Многомерные зацепления и сингулярные зацепления.

Аннотацию доклада см. здесь

О приближении к точкам совпадения и общим неподвижным точкам конечного набора отображений метрических пространств.

Для отображений метрических пространств рассматриваются следующие задачи:

(1) о приближении к прообразу подпространства (при одном отображении);

(2) о приближении к точке совпадения n отображений (n>1);

(3) о приближении к общей неподвижной точке n отображений (n>1).

Во всех трёх задачах найдены достаточные условия для существования искомой точки (прообраза подпространства, точки совпадения или обшей неподвижной точки n отображений соответственно). В каждой из трёх задач даётся алгоритм построения последовательности, начинающейся из любой точки пространства и сходящейся к искомой точке, а также оценка расстояния от начальной точки последовательности до искомой точки. В частности, при n=2 в задаче (2) получено утверждение, обобщающее теорему А.В.Арутюнова. В задаче (3) при n одинаковых отображениях получается обобщение принципа сжимающих отображений. Имеются обобщения полученных результатов на случай многозначных отображений.

Реализация циклов асферичными многообразиями.

В конце 1940-х годов Н.Стинрод поставил следующую проблему, известную как проблема о реализации циклов. Пусть нам дан n-мерный целочисленный класс гомологий z топологического пространства X; может ли он быть реализован непрерывным образом ориентированного замкнутого многообразия N^n? Классическая теорема Р. Тома утверждает, что каждый целочисленный класс гомологий с некоторой кратностью может быть реализован по Стинроду, однако существуют классы гомологий не реализуемые по Стинроду. Однако теорема Тома не содержит никакой информации о том, какие именно многообразия N^n возникают при реализации циклов. Естественной постановкой является задача о реализации циклов какими-либо конкретными многообразиями, имеющими сравнительно простое строение. Классическим вариантом является задача о реализации циклов образами сфер, то есть задача об описании образа гомоморфизма Гуревича. При этом хорошо известно, что не каждый целочисленный класс гомологий может быть с некоторой кратностью реализован образом сферы. Мы рассматриваем задачу о нахождении класса n-мерных ориентированных многооборазий, достаточного для реализации с некоторой кратностью всех n-мерных классов гомологий любого топологического пространства. Мы доказываем, что в качестве такого класса многообразий может быть выбран набор всех конечнолистных накрытий над многообразием M^n изоспектральных симметрических трёхдиагональных (n+1)x(n+1) матриц. Известно, что многообразие M^n асферично, то есть имеет гомотопический тип K(G,1). Таким образом, мы получаем, что каждый целочисленный класс гомологий произвольного линейно связного топологического пространства может быть реализован непрерывным образом ориентированного асферичного многообразия.

Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки.

Рассмотрены замкнутые накрывающие отображения, действующие из одного полного метрического пространства в другое метрическое пространство (вообще говоря неполное). Доказано, что для любого отображения, действующего в тех же метрических пространствах и удовлетворяющего условию Липшица с константой Липшица меньшей, чем константа накрывания, существует точка, в которой значения этих отображений равны. Для многозначных отображений при аналогичных предположениях доказано существование точки совпадения отображений, т.е. точки, в которой образы этих многозначных отображений пересекаются. Указанные результаты обобщают как принцип сжимающих отображений, так и теорему о накрывании.

Использование техники многогранника Ньютона для оценки числа инвариантных метрик Эйнштейна на однородном пространстве.

