%#AMSTEX#R# - MultiEdit label should be on the 1st line in the file
\documentclass{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}


\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
%\usepackage{amscd,times,fullpage}

\begin{document}
\sloppy
\title[Программа кандидатского минимума 01.01.04]{Программа кандидатского минимума по специальности 01.01.04 (геометрия и топология)}

\maketitle


\section{Общая топология}



Метрическое пространство. Полнота. Теорема Бэра о категориях.

Топологическое пространство. Непрерывность. Гомеоморфизм. Аксиомы
отделимости. Связность и линейная связность. Фактор-топология.  Топологии
в функциональных пространствах (отрыто-замкнутая топология в пространстве
непрерывных отображений и $C^k$--топология в пространстве гладких
отображений).

Лемма Урысона. Теорема о продолжении непрерывных функций.

Компактность и способы компактификации пространств.
Теорема Тихонова о компактности произведения. Расширения Чеха-Стоуна.
Разбиение единицы и его приложения. Теорема Вейерштрасса об аппроксимации
полиномами непрерывной функции на компакте в $\Bbb R^n$.

Лебегово определение размерности. Нерв покрытия и аппроксимация
компакта полиэдрами.

Индуктивное определение топологической размерности. Теорема
Урысона об эквивалентности.

Хаусдорфова размерность. Ее связь с топологической. Фракталы: канторово
множество и ковер Серпинского и их хаусдорфова размерность.



\section{Алгебраическая топология}


Гомотопическая эквивалентность. Гомотопические классы отображений.
Фундаментальная группа топологического пространства. Группа кос как
фундаментальная группа конфигурационного пространства системы точек на
плоскости. Гомотопические группы пространств и их гомотопическая
инвариантность. Точная
гомотопическая последовательность пары.
Вычисление $k$-мерных гомотопических групп $n$-мерной сферы
для $k\le n$.

Пространства Эйленберга-Маклейна. $H$-пространства и группа гомотопических классов
отображений в $H$-пространство.
Коммутативность фундаментальной группы $H$--пространств.





 Группы сингулярных гомологий и когомологий.
Симплициальные и клеточные разбиения пространств.
Симплициальные и
клеточные гомологии и когомологии, из связь с сингулярными.
 Эйлерова характеристика. Гомотопическая
инвариантность групп гомологий.  Умножение в когомологиях. Точные
гомологическая и когомологическая последовательности пары.  Гомологии и
когомологии с коэффициентами.  Оператор Бокштейна. Связь фундаментальной
группы и группы одномерных гомологий.  Основные понятия теории препятствий
(препятствующий коцикл и первое препятствие к сечению расслоения).
Двойственность Пуанкаре для многообразий.

Теории гомологий и когомологий. Теорема единственности для гомологий и
когомологий. Обобщенные теории гомологий и когомологий. Группы когомологий
как группы классов отображений в пространства Эйленберга-Маклейна.  Кольцо
когомологий $H$--пространства как алгебра Хопфа. Классификация
градуированных алгебр Хопфа над полем рациональных чисел.

Гомологии и кольца когомологий проективных пространств. Клетки Шуберта и
гомологии многообразий Грассмана.


Накрытия. Лемма о накрывающей гомотопии. Универсальное
накрытие.  Накрытие и фундаментальная группа.
Пространство путей и петель, лемма о накрывающей гомотопии для расслоения
путей.

 Аксиома о накрывающей гомотопии и расслоение в смысле Серра. Локально
тривиальные расслоения.  Сечения. Точная
гомотопическая последовательность расслоения. Векторные расслоения. Прямая
сумма и тензорное произведение векторных расслоений. Действие монодромии в
гомологиях расслоения.  Формула Пикара-Лефшеца.  Многообразие Грассмана
как база универсального векторного расслоения. Пространства Тома и
изоморфизм Тома в гомологиях и когомологиях.


Характеристические классы векторных расслоений.    Понятие группы $K(X)$.


\section{Топология гладких многообразий}

Гладкие многообразия. Криволинейные координаты. Гладкие отображения и
дифференциал.  Диффеоморфизм.  Подмногообразия. Ориентация. Касательные
векторы и касательные расслоения.  Примеры гладких многообразий. Теория
Морса: функции Морса, индуцированное клеточное разбиение, неравенства
Морса. Перестройки в многообразиях. Конструкция Понтрягина-Тома. Понятие
бордизма многообразий.

