\documentclass{article} \usepackage{amssymb,amsmath,amsfonts,latexsym} \textwidth=15cm \textheight=22cm \voffset=-1cm \hoffset=-2cm \def\refname{Цитированная литература} \def\real{{\mathbb R}} \def\integer{{\mathbb Z}} \def\nat{{\mathbb N}} \def\labelenumi{\theenumi)} \catcode`\@=11 \def\@seccntformat#1{\S\csname the#1\endcsname.\quad} \def\slice{{\cal S}} \def\book{{\mathbb B}} \def\abstractname{Аннотация} \newtheorem{lemma}{Лемма} \newtheorem{theorem}{Теорема} \newtheorem{proposition}{Предложение} \def\доказательство{\addvspace{\medskipamount}\noindent {\sc Доказательство.} } \def\доказано{\ifmmode\eqno\Box\medskip\else \nobreak\hfill\nopagebreak\discretionary{} {\hbox to\textwidth{\hfill$\Box$}}{\hbox{$\Box$}}\par \addvspace\medskipamount\fi} \def\intP{{\stackrel\circ P}} \author{И.\,А.\,Дынников\thanks{Работа выполнена при поддержке ...}} \title{Конечно определенные группы и\\ полугруппы в теории узлов} \date{Московский государственный университет\\ Воробьевы горы, Москва 119899\\ e-mail: dynnikov@mech.math.msu.su} \begin{document} \maketitle \abstract{В работе построены конечно определенные полугруппы, центральные элементы в каждой из которых находятся во взаимно однозначном соответствии с изотопическими классами зацеплений в $\real^3$. Решение проблемы равенства слов в этих полугруппах равносильно решению топологической задачи распознавания зацеплений и плетений. Дана также конструкция конечно представленных групп, в которые вкладывается группа кос. %Обсуждается проблема нахождения линейных представлений %этих полугрупп. } \section{Введение} Зацеплением в $\real^3$ мы будем называть объединение некоторого числа попарно не пересекающихся простых ломаных линий в $\real^3$. В настоящей работе мы будем рассматривать только {\it неориентированные\/} зацепления. Два зацепления считаются эквивалентными, если они объемлемо изотопны в $\real^3$. Обозначим через $L_n$, $n=0,1,2,\dots$, множество изотопических классов $n$-компонентных зацеплений. Множество $L_0$ состоит всего из одного элемента --- пустого зацепления, $L_1$ --- это множество изотопических классов всех узлов в $\real^3$. Пусть $$L=L_0\cup L_1\cup L_2\cup\dots$$ --- множество изотопических классов всех зацеплений. На $L$ имеется естественная структура абелевой полугруппы, умножение в которой задается взятием объединения зацеплений, находящихся по разные стороны от некоторой полуплоскости, а единичным элементом является пустое зацепление из $L_0$. Полугруппа $L$ не является конечно порожденной. Как абелева полугруппа она свободно порождена изотопическими классами так называемых неразводимых зацеплений. В настоящей работе мы построим серию полугрупп $Y_n$, $n=3,4,\dots,\infty$, обладающих следующими свойствами: \begin{enumerate} \item\label{pr1} центр $Z(Y_n)$ полугруппы $Y_n$ изоморфен полугруппе $L$; \item\label{pr2} группа $D_n$ обратимых элементов полугруппы $Y_n$ содержит подгруппу, изоморфную группе кос на бесконечном числе нитей; \item при $n<\infty$ полугруппа $Y_n$ и группа $D_n$ являются конечно определенными, т.~е.