В 2004 г. К.Бём, М.Ван и В.Циллер показали, что подмножество Эйнштейновых метрик многообразия всех инвариантных римановых метрик объема 1 на компактном однородном многообразии с конечной $\pi_1$ состоит из конечного числа компактных компонент. Они высказали гипотезу о конечности этого подмножества при дополнительном условии однократности спектра изотропии. В докладе будет рассказано об условиях типа ?общего положения?, при которых справедлива эта гипотеза и аналогичная более сильная гипотеза для комплексных решений алгебраического уравнения Эйнштейна. Условия общего положения связаны с выбором торического многообразия, являющегося естественной компактификацией комплексифицированного пространства инвариантных метрик, они эффективно проверяются. Этот выбор позволяет рассматривать ?предельные решения?, которые интерпретируются с помощью так называемых сжатий алгебры Ли. Предельные решения являются риччи-плоскими комплексными решениями уравнения Эйнштейна в сжатом пространстве. Мы рассматриваем случай простого спектра представления изотропии. Возможность перехода к алгебраической форме уравнения Эйнштейна для инвариантных метрик в однородном пространстве позволяет использовать технику многогранника Ньютона и, в частности, работу А.Г. Кушниренко и Д.Н. Бернштейна. Число $E$ изолированных голоморфных метрик Эйнштейна с точностью до гомотетии не превышает решеточного объема $\nu$ этого многогранника. В общем случае каждой собственной грани многогранника Ньютона сопоставляется некомпактное однородное пространство (грубо говоря, сжатие компактного). В случае полупростой группы доказывается, что $\nu$>0, и дефект $\nu - E$ положителен в том и только том случае, когда в некотором сжатом пространстве имеется риччи-плоская инвариантная комплексная метрика. В этом случае решения отвечают особым точкам многочлена Лорана, задающего скалярную кривизну метрики. Доказывается также, что для расслоения компактного однородного пространства с однородными слоем и базой при условии, что многогранники Ньютона содержат стандартные симплексы, дефект для пространства положителен, если он таков для слоя и при некоторых условиях, если таков для базы.

Потоки на поверхностях и специальные потоки над автоморфизмами Вершика.

Пусть на компактной римановой поверхности дана голоморфная 1-форма. Вещественная часть этой формы определяет на поверхности ориентированное слоение, измеримое в смысле Тэрстона. Движение с единичной скоростью вдоль листов слоения задает сохраняющий площадь поток на поверхности, причем для поверхности общего положения, по теореме Мазура--Вича, поток этот строго эргодичен. В докладе будет исследоваться уклонение эргодических средних липшицевых функций на поверхности. Логарифмическая асимптотика для этих уклонений была дана Зоричем и Форни в терминах показателей Ляпунова для коцикла Концевича-Зорича над потоком Тейхмюллера. Главным результатом доклада будет мультипликативная асимптотика, а главным ходом доказательства --- символическое представление потоков на поверхностях в виде специальных потоков над "адическими" автоморфизмами Вершика.

Обобщённая конструкция Кокса

В теории торических многообразий хорошо известна конструкция Д. Кокса (1995), реализующая произвольное торическое многообразие без непостоянных обратимых функций в качестве категорного фактора некоторого открытого подмножества в векторном пространстве по действию квазитора. Более общо, произвольному нормальному многообразию X со свободной конечно порожденной группой классов дивизоров можно сопоставить факториальное мультиградуированное кольцо R(X), называемое тотальным координатным кольцом или кольцом Кокса. В случае, когда кольцо R(X) конечно порождено, многообразие X реализуется как категорный фактор открытого подмножества U аффинного факториального многообразия Z=Spec(R(X)) по действию тора Нерона-Севери. Подмножество U называется универсальным торсором над X и исследование его топологии представляется интересной задачей. Мы приведем простое объяснение факториальности кольца R(X), основанное на понятии однородной факториальности, т.е. однозначности разложения на неприводимые для мультипликативной полугруппы однородных элементов. Также будет описано кольцо Кокса однородного пространства аффинной алгебраической группы. В случае, когда группа классов дивизоров многообразия X имеет кручение, кольцо R(X) по-прежнему однородно факториально, однако факториальность может утратиться.

Приложения конструкции Кокса к задачам алгебраической геометрии хорошо известны. В докладе мы рассмотрим ее приложения к теории алгебраических групп преобразований и геометрической теории инвариантов. Доклад частично основан на совместных результатах с Ю. Хаузеном (Тюбинген, Германия).

Классификация свободных от кратностей гамильтоновых действий торов на многообразиях Штейна.

Доклад основан на препринте 0706.0632v2. Мы рассматриваем эффективные гамильтоновы действия n-мерного комплексного тора T на симплектическом многообразии Штейна X. Такие действия называются свободными от кратностей, если dim X=2n. Каждому X мы сопоставляем штейново многообразие размерности n, снабженное n голоморфными функциями, множеством дивизоров и n+1-им классом вторых когомологий. Мы показываем, что эти данные классифицируют свободные от кратностей гамильтоновы действия торов. Этот результат в чем-то схож с полученным Дельзантом для действий компактных торов на компактных $C^\infty$-многообразиях.

