор замкнутых коцепей в подходящем варианте комплекса Чеха Х с коэффициентами в циклических комплексах коцепей на Х. Конструкция эта идейно связана с конструкцией Ботта, позволяющей выразить характеристические классы гладкого главного расслоения в терминах функций переклейки.

Упрощающие диски прямоугольных диаграмм

Я расскажу о нашей совместной работе с Максимом Прасоловым, в которой мы дали простую геометрическую интерпретацию упрощаемости прямоугольной диаграммы узла элементарными преобразованиями. Упрощения естественным образом разбиваются на два типа. Если диаграмма допускает упрощение обоих типов, то, как мы показали, после применения упрощения одного типа диаграмма по-прежнему допускает упрощение второго, т.е. упрощения разных типов в некотором смысле независимы. За используемыми комбинаторными конструкциями стоят лежандровы узлы.

Эффективное распознавание типа косы из трёх нитей по классификации Нильсена-Тёрстона

В докладе будет рассмотрена группа кос и её гомоморфизм в группу гомеотопий компактной ориентированной двумерной поверхности рода нуль (сферу с "дырками"). В соответствии с классификацией гомеотопий по Нильсену-Тёрстону различают периодические, псевдоаносовские и приводимые косы. Будет рассказано о двух эффективных алгоритмах распознавания типа косы по классификации Нильсена-Тёрстона. Один из них был известен ранее и использует представление группы кос из трёх нитей в группе SL_2(Z). Другой связан со специальным кодированием кос из трёх нитей.

Ввведение в A^1-гомотопическую теорию Воеводского и Мореля

В доказательстве Воеводского гипотезы Милнора решающую роль сыграла построенная самим же Воеводским и Морелем A^1-гомотопическая категория мотивных пространств и построенная Воеводским гомотопическая категория P^1-спектров. 

В лекции будет рассказано, что такое категория мотивных пространств и чем она похожа на категорию клеточных пространств. Будет обозначено, как строится  A^1-гомотопическая категория H(k) категории мотивных пространств и пояснено, что бесконечный Грассманн представляет в этой категории К-теорию Квиллена.  Мотивное пространство Эйленберга--Маклейна K(2,1; Z) - это бесконечное проективное пространство и оно в категории H(k) представляет функтор  X |---> Pic(X).

Будет объяснено, что такое мотивный P^1-спектр  и почему нам интересны именно P^1-спектры (здесь P^1--это проективная прямая). Примеры P^1-спектров:  спектр Эйленберга-Маклейна H, спектр алгебраических кобордизмов MGL, спектр алгебраической К-теории BGL. (Эти спектры не являются S^1-спетрами!).

Будет обозначено, как строится гомотопическая категория P^1-спектров. Роль последней состоит в том, что ее объекты представляют в категории HS(k)  теории  когомологий на алгебраических многообразиях над полем k. И, грубо говоря, задают все теории когомологий на алгебраических многообразиях.

В частности, спектр Эйленберга-Маклейна задает мотивные когомологии, спектр BGL задает К-теорию Квиллена, спектр MGL задает теорию аналогичную теории комплексных кобордизмов. 

Комбинаторные 2-усеченные кубы и приложения

В докладе будет рассмотрено семейство многогранников (2-усеченные кубы), получающихся из куба последовательностью срезок граней коразмерности 2. Этот класс многогранников обладает замечательными свойствами, в частности, каждый 2-усеченный куб является флаговым простым многогранником, а также является образом отображения моментов неособого торического многообразия. Доказано, что многие важные классы многогранников являются 2-усеченными кубами. Например, граф-ассоциэры, граф-кубиэдры и флаговые нестоэдры. Для подклассов граф-ассоциэдров установлены верхние и нижние границы перечисляющих полиномов. Данные границы достигаются на известных сериях многогранников (многогранника Сташефа, Ботта-Таубса, пермутоэдры). Перечисляющие полиномы этих серий могут быть вычислены с помощью полученных дифференциальных и функциональных уравнений на их производящие функции.

Функция Ван дер Вардена и раскраски гиперграфов

Знаменитая теорема Ван дер Вардена утверждает, что для любых натуральных чисел n>2, r>1 найдется такое минимальное натуральное число W(n,r), что в любой раскраске множества натуральных чисел {1,...,W(n,r)} в r цветов найдется одноцветная арифметическая прогрессия длины n. Величину W(n,r) из теоремы Ван дер Вардена принято называть функцией Ван дер Вардена. В докладе будет рассказано о связи оценивания функции Ван дер Вардена с экстремальными задачами о раскрасках гиперграфов.

Новые интегральные формулы для компактных поверхностей

Многие знаменитые результаты в теории поверхностей "в целом" получены с применением интегральных формул, среди которых наиболее известна формула Гаусса-Бонне, которая сама является одним из фундаментальных достижений дифференциальной геометрии. В этом же ряду можно упомянуть формулу Герглотца, дающую самое короткое доказательство однозначной определенности овалоидов их метрикой, формулу Бляшке для доказательства жесткости овалоида, несколько формул Минковского и т.д. В докладе будет предложен один метод, с помощью которого можно получить много новых интегральных формул, в частности, обобщающих упомянутые выше классические интегральные формулы. Для понимания доклада достаточно знаний на уровне курса классической дифференциальной геометрии, читаемого на 2-м году обучения на мехмате.

Тэта-функции на косых произведениях двумерных торов

Я буду рассказывать об обобщении классической теоремы Лефшеца о вложении абелевых многообразий в комплексное проективное пространство на случай ниль- и солвмногообразий, являющихся тотальными пространствами расслоений, где слой и база - это двумерные вещественные торы. С этой целью построены неголоморфные обобщения классической тэта-функции.

Вырожденные задачи нелинейного анализа и теории экстремума

Аннотацию доклада см. здесь.

Действия торов в теории особенностей лагранжевых слоений

Я собираюсь рассказать о том, как в теории особенностей лагранжевых слоений возникают многообразия с действием тора. Есть такой просто геометрический факт: любой выпуклый многогранник с точностью до аффинного преобразования является сечением многомерного куба плоскостью. Из этого факта можно вывести сразу три конструкции.

Первая конструкция топологическая: теорема Бухштабера-Панова о том, что всякий простой многогранник можно реализовать как пространство орбит действия тора на некотором многообразии.

Вторая конструкция симплектическая: теорема Дельзанта о том, что всякий простой многогранник с некоторыми дополнительными условиями целочисленности можно реализовать как пространство орбит гамильтонова действия тора на симплектическом многообразии.

И, наконец, третья конструкция это то, о чем я собираюсь рассказывать: всякий простой многогранник реализуется как пространство орбит гамильтонова действия тора на лагранжевом подмногообразии в некотором симплектическом многообразии. Это подмногообразие возникает как неприводимая компонента особого слоя некоторого лагранжевого слоения. При этом, если рассмотреть действие тора на всем особом слое, то пространством орбит будет уже не один многогранник, а некоторое разбиение тора на простые многогранники.