\ могут быть заданы конечным числом образующих и определяющих соотношений. \end{enumerate} Построение полугруппы, обладающей лишь свойствами~\ref{pr1})~и \ref{pr2}), не вызывает труда. Мы сделаем это в~\S\ref{standard_tangles}, слегка модифицировав стандартную конструкцию категории неориентированных плетений (связок). Разложение элементов этой полугруппы в произведение образующих задается любой диаграммой общего положения соответствующего плетения, а определяющие соотношения соответствуют изотопиям диаграмм и движениям Райдемайстера. Эти соотношения, точнее, их аналоги для категории ориентированных плетений, использовались в~\cite{tur89} для построения инвариантов зацеплений. Отличие построенной таким образом полугруппы $T$ от полугрупп $Y_n$, $n=3,4,\dots$, в том, что она не может быть задана конечным числом определяющих соотношений. Однако, полугруппа $T$ вкладывается в каждую из полугрупп $Y_n$, которые уже являются конечно определенными. Таким образом, мы сводим топологическую задачу распознавания зацеплений и плетений к чисто алгебраической --- проблеме равенства слов в некоторой конечно определенной полугруппе. Согласно работе С.\,В.\,Матвеева~\cite{matv}, алгоритм для распознавания зацеплений существует. Кроме того, ка С.\,В.\,Матевеев сообщил автору, усовершенствовав этот алгоритм, можно получить алгоритм для распознавания плетений, а значит, решить проблему равенства слов в полугруппах $Y_n$. Тем не менее, было бы интересно получить чисто алгебраическое доказательство разрешимости проблемы равенства слов в этих полугруппах, получив тем самым альтернативный алгоритм распознавания зацеплений. \section{Плетения}\label{standard_tangles} Напомним конструкцию категории (неориентируемых) плетений~\cite{tur89}. Плетение типа $(k,l)$ --- это произвольное одномерное компактное PL-подмногообразие в $\real^3$, лежащее в области \begin{equation}\label{slice} \slice=\{(x,y,z)\in\real^3|\,0\le x\le1\} \end{equation} и имеющее своей границей множество точек $\{(0,i,0)\}_{1\le i\le k}\cup \{(1,j,0)\}_{1\le j\le l}$. Плетения называются эквивалентными, если они объемлемо изотопны в $\slice$, причем все точки границы области $\slice$ предполагаются неподвижными при изотопии. Объектами категории плетений $\cal T$ являются неотрицательные целые числа, а морфизмами из объекта $l$ в объект $k$ --- изотопические классы плетений типа $(k,l)$. Композиция $t_1\circ t_2$ произвольных плетений $t_1$ и $t_2$ типа $(k,l)$ и $(l,m)$ соответственно задается как объединение $$\psi_1(t_1)\cup\psi_2(t_2),$$ где $\psi_{1,2}$ --- отображения из $\slice$ в себя, определенные по формуле $$\psi_1(x,y,z)=(x/2,y,z),\quad\psi_2(x,y,z)=((x+1)/2,y,z).$$ Это правило корректно задает композицию морфизмов в категории $\cal T$. С точки зрения этой категории полугруппа $L$ --- это полугруппа морфизмов из объекта $0$ в себя. Немного модифицировав определения, мы можем получить вместо категории плетений более простой объект --- полугруппу. Для этого изменим определение плетения следующим образом. Будем называть плетением любое PL-подмногообразие $t$ в $\slice$, границей $\partial t$ которого является множество $$\{(0,i,0),(1,i,0)\}_{i>0},$$ причем $t\cap\partial\slice=\partial t$, и такое, что все его компоненты, лежащие достаточно далеко от начала координат, представляют собой прямолинейные отрезки вида $[(0,i,0),(0,j,0)]$ (мы будем обозначать отрезок, соединяющий точки $A$ и $B$ через $[A,B]$). При этом разность $j-i$ постоянна при больших $i$. Такие объекты можно было бы назвать плетениями типа $(\infty,\infty)$. Пример плетения в смысле данного \begin{figure}\caption{Плетение типа $(\infty,\infty)$}\label{a