Универсальные накрывающие слоений на комплексных многообразиях.

Рассматриваются слоения на комлексные аналитические кривые на комплексных многобразиях. Множество особенностей слоения (куда оно не продолжается) должно иметь коразмерность не меньше 2. Рассмотрим множество слоев, проходящих через площадку, трансверсальную слоям. Их универсальные накрывающие объединяются в многообразие, наделенное естественной топологией и комплексной структурой. Для слоений на аффинных многообразиях это многообразие универсальных накрывающих является многообразием Штейна (то есть имеет достаточно большой запас глобально определенных голоморфных функций и может быть вложено как замкнутое подмногообразие в аффинное пространство). Существует также исчерпание этого мнгообразия псевдовыпуклыми множествами со слоями, гомеоморфными кругу, и гладкой границей, трансверсальной слоям. Будет также рассказано об основных открытых вопросах.

Левоинвариантные упорядочения на группах кос.

Я сделаю краткий обзор результатов об инвариантных с одной стороны (слева) упорядочениях на группах кос. Такое упорядочение было впервые придумано П.Деорнуа в начале 1990-х. С тех пор был развит ряд подходов к построению этого упорядочения и найдено много других, а также открыты некоторые топологические свойства пространства всех левоинвариантных упорядочений.

Теорема Гусарова о диаграммных формулах для инвариантов конечного порядка и ее связь с теорией виртуальных узлов.

Я расскажу об идеях доказательства теоремы Гусарова, а также о работе Виро-Гусарова-Поляка, в которой предлагается строить диаграммные формулы с помощью виртуальных узлов, и объясню, почему теорема Гусарова не может рассматриваться как приложение теории виртуальных узлов к классической теории узлов.

Общая форма теоремы Лефшеца о числе совпадений.

В случаем, когда имеются два компактных ориентируемых многообразия без края одной размерности и два отображения между ними, Лефшецом было определено число совпадений (вычисляемое с помощью действия этих отображений на гомологии и когомологии и двойственности Пуанкаре на этих многообразиях) и доказано, что неравенство нулю этого числа влечёт наличие точек, где оба отображения совпадают.

Различные авторы строили обобщения данной теоремы на случай некомпактных (но ориентируемых, без края, В.Р.Давидян), неориентируемых многообразий с краем (но компактных, D.L.Goncalvec, J.Jezierski).

В докладе будет дана общая форма данной теоремы для отображений вообще говоря некомпактных, неориентируемых топологических многообразий с краем.

Алгоритмы вычисления энтропии кос.

Рассматривается группа кос из n нитей как группа классов отображений поверхности M - двумерной сферы, из которой удалены n+1 открытых непересекающихся дисков.

Целочисленные итерации любого гомеоморфизма поверхности M задают топологическую динамическую систему с дискретным временем. Одной из главных характеристик динамической системы является топологическая энтропия - неотрицательное вещественное число, характеризующее "разнообразие" траекторий точек.

В докладе речь пойдёт о двух алгоритмах вычисления энтропии кос, которая определяется как минимум топологической энтропии по изотопическому классу.

Первый алгоритм эффективно вычисляет энтропию кос, используя железнодорожные сети (train-tracks) и нормальную форму Гарсайда косы (Garside normal form).

Второй алгоритм при фиксированном n перечисляет возможные значения энтропии кос из n нитей, не превосходящие заданного положительного числа. Алгоритм основан на работах А.Ю.Жирова по конструктивному кодированию псевдоаносовских гомеоморфизмов.

Локальные формулы для классов Чженя главных $GL_n$-расслоений.

Как хорошо известно, любое главное расслоение можно однозначно (с точностью до изоморфизма) задать с помощью функций переклейки, образующих $1$-коцикл в некоммутативных Чеховских коцепях на пространстве. Хотелось бы иметь формулы, позволяющие выражать через этот коцикл классы Чженя данного расслоения, когда структурная группа расслоения равна $GL_n$, или, более общо -- произвольной матричной группе. В докладе будет предложена несложная конструкция, позволяющая находить такие выражения. Конструкция основана на использовании хорошо известного топологам, но редко использующегося в геометрии понятия "скручивающей коцепи".

О автомодельной А-бесконечность структуре на симплексе.

