Семинары "Некоммутативная геометрия и топология"
и "Топология и анализ"
(рук. А.С.Мищенко, И.К.Бабенко, Е.В.Троицкий, В.М.Мануйлов, А.А.Ирматов)

четверг, 16:45-20:05, ауд. 16-04

Аннотации докладов (2011/2012 учебный год)
22 марта 2012 Бабенко И.К.

О топологии группы формальных степенных рядов.

Будут рассказаны некоторые новые результаты о строении группы формальных степенных рядов с коэффициентами в некотором коммутативном кольце с единицей.
29 марта 2012 М.Б.Скопенков

Когда множество вложений конечно?

Доклад посвящен классической проблеме классификации вложений многообразий. Явно описать множество вложений очень трудно, и мы пытаемся найти ответ на следующий более простой вопрос: является ли множество вложений данного многообразия в сферу данной размерности с точностью до изотопии конечным? Ответ на данный вопрос был получен Хефлигером в 1966 для случая вложений сфер (узлов) в коразмерности >2, а Д. Кроули, С. Ферри и докладчиком в 2011 - для случая вложений несвязного объединения сфер (зацеплений). В докладе данная проблема будет решена для случая вложений произведения сфер (заузленных торов) в некотором диапазоне размерностей. Приведем точную формулировку одного очень частного случая полученного результата. Теорема. Пусть p+4q/3+2 < m < p+3q/2+2 и m > 2p+q+2. Тогда множество гладких вложений произведения p-мерной и q-мерной сфер в m-мерную сферу с точностью до изотопии конечно если и только если q+1 или p+q+1 делится на 4. Рассматриваемый подход к классификации вложений основан на использовании аналога точной последовательности Кошорке из теории сингулярных зацеплений. Точность последовательности устанавливается с помощью применения вложенной хирургии и метода Хабеггера-Кайзера исследования дополнения к погружению.
29 марта 2012 Г.И.Шарыгин

Высшие кручения Франца-Рейдемейстера и характеристические классы (по книжке Игусы "Higher_Franz-Reidemeister Torsion", AMS, 2002)

Как известно, одним из важных инвариантов цепного комплекса являются его гомологии. В общем случае (если не делать дополнительных предположений) можно сказать, что этот инвариант весьма грубый, в частности, все ацикличные комплексы над полем характеристики ноль эквивалентны между собой в этом смысле. Однако, если в комплексе выбран базис, то можно определить дополнительный, более "тонкий" инвариант ацикличного (и не только) комплекса -- кручение Рейдемейстера. Этот инвариант аналогичен детерминанту линейного отображения. В цитированной книге описываются далеко идущие обобщения кручения Рейдемейстера, которые в результате позволяют получить целую последовательность инвариантов такого рода (во многих случаях совпадающих, с точностью до констант, с обычными классами Понтрягина). Конструкции, используемые автором объединяют такие разные понятия, как конструкцию Володина алгебраической К-теории, циклические гомологии, скручивающие коцепи и значения кратных дзета-функций. Я попытаюсь описать хотя бы основные идеи, используемые в книге и ее главные результаты. В конце я попробую рассказать о том, как я пытаюсь использовать некоторые из конструкций Игусы для построения характеристических классов комбинаторных расслоений.
05 апреля 2012 А.А. Гайфуллин (МИАН, МГУ)

Многочлены Сабитова для объемов четырёхмерных многогранников

Классическая формула Герона выражает площадь треугольника через длины его сторон. Очевидно, что для многоугольников с большим количеством сторон не существует формулы такого типа, так как площадь многоугольника может меняться непрерывно при его изгибании с сохранением длин сторон. Ситуация кардинальным образом изменяется при переходе к размерности 3. В 1996 году И.Х. Сабитов доказал, что объём V любого симплициального многогранника в трёхмерном евклидовом пространстве является корнем некоторого многочлена со старшим коэффициентом 1, зависящего от комбинаторного типа многогранника и длин его ребер; в настоящее время такие многочлены называются многочленами Сабитова для многогранников данного комбинаторного типа. Одним из основных приложений этой теоремы является доказательство так называемой "гипотезы о кузнечных мехах", утверждающей, что объём любого изгибаемого многогранника в трёхмерном евклидовом пространстве постоянен. С тех пор, как были получены эти результаты, оставался открытым вопрос о возможности их обобщения на многогранники старших размерностей. В докладе будет рассказано о недавно полученных докладчиком аналогах теорем Сабитова для многогранников в четырёхмерном евклидовом пространстве. Будет доказано, что для любого четырёхмерного симплициального многогранника существует многочлен Сабитова и что объём любого изгибаемого четырёхмерного многогранника постоянен.
12 апреля 2012 Шарыгин Г.И.

Доказательство гипотезы Каруби (по Суслину и Водзицкому).

Гипотеза Каруби, высказанная им в 1979 году, состояла в том, что алгебраическая и аналитическая К-теория произвольной С*-алгебры, тензорно умноженной на алгебру компактных операторов, изоморфны. Эта гипотеза была д оказана в 1991 году в совместной работе Андрея Суслина и Мариуша Водзицкого. В докладе я постараюсь изложить основные конструкции и идеи этого доказательства.
19 апреля 2012 С. И. Максименко (Институт математики НАН Украины)

Стабилизаторы и орбиты гладких функций на поверхностях.

Пусть M - гладкая связная компактная поверхность, P - числовая прямая, или окружность. Рассмотрим стандартное правое действие ∙ группы диффеоморфизмов Diff(M) на пространстве гладких отображение C∞(M,P): f ∙ h = f o h для f∈C∞(M,P) и h∈Diff(M).

Тогда для каждого отображения f:M → P можно определить его стабилизатор S(f)={h∈Diff(M) | f = f o h} и орбиту O(f)={f o h | h∈Diff(M)} относительно этого действия. Пусть Sid(f) - тождественная компонента связности S(f) и Of(f) - компонента связности орбиты O(f) содержащая f.

Предположим, что f:M→ P обладает следующими двумя свойствами:

  • f принимает постоянные значения на компонентах края M и все критические точки f лежат во внутренности M;
  • в каждой своей критической точке отображение f эквивалентно однородному многочлену двух переменных без кратных множителей.

Отметим, что второе условие выполняется для невырожденных критических точек.

Автором доказано, что тогда, за исключением нескольких случаев, компонента Sid(f) стягиваема, πnOf(f)=πnM, для n≥3, π2Of(f)=0, и имеет место точная последовательность

1 → π1Diff(M) ⊕ Zk→ π1Of(f) → G → 1,

для некоторого k≥0, и конечной группы G. В частности, Of(f) асферична для всех поверхностей кроме сферы и проективной плоскости.

Группа G является подгруппой группы f-автоморфизмов графа Кронрода-Риба f и отвечает за некоторые "дискретные" симметрии f. В частности, если f - отображение "общего положения", в том смысле, что на каждом критическом уровне находится ровно одна критическая точка, то група G тривиальна и, следовательно, π1Of(f) изоморфна π1Diff(M).

Если же f обладает некоторыми симметриями, то группа G нетривиальна и и возникает вопрос о вычислении π1Of(f).

Цель доклада - дать примеры вычисления π1Of(f) для конкретных функций и показать, что для поверхностей отрицательной эйлеровой характеристики вычисление π1Of(f) сводится к вычислению фундаментальных групп орбит функций на 2-диске, цилиндре и листе Мёбиуса.