Комбинаторные инварианты многогранников Сташефа.

План доклада:

1. Комбинаторная конструкция многогранников Сташефа.

2. Симплициальные многогранники, двойственные к многогранникам Сташефа.

3. f-вектор многогранников Сташефа.

4. Кольцо Стенли-Райснера многогранников Сташефа.

Произведения Масси в когомологиях градуированных алгебр Ли.

В докладе обсуждаются произведения Масси в когомологиях N-градуированных алгебр Ли. Одним из важных примеров подобной алгебры является т.н. "положительная часть" $L_1$ алгебры Витта $W$. В.М.Бухштабер выдвинул гипотезу, что когомологии $H^*(L_1)$ выражаются через одномерные $H^1(L_1)$ с помощью нетривиальных произведений Масси. Б.Л.Фейгин, Д.Б.Фукс и В.С.Ретах нашли подобное представление, но с помощью тривиальных произведений Масси. Гипотеза Бухштабера по-прежнему остается открытой, несмотря на продвижения, сделанные в ее направлении И.В.Артельных. Мы рассматриваем ассоциированную градуированную алгебру $\mathfrak{m}_0$ алгебры $L_1$ относительно ее фильтрации идеалами нижнего центрального ряда. Доказывается, что когомологии $H^*(\mathfrak{m}_0)$ порождаются $H^1(\mathfrak{m}_0)$ при помощи нетривиальных произведений Масси.

Реализация формальных групп комплексно ориентированными теориями когомологий.

На кольце скаляров комплексно ориентированной теории когомологий возникает формальный групповой закон. Естественно рассмотреть обратную задачу -- задачу о построении теории когомологий с формальным групповым законом, совпадающих с заданным. В силу теоремы Квиллена эта задача эквивалентна задаче о продлении рода Хирцебруха до мультипликативного преобразования теорий когомологий.

Будет рассказано об известных методах реализации формальных групп -- критерии Лазар-плоскости Ландвебера--Рудяка и кобордизмах с особенностями по Баасу--Сулливану. Последний метод будет проиллюстрирован на примере доказательства Бузато реализуемости формальной группы Абеля.

Скручивающие коцепи и классы Чженя.

В докладе будут построены явные формулы, выражающие первый, второй и третий классы Чженя произвольного векторного расслоения в терминах функций переклеек этого расслоения. Будет также описан общий принцип, основанный на понятии скручивающей коцепи, позволяющий получать подобные формулы для произвольных классов Чженя.

Реализации в кобордизмах многочленов Тома особенностей и разветвленные накрытия.

Продолжение доклада от 20.03.07.

Реализации в кобордизмах многочленов Тома особенностей и разветвленные накрытия.

Доклад посвящен задаче, хорошо известной в теории особенностей. Рассмотрим голоморфное отображение $f:M\to N$ с циклом особенностей данного типа. Задача состоит в том, чтобы выразить класс когомологий, двойственный этому циклу особенностей,через характеристические классы многообразий. Решение дается в виде многочлена от классов $c_i(TM),c_j(f^*TN)$, называемого многочленом Тома, коэффициенты которого не зависят от $f$.

В докладе будет рассказано о новых задачах, возникающих при естественном переходе от классических когомологий к теории комплексных кобордизмов. Важнейшая среди них -- изучение реализаций многочлена Тома в кобордизмах и развитие их приложений. Автором получены в этом направлении результаты, нашедшие применение в теории комплексных разветвленных накрытий.

Некоторые квадратные уравнения в свободных группах.

Аннотацию доклада см. здесь.

О некотрых алгебраических примерах фробениусовых многообразий.

В докладе мы расскажем как с помощью метода конечнозонного интегрирования строить явные примеры фробениусовых многообразий.

Односвязные $T^2$-многообразия положительной кривизны Риччи.

Доказано, что на любом односвязном $T^2$-многообразии существует риманова метрика положительной кривизны Риччи, инвариантная относительно данного действия $T^2$.

Координаты Дынникова и топологическая энтропия.