tangle} $$\begin{picture}(200,250) \put(40,20){\circle*2} \put(40,60){\circle*2} \put(40,100){\circle*2} \put(40,140){\circle*2} \put(40,180){\circle*2} \put(40,220){\circle*2} \put(160,20){\circle*2} \put(160,60){\circle*2} \put(160,100){\circle*2} \put(160,140){\circle*2} \put(160,180){\circle*2} \put(160,220){\circle*2} \put(40,20){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,1,0)$ }}} \put(40,60){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,2,0)$ }}} \put(40,100){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,3,0)$ }}} \put(40,140){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,4,0)$ }}} \put(40,180){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,5,0)$ }}} \put(40,220){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,6,0)$ }}} \put(160,20){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,1,0)$}}} \put(160,60){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,2,0)$}}} \put(160,100){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,3,0)$}}} \put(160,140){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,4,0)$}}} \put(160,180){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,5,0)$}}} \put(160,220){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,6,0)$}}} \put(40,20){\line(3,2){86}} \put(160,100){\line(-3,-2){26}} \put(160,60){\line(-3,2){60}} \put(160,140){\line(-3,-2){60}} \put(40,60){\line(3,-1){35}} \put(160,20){\line(-3,1){75}} \put(40,100){\line(3,2){120}} \put(40,140){\line(3,2){120}} \put(40,180){\line(3,2){75}} \put(40,220){\line(3,2){15}} \put(100,235){\hbox to 0pt{\hss$\vdots$\hss}} \end{picture}$$ \end{figure} определения показан на рисунке~\ref{a tangle}. Заметим, что теперь композиция двех плетений, формально говоря, может не являеться плетением, но является PL-подмногообразием, объемлемо изотопным в $\slice$ некоторому плетению. Поэтому на множестве $T$ изотопических классов таких плетений корректно определена операция композиции. По отношению к этой операции множество $T$ является полугруппой. Имеется очевидный функтор $F$ из категории $\cal T$ в полугруппу $T$. Он определяется следующим образом. Пусть $f$ --- некоторый морфизм из объекта $l$ в объект $k$. Морфизм $f$ можно представить плетением (в стандартном смысле), целиком лежащим в области $$y\le k+x(l-k).$$ Добавим к этому плетению отрезки $[(0,k+i,0),(1,l+i,0)]$, $i>0$. Изотопический класс полученного плетения (в новом смысле) и будем считать образом $F(f)$ морфизма $f$. Доказательство следующего утверждения не составляет труда. \begin{lemma} Плетения $t_1$ и $t_2$ типа $(k,l)$ эквивалентны тогда и только тогда, когда их образы $F(t_1)$ и $F(t_2)$ совпадают. Элемент полугруппы $T$ имеет вид $F(t)$, где $t$ --- некоторое зацепление {\/\rm(}т.~е.\ плетение типа $(0,0)${\rm)}, тогда и только тогда, когда он центральный. \end{lemma} В полугруппе $T$ легко указать также набор образующих и определяющих соотношений. \begin{lemma} Полугруппа $T$ порождается элементами $\alpha_i,\beta_i,\sigma_i, \sigma_i^{-1}$, $i>0$, показанными на рис.