Талалаев Дмитрий Валерьевич
4
Спецкурс “Квантовый метод обратной задачи и некоммутативная геометрия” Время: осень 2021 года, по четвергам в 16.50, первое занятие 23 сентября Место: Мехмат МГУ, онлайн на платформе Zoom (для получения ссылки, пришлите, пожалуйста, запрос по электронной почте dtalalaev@yandex.ru) Назначение курса - знакомство с методами, алгебраическими структурами, положенными в основу квантового метода обратной задачи (КМОЗ). Помимо своего непосредственного значения - описания и решения многочисленных квантово- механических моделей, таких как модель магнетика Гейзенберга и многих других, собственно техника этого метода оказалась довольно универсальной в обще- математическом смысле, алгебры Хопфа - это одна из базовых алгебраических структур, уравнение Янга-Бакстера имеет характер мета-тождества, проявляется в топологии, комбинаторике и статистической механике. Помимо классических понятий КМОЗ мы уделим особое внимание их модификациям, обобщениям; в том числе матрицам Манина, полуквантовым алгебрам, классификационным результатам, использующим соответствующие теории когомологий. Особое внимание будет уделено геометрической интерпретации конструкций и инструментов КМОЗ, прежде всего они относятся к области некоммутативной алгебраической геометрии. В курсе также будут обсуждаться кластерные многообразия и комбинаторика гиперкуба в контексте приложений КМОЗ к точно-решаемым моделям статистической физики. Спецкурс в основном ориентирован на студентов старших курсов, но для его понимания достаточно курса алгебры в объеме первых двух лет обучения на мехмате, общих представлений о группах и алгебрах Ли. Краткий план курса: 1. 1. Краткое введение в теорию классических интегрируемых систем 2. Деформационное квантование и некоммутативная геометрия 3. Классические алгебраические структуры теории интегрируемых систем 3.1. Пуассоновы алгебры 3.2. Ли-биалгебры 3.3. Кограничные Ли-биалгебры 3.4. Группы Ли-Пуассона 4. Квантовые алгебраические структуры 4.1. Биалгебры 4.2. Алгебры Хопфа 4.3. Кограничные биалгебры и уравнение Янга-Бакстера 5. Квантовый метод обратной задачи 5.1. Алгебры Решетихина-Тахтаджяна 5.2. Матрицы Манина и полуквантовые алгебры 5.3. Коммутативные семейства 5.4. Тождество Гамильтона-Кэли 5.5. Тождество Капелли 6. Приложения в статистической механике 6.1. Точно-решаемые модели статистической механики и интегрируемые модели КМОЗ 6.2. Многомерные аналоги уравнения Янга-Бакстера и алгебраическая теория электрических сетей