Известно, что гомеоморфизмы двумерного диска, оставляющие инвариантным конечное множество точек во внутренности диска и неподвижные на его границе, образуют группу кос. Итерации каждого такого гомеоморфизма задают динамическую систему с дискретным временем. Одной из количественных характеристик асимптотического поведения этой системы служит топологическая энтропия.

В докладе речь пойдёт о предложенной Ж.-О. Муссафиром (J.-O. Moussafir) в 2006 году формуле для приближённого вычисления топологической энтропии указанного класса гомеоморфизмов. Отличительная особенность формулы в использовании введённого И. А. Дынниковым кодирования целых ламинаций на двумерной сфере с удалёнными дисками. Будут указаны некоторые неточности в рассуждениях Муссафира и затронуты смежные вопросы.

Приложения решетчатых диаграмм узлов.

Я расскажу о решетчатых (прямоугольных) диаграммах узлов, в частности о своем алгоритме для распознавания тривиального узла путем монотонного упрощения, а также о новом методе вычисления рода узла с помощью так называемых гомологий Хегора-Флоера, открытом недавно Ожватом и компанией.

Гомоморфизмы Фробениуса. Теорема единственности.

Понятие n-гомоморфизма Фробениуса было введено В.М.Бухштабером и Э.Рисом в 1997 году. n-гомоморфизмы - это линейные отображения между алгебрами, удовлетворяющие специальному условию, задаваемому конкретным многочленом Фробениуса F_{n+1}(z_1,...,z_n) с рациональными коэффициентами.

В первой части доклада автор напомнит об алгебро-функциональном описании пространства непрерывных отображений в симметрические степени топологических пространств, полученное с помощью n-гомоморфизмов.

Во второй части будет введено понятие закона произвольной n-полиномиальной зависимости, обобщающее закон n-гомоморфизма. В сущности, n-полиномиальная зависимость задается произвольным однородным многочленом P_{n+1}(z_1,...,z_n) степени n+1, градуировка z_i равна i. Определяется естественное понятие невырожденности для n-полиномиального закона P_{n+1}(z_1,...,z_n). Главный результат, который будет приведен во второй части доклада, теорема единственности, утверждает, что среди всех n-полиномиальных законов P_{n+1}(z_1,...,z_n) со старшим коэффициентом(коэффициентом при z_1^{n+1}) не равным нулю, закон n-гомоморфизма F_{n+1}(z_1,...,z_n) единственный невырожденный.

Полусвободные действия окружности и башни Ботта.

Продолжение предыдущего доклада.

Полусвободные действия окружности и башни Ботта.

Башней Ботта называется итерированное расслоение над CP^1 со слоем CP^1. Тотальное пространство такого расслоение является проективным торическим многообразием, причём образ его отображения моментов является многогранником, комбинаторно эквивалентным кубу. Действие окружности называется полусвободным, если оно свободно на дополнении к множеству неподвижных точек. Мы показываем, что квазиторическое многообразие над кубом с полусвободным действием окружности и изолированными неподвижными точками является башней Ботта. Затем мы показываем, что такая башня Ботта топологически тривиальна, т.е. диффеоморфна произведению 2-мерных сфер. Это обобщает недавний результат Ильинского, согласно которому неособое компактное торическое многообразие с полусвободным действием окружности и изолированными неподвижными точками диффеоморфно произведению 2-мерных сфер, и является дальнейшим продвижением в проблеме Хаттори о полусвободных действиях окружности. Кроме того, мы показываем, что если кольцо когомологий квазиторического многообразия (или башни Ботта) изоморфно кольцу когомологий произведения 2-мерных сфер, то само многообразие диффеоморфно произведению.

Доклад основан на совместных работах с Х.Маэдой и М.Масудой.

О локализации совпадений пары отображений многообразий различных размерностей.

Рассматривается пара отображений $f,g: M^{n+m}\to N^{n}$ - многообразий указанных размерностей, $m>0, n\ge 3.$ Найдены достаточные условия для перемещения, "склеивания" и уничтожения совпадений $f,g$ при гомотопиях.

В случае $m=0$ подобные задачи рассматриваются в известной теории Нильсена. Будет дан краткий обзор некоторых недавних работ (P.Saveliev, U.Koschorke etc.) по развитию теории Нильсена для коразмерности $m>0$.