~\ref{generators}. \begin{figure}\caption{Образующие полугруппы $T$}\label{generators} $$\begin{array}{ll} \alpha_i:&\beta_i:\\ \begin{picture}(180,200) \put(90,20){\hbox to 0pt{\hss$\vdots$\hss}} \put(90,180){\hbox to 0pt{\hss$\vdots$\hss}} \put(60,40){\circle*2} \put(60,80){\circle*2} \put(60,120){\circle*2} \put(60,160){\circle*2} \put(60,40){\line(1,0){60}} \put(60,40){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i-1,0)$ }}} \put(60,80){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i,0)$ }}} \put(60,120){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i+1,0)$ }}} \put(60,160){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i+2,0)$ }}} \put(120,40){\circle*2} \put(120,80){\circle*2} \put(120,120){\circle*2} \put(120,160){\circle*2} \put(120,40){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i-1,0)$}}} \put(120,80){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i,0)$}}} \put(120,120){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i+1,0)$}}} \put(120,160){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i+2,0)$}}} \put(120,80){\line(-1,1){20}} \put(120,120){\line(-1,-1){20}} \put(60,80){\line(3,4){60}} \put(60,120){\line(3,4){40}} \put(60,160){\line(3,4){10}} \end{picture}\hskip1em & \begin{picture}(180,200) \put(90,20){\hbox to 0pt{\hss$\vdots$\hss}} \put(90,180){\hbox to 0pt{\hss$\vdots$\hss}} \put(60,40){\circle*2} \put(60,80){\circle*2} \put(60,120){\circle*2} \put(60,160){\circle*2} \put(60,40){\line(1,0){60}} \put(60,40){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i-1,0)$ }}} \put(60,80){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i,0)$ }}} \put(60,120){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i+1,0)$ }}} \put(60,160){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i+2,0)$ }}} \put(120,40){\circle*2} \put(120,80){\circle*2} \put(120,120){\circle*2} \put(120,160){\circle*2} \put(120,40){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i-1,0)$}}} \put(120,80){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i,0)$}}} \put(120,120){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i+1,0)$}}} \put(120,160){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i+2,0)$}}} \put(60,80){\line(1,1){20}} \put(60,120){\line(1,-1){20}} \put(120,80){\line(-3,4){60}} \put(120,120){\line(-3,4){40}} \put(120,160){\line(-3,4){10}} \end{picture}\medskip\\ \sigma_i:&\sigma_i^{-1}:\\ \begin{picture}(180,200) \put(90,20){\hbox to 0pt{\hss$\vdots$\hss}} \put(90,170){\hbox to 0pt{\hss$\vdots$\hss}} \put(60,40){\circle*2} \put(60,80){\circle*2} \put(60,120){\circle*2} \put(60,160){\circle*2} \put(60,40){\line(1,0){60}} \put(60,40){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i-1,0)$ }}} \put(60,80){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i,0)$ }}} \put(60,120){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i+1,0)$ }}} \put(60,160){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i+2,0)$ }}} \put(120,40){\circle*2} \put(120,80){\circle*2} \put(120,120){\circle*2} \put(120,160){\circle*2} \put(120,40){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i-1,0)$}}} \put(120,80){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i,0)$}}} \put(120,120){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i+1,0)$}}} \put(120,160){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i+2,0)$}}} \put(60,160){\line(1,0){60}} \put(60,80){\line(1,0){10}} \put(60,120){\line(1,0){10}} \put(120,80){\line(-1,0){10}} \put(120,120){\line(-1,0){10}} \put(70,120){\line(1,-1){40}} \put(70,80){\line(1,1){15}} \put(110,120){\line(-1,-1){15}} \end{picture}& \begin{picture}(180,200) \put(90,20){\hbox to 0pt{\hss$\vdots$\hss}} \put(90,170){\hbox to 0pt{\hss$\vdots$\hss}} \put(60,40){\circle*2} \put(60,80){\circle*2} \put(60,120){\circle*2} \put(60,160){\circle*2} \put(60,40){\line(1,0){60}} \put(60,40){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i-1,0)$ }}} \put(60,80){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i,0)$ }}} \put(60,120){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i+1,0)$ }}} \put(60,160){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,i+2,0)$ }}} \put(120,40){\circle*2} \put(120,80){\circle*2} \put(120,120){\circle*2} \put(120,160){\circle*2} \put(120,40){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i-1,0)$}}} \put(120,80){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i,0)$}}} \put(120,120){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i+1,0)$}}} \put(120,160){\raisebox{-0.4ex}{\hbox{ $(1,i+2,0)$}}} \put(60,160){\line(1,0){60}} \put(60,80){\line(1,0){10}} \put(60,120){\line(1,0){10}} \put(120,80){\line(-1,0){10}} \put(120,120){\line(-1,0){10}} \put(70,80){\line(1,1){40}} \put(70,120){\line(1,-1){15}} \put(110,80){\line(-1,1){15}} \end{picture} \end{array}$$ \end{figure} В ней имеют место равенства: \begin{align} \label{iso1} \alpha_i\beta_{i+1}&=1,\\ \label{iso3} \alpha_{i+1}\beta_i&=1,\\ \label{iso4} \alpha_i\alpha_{i+j+1}&=\alpha_{i+j-1}\alpha_i\\ \label{iso5} \alpha_i\beta_{i+j+1}&=\beta_{i+j-1}\alpha_i,\\ \label{iso6} \beta_i\beta_{i+j-1}&=\beta_{i+j+1}\beta_i\\ \label{iso7} \beta_i\alpha_{i+j-1}&=\alpha_{i+j+1}\beta_{i},\\ \label{iso8} \alpha_i\sigma_{i+j+1}&=\sigma_{i+j-1}\alpha_i,\\ \label{iso9} \alpha_{i+j+1}\sigma_i&=\sigma_i\alpha_{i+j+1},\\ \label{iso12} \beta_i\sigma_{i+j-1}&=\sigma_{i+j+1}\beta_i,\\ \label{iso13} \beta_{i+j+1}\sigma_i&=\sigma_i\beta_{i+j+1},\\ \label{iso10} \sigma_i\sigma_{i+j+1}&=\sigma_{i+j+1}\sigma_i,\\ \label{iso11} \alpha_i\sigma_{i+1}^{\pm1}\beta_{i+2}&=\sigma_i^{\mp1},\\ \label{iso2} \alpha_{i+2}\sigma_{i+1}^{\pm1}\beta_i&=\sigma_i^{\mp1},\\ \label{r1} \alpha_i\sigma_{i+1}^{\pm1}\beta_i&=1,\\ \label{r2} \alpha_{i+1}\sigma_i^{\pm1}\beta_{i+1}&=1,\\ \label{r3} \sigma_{i}\sigma_i^{-1}=\sigma_i^{-1}\sigma_i&=1,\\ \label{r4} \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i&=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}, \end{align} где $i,j>0$. Они могут быть взяты за набор определяющих соотношений полугруппы $T$. \end{lemma} Это утверждение не содержит ничего нового по сравнению с аналогичным утверждением о порождающих соотношениях для категории плетений (см.~\cite{tur89}). Соотношения~(\ref{iso1})--(\ref{iso2}) отвечают изотопиям диаграмм плетений, соотношения~(\ref{r1}), (\ref{r2}) --- движению Райдемайстера типа~I, соотношения~(\ref{r3}) и (\ref{r4}) --- движениям Райдемайстера типов II и III соответственно. \vskip1em \noindent{\bf Замечание.} Понятие плетения можно было бы обобщить немного по-другому, добавив к концевым точкам также точки $(0,i,0),(1,i,0)$, для которых $i\le0$. Полученная в этом случае полугруппа плетений уже является конечно порожденной ввиду соотношений $$\begin{aligned} \tau^i\alpha_1\tau^{-i}&=\alpha_{i+1},\\ \tau^i\beta_1\tau^{-i}&=\beta_{i+1},\\ \tau^i\sigma_1^{\pm1}\tau^{-i}&=\sigma_{i+1}^{\pm1}, \end{aligned}$$ где $\tau$ --- плетение, показанное на рис.