Материалы по дифференциальной геометрии

  • Кривые постоянной ширины. С глубокой древности человечество знакомо с идеей колеса, но во всех цивилизациях оно было круглым. А можно ли ездить на некруглых колесах, т.е. бывают ли другие кривые постоянной ширины, кроме окружности? Оказывается, бывают. Например, грузы можно перевозить таким образом. Здесь приведен пример колеса в виде так называемого правильного треугольника Рело, который состоит из трех дуг окружностей с центрами в вершинах правильного треугольника. Это -- частный случай кривой постоянной ширины. Многоугольники Рело бывают и неправильными, но и в этом случае они представляют собой кривые постоянной ширины. В форме правильного семиугольника Рело сделаны британские монеты в 20 и 50 пенсов, а пример неправильного многоугольника Рело можно увидеть здесь.
  • Эвольвента кривой. Представим себе жесткий стержень, который без проскальзывания катится по кривой и предположим, что в начальный момент времени он касался кривой в одном из своиз концов. Траектория, описываемая этим концом стержня при его движении по кривой, называется эвольвентой этой кривой. Эвольвента кривой, вообще говоря, определена неоднозначно, поскольку она зависит от начальной точки, к которой был приложен стержень. Однако, в случае окружности, все ее эвольвенты отличаются лишь некоторым движением плоскости (т.е. совпадают при наложении). Эвольвенту окружности можно увидеть здесь. Эвольвента окружности обоадает одним замечательным свойством: зубцы шестеренок в зубчатых передачах часто изготавливатся в форме кусков эвольвенты окружности.
  • Соприкасающаяся окружность. Окружность, имеющая с кривой касание порядка два в некоторой точке, называется соприкасающейся окружностью. Для каждой точки кривой центр такой окружности находится в центре кривизны кривой в этой точке, а ее радиус равен радиусу кривизны. В точке общего положения кривая пересекает соответствующую соприкасающуюся окружность. Соприкасающуюся окружность к параболе можно увидеть здесь.
  • Эволюта и особенности волновых фронтов. Предположим, что проволочная рамка в форме некоторой кривой опущена на поверхность жидкости, находящейся в состоянии покоя. Возмущение, вызванной этой проволочной рамокой на поверхности начнет распространяться в обе стороны от этой рамки в виде волны. Предположим, что рамка не имеет точек спрямления и будем следить за распространением этой волны в сторону центров кривизны. Если считать среду однородной, то волна будет распространяться всюду с одинаковой скоростью перпендикулярно к рамке, т.е. в направлении ее главной нормали. В начале (достаточно скоро после погружения рамки в воду) волновой фронт будет представлять собой кривую, паралелльную рамке. Однако, через некоторое время, волновой фронт приобретет особенности. Произойдет это в тот момент, когда волновой фронт достигнет центра кривизны рамки в какой-нибудь точке. Как выглядит особая "параллельная кривая", можно посмотреть здесь. Все центры кривизны некоторой кривой лежат на кривой, которая называется ее эволютой. Особенности волнового фронта лежат на эволюте рамки, которую опустили в воду.