О прямом построении "экзотического" инварианта для 6-мерных многообразий.

Аннотацию доклада см. здесь.

Формальность алгебры Ли дифференциальных форм на пуассоновом многообразии.

На алгебре дифференциальных форм произвольного пуассонова многообразия (то есть многообразия, на котором задан пуассонов бивектор) можно ввести скобку Ли, превращающую это пространство в дифференциальную градуированную алгебру Ли. В докладе будет доказана

Теорема. Для любого многообразия полученная алгебра Ли формальна, то есть гомотопически эквивалентна своим когомологиям.

Для доказательства этого мы построим в явном виде L-бесконечность квазиизоморфизм, связывающий алгебру и ее когомологии. Все необходимые определения будут даны в ходе доклада.

Теорема Жордана.

Будет дано простое и "идеологически выдержанное" доказательство теоремы Жордана-Брауэра, годное для всех размерностей и обобщаемое на случай подмногообразий коразмерности 1, полученное Зибенманом и докладчиком. Доказательство использует только основные понятия теории ретрактов и элементы теории степени отображения (равенство степени для кобордантных отображений и формулу произведения). Будет дан также поверхностный обзор различных предлагавшихся в прошлом доказательств.

О циклической структуре для самопересечения проективного пространства.

Let $f: \RP^{\frac{n+15}{2}} \to \R^n$ be a generic map, $n=2^l-1$. Let $\Delta(f)$ be a double self-intersection manifold with boundary $\partial(\Delta)=\Sigma$, ($\Sigma \subset \RP^{\frac{n+15}{2}}$ is the canonical inclusion of singular submanifold of $f$) $dim(\Delta(f))=15$. We shall call $\mu: \Delta \to K(\Z/4,1)$ be a cyclic structure if $\mu \vert_{\Sigma) \Sigma \to K(\Z/2,1) \subset K(\Z/4,1)$ is agree with the characteristic class of the canonical inclusion $\Sigma \subset \RP^{\frac{n+15}{2}}$, $<\mu^{\ast}(t);[\Delta]>=1$, where $t \in H^{15}(K(\Z/4,1),K(\Z/2,1);\Z/2)$, $[\Delta] \in H_{15}(\Delta,\Sigma;\Z/2)$ are the generators.

Theorem. A cyclic structure exists if $l>>1$.

Многомерные методы в теории классических зацеплений.

Продолжение доклада от 12.09.06.

Многомерные методы в теории классических зацеплений.

В докладе будут приведены формулы для \mu-инварианта Милнора трёхкомпонентного бруннова зацепления в R^3 и \beta-инварианта Кошорке сингулярного зацепления двух S^2 в R^4 в терминах степеней отображений на конфигурационных пространствах - в духе известной формулы Гаусса для коэффициента зацепления. Геометрическое содержание этих формул в том, что каждый из двух инвариантов сводится к "абелеву" инварианту объекта большей размерности, а именно орнамента (в смысле Васильева) трёх S^3 в R^5.

Кроме того, инвариант Кирка сингулярных зацеплений двух S^2 в R^4, являющийся более тонкой версией \beta-инварианта, будет использован для элементарного доказательство теоремы Наканиши-Охиямы 2004г. Они доказали в серии из трёх статей, что инвариант Сато-Левина двухкомпонентных зацеплений в R^3 с нулевым коэффициентом зацепления полон относительно \Delta-гомотопии. (Последняя также известна под названиями "self C_2-equivalence" и "0.5-квазиизотопия".)

Комбинаторика \pi_n(S^2).

F-конструкция Милнора позволяет дать теоретико-групповое описание гомотопических групп сфер. Этот факт был изящно использован Коэном и Ву, которые связали гомотопические группы двумерной сферы с брунновскими косами. Результаты Коэна и Ву не представляют интереса с точки зрения вычислений, но открывают связи разных областей топологии, теории групп и алгебр Ли. Будет рассказано о коммутаторном исчислении, возникающем в данной теории, о некоторых возможных обобщениях конструкции Коэна-Ву, а также, если останется время, о нелинейности подгрупп автоморфизмов свободных групп и ядовитых группах.