Рассматривается проблема построения коумножения на цепях на симплексе. Мы покажем, что при желании сохранить симметрию коумножения с неизбежностью возникают высшие операции. Будет обсуждена конструкция индуцирования коумножения из стягивания ацикличного подкомплекса. Мы рассмотрим два примера: стягивание двойственного комплекса дифференциальных форм до коцепей, а также стягивание дифференциальной коалгебры барицентрического подразбиения. Итерирование конструкции стягивания барицентрического подразбиения приводит к замкнутой системе уравнений на автомодельную (относительно барицентрического подразбиения) бесконечность структуру. Случай 1-симплексов будет разобран явно.

Комбинаторная реализация циклов.

Хорошо известна задача Н.Стинрода о реализации классов гомологий образами фундаментальных классов многообразий. Классическая теорема Р.Тома утверждает, что любой целочисленный класс гомологий может быть с некоторой кратностью реализован как образ фундаментального класса ориентированного гладкого многообразия. Доказательство Р.Тома неконструктивно --- оно не позволяет явно строить требуемое многообразие. В докладе будет дана явная конструкция, которая по циклу строит комбинаторное многообразие, реализующее с некоторой кратностью целочисленный класс гомологий этого цикла. Конструкция основана на специальной процедуре локального комбинаторного разрешения особенностей цикла.

"Анти-Дюрер" гипотеза.

В своих работах Альбрехт Дюрер исследовал многогранники и их реберные развертки. Все эти развертки оказывались из одной компоненты. Вопрос о том, верно ли это для выпуклых многогранников в общем случае, остается открытым.

В 2006 году Н.П. Долбилиным была сформулирована так называемая "анти-Дюрер" гипотеза: для любого N найдется выпуклый многогранник, реберная самонепересекающаяся развертка которого должна состоять как минимум из N компонент.

В докладе будет предложено доказательство аналога "анти-Дюрер" гипотезы для класса невыпуклых многогранников с выпуклыми гранями.

Индекс прообразов при инвариантных отображениях и обобщения теоремы Люстерника-Шнирельмана.

Аннотацию доклада см. здесь.

Сжатие вложений 3-мерных многообразий в R^6 на гиперплоскость.

When given embedding $N\to R^6$ of a 3-manifold $N$ is isotopic to an embedding $f:N\to R^6$ such that $f(N)\subset R^5$? The same question for $f(N)\subset R^4$ or $f(N)\subset S^2\times S^2$.

This problem of Fomenko is a particular case of a classical compression problem in topology of manifolds studied by Haefliger, Hirsch, Gillman, Tindell, Vrabec, Rourke-Sanderson, Cencelj-Repovs and others.

The problem is interesting because many 3-manifolds appear in the theory of integrable Hamiltonian systems together with their embeddings into $S^2\times S^2\subset R^5\subset R^6$.

Embeddings of closed orientable 3-manifolds into $R^6$ are classified by the author in terms of the Whitney invariant $W(f)\in H_1(N;Z)$ and the Kreck invariant $\eta_{W(f)}(f)\in Z/d(W(f))$, where $d(W(f))$ is the divisibility of the projection of $W(f)$ to $H_1(N;Z)/torsion$ (see http://arxiv.org/math.GT/0603429).

The values of the Whitney invariants of embeddings $f:N\to R^6$ such that $f(N)\subset R^5$ were essentially described by Saeki-Szucs-Takase.

The main result of this talk is a description of the values of the Kreck invariant of embeddings $f:N\to R^6$ such that $f(N)\subset R^5$ (in terms of the Rokhlin invariant of spin structures on $N$). This gives a complete description of such embeddings.

The proof is based on formulas for the Kreck invariant in terms of Seifert surfaces (analogous to the Guillou-Marin-Takase formula for the Haefliger invariant).

Modified surgery theory and extended quadratic forms.

In his 1999 Annals paper M. Kreck introduced algebraically defined surgery obstruction l-monoids which generalised the Wall L-groups of classical surgery and extended the range of application of surgery beyond manifolds with a prescribed homotopy type. Despite many useful applications, the l-monoids have long resisted computation. In this talk I will explain the notion of extended quadratic forms due to Baues and Ranicki and explain how their Witt groups can sometimes be used in place of l-monoids in modified surgery. As an example, I will discuss recent applications of such Witt groups to the problem of classifying embeddings of 4-manifolds in 7-space. As time permits I will consider other examples and the global structure of the l-monoids.