Вложения
и погружения. Теорема Уитни. Субмерсии и гладкие расслоения.
Особые и регулярные точки гладких отображений. Лемма
Сарда (формулировка).  Степень отображения, ее гомотопическая
инвариантность.  Применения степени отображения. Степень
отображения и интеграл. Теорема Гаусса-Бонне. Гомотопическая классификация
отображений $n$-мерной сферы в себя. Расслоение Хопфа и  классификация
отображений трехмерной сферы в двумерную.  Инвариант Хопфа.



Индекс особой точки векторного поля и теорема Эйлера-Пуанкаре.

Двойственность Александера. Индексы пересечения и зацепления.

Исчисление струй. Топологии Уитни в пространствах гладких отображений.
Теоремы трансверсальности. Теорема трансверсальности Тома и ее
следствия: лемма Морса, слабая теорема Уитни. Локальная классификация
устойчивых отображений $\Bbb R^2\to\Bbb R^2$ и $\Bbb R^2\to\Bbb R^3$.
Число Милнора изолированной особенности функции.



\section{Топология малых размерностей}

Узлы и зацепления. Движения Радемайстера. Полином Александера узла.
Классификация двумерных замкнутых поверхностей.
Группы гомологий и фундаментальные группы двумерных поверхностей.
Примеры трехмерных многообразий. Склейка потноторий по диффеоморфизму
границы. Диаграмма Хегора трехмерных многообразий.




\section{Дифференциальная геометрия}

Теория кривых и поверхностей в
трехмерном пространстве:  натуральный параметр, кривизна и кручение
кривой, формулы Френе, первая и вторая квадратичные формы поверхности,
гауссова и средняя кривизны, главные направления и главные кривизны,
теорема Менье и формула Эйлера.  Деривационные формулы.


Риманова метрика и римановы многообразия. Геометрия Лобачевского.
Проективная геометрия. Подмногообразия в евклидовом пространстве и
индуцированная метрика.


Понятие тензора и тензорного поля на гладком многообразии.
Алгебраические операции над тензорами. Симметрические и
кососимметрические тензоры. Производная Ли.


Внешние дифференциальные формы, внешнее дифференцирование.

Интегрирование внешних дифференциальных форм. Формула Стокса. Точные и
замкнутые формы. Когомологии де Рама. Теорема де Рама (без доказательства)
Оператор Лапласа и гармонические формы. Двойственность Пуанкаре.

Ковариантное дифференцирование. Символы Кристоффеля.  Тензор
кручения. Римановы симметрические связности. Тензор кривизны Римана и
критерий локальной евклидовости римановой метрики, тензор Риччи и
скалярная кривизна.  Теорема Гаусса о связи между скалярной и гауссовой
кривизнами.

Параллельный перенос и геодезические.  Геодезические как
кратчайшие. Формула Эйлера-Лагранжа. Примеры:  геодезические на плоскости,
сфере, плоскости Лобачевского, поверхности вращения.  Сопряженные точки и
индекс геодезической.

Связности и кривизна в расслоениях. Тождество Бьянки.
Характеристические классы и характеристические числа. Теорема
Стокса и инвариантность характеристических чисел относительно бордизма.

Проективная двойственность и преобразования Лежандра.



\section{Геометрический структуры на гладких многообразиях}

Структуры на гладких многообразиях: риманова, почти комплексная, эрмитова,
комплексная, кэлерова.  Понятие о препятствиях к существованию структур.
Существование почти комплексной структуры на симплектическом многообразии.

Симплектическая структура. Примеры
симплектических многообразий. Теорема Дарбу. Скобка Пуассона. Примеры пуассоновых многообразий. Гамильтоновы векторные поля и
гамильтоновы системы. Первые интегралы гамильтоновых систем.

Контактные структуры и контактные многообразия. Примеры.
Слоения и распределения. Теорема Фробениуса.


\section{Геометрия групп Ли и однородных пространств}

Группы Ли и алгебры Ли,  присоединенное
представление. Алгебра Ли векторных полей. Действия групп Ли на гладких
многообразиях. Односвязные и неодносвязные группы Ли. Однородные
пространства.  Примеры:  классические матричные группы Ли, многообразия
Грассмана и Штифеля, лагранжевы грассманианы $U(n)/O(n)$ и $U(n)/SO(n)$.
Компактные группы Ли и биинвариантная метрика.  Кольцо когомологий
компактной группы Ли. Группы токов и группы диффеоморфизмов как примеры
бесконечномерных групп Ли.



\section{Дискретная и комбинаторная геометрия}


Выпуклые множества и разбиения пространства. Разбиения Вороного и Делоне.

Кристаллы как правильные точечные системы. Кристаллографическая группа в
евклидовом пространстве. Классификация кристаллографических групп на
плоскости.

Правильные многогранники. Теорема Коши о единственности выпуклого
многогранника с данным набором граней.

\end{document}