~\ref{shift}. \begin{figure}\caption{Плетение $\tau$}\label{shift} \centerline{\begin{picture}(180,220) \put(30,20){\circle*2} \put(30,60){\circle*2} \put(30,100){\circle*2} \put(30,140){\circle*2} \put(30,180){\circle*2} \put(150,20){\circle*2} \put(150,60){\circle*2} \put(150,100){\circle*2} \put(150,140){\circle*2} \put(150,180){\circle*2} \put(30,20){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,-2,0)$ }}} \put(30,60){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,-1,0)$ }}} \put(30,100){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,0,0)$ }}} \put(30,140){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,1,0)$ }}} \put(30,180){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{\hss$(0,2,0)$ }}} \put(150,20){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{ $(1,-2,0)$\hss}}} \put(150,60){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{ $(1,-1,0)$\hss}}} \put(150,100){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{ $(1,0,0)$\hss}}} \put(150,140){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{ $(1,1,0)$\hss}}} \put(150,180){\raisebox{-0.4ex}{\hbox to 0pt{ $(1,2,0)$\hss}}} \put(30,20){\line(3,-1){70}} \put(30,60){\line(3,-1){120}} \put(30,100){\line(3,-1){120}} \put(30,140){\line(3,-1){120}} \put(30,180){\line(3,-1){120}} \put(150,180){\line(-3,1){70}} \end{picture}} \end{figure} Однако, для нее не существует конечного набора определяющих соотношений. \section{Плетения, вложенные в книгу}\label{yinfty} Здесь мы определим полугруппу $Y_\infty$, в которую полугруппа $T$ может быть вложена. Сама полугруппа $Y_\infty$ также не является конечно порожденной, но она нужна нам для дальнейших построений конечно определенных полугрупп, которые будут подполугруппами в $Y_\infty$. Обозначим через $P_k$ ($k\in\integer$) полуплоскость \begin{equation} \{(x,y,z)\in\real^3|\;y\ge0,z=ky\} \end{equation} и рассмотрим часть объединения этих плоскостей, лежащую в области~(\ref{slice}): \begin{equation} \book=\slice\cap\Bigl(\bigcup\limits_{k\in\integer}P_k\Bigr). \end{equation} Множество $\book$ естественно назвать книгой, а прямую $y=z=0$ --- линией переплета. Обозначим через $E^0_{k,l}$ и $E^1_{k,l}$, где $k,l\in\integer$, $l>0$ следующие точки, лежащие на границе книги $\book$: \begin{equation} E^0_{k,l}=(0,l,kl),\quad E^1_{k,l}=(1,l,kl). \end{equation} Плетением в книге $\book$ назовем любое PL-подмногообразие $t$ в $\slice$, удовлетворяющее следующим условиям: \begin{enumerate} \item $\partial t=t\cap\partial\slice= \{E^0_{k,l},E^1_{k,l}\}_{k,l\in\integer\,,l>0}$; \item\label{cond1} $t$ целиком содержится в $\book$; \item $t$ трансверсально линии переплета, т.~е.\ имеет с ней лишь конечное число точек пересечения, которые не могут быть устранены малым шевелением плетения $t$ без нарушения условия~\ref{cond1}; \item ограничение координаты $x$ на каждую связную компоненту пересечения $t\cap P_i$ является монотонной функцией для всех $i\in\integer$. \end{enumerate} Такие плетения мы называем эквивалентными, если они объемлемо изотопны в $\slice$ (но не обязательно в $\book$!). Композиция плетений в книге $\book$ определяется точно так же, как и в случае обычных плетений. По отношению к композиции изотопические классы плетений в $\book$ образуют полугруппу с единицей $$I=\bigcup\limits_{k,l\in\integer,l>0}[E^0_{k,l},E^1_{k,l}].$$ Эту полугруппу мы и обозначим через $Y_\infty$. Плетения в книге $\book$ мы в дальнейшем называем просто плетениями. Для каждого $n\ge3$ подполугруппу в $Y_\infty$, состоящую из изотопических классов плетений $t$ таких, что $t\cap\intP_k=I\cap\intP_k$ при $k<0$ или $k>n-1$ обозначим через $Y_n$. Здесь через $\intP_k$ мы обозначаем полуплоскость $P_k$ без границы: $\intP_k=\{(x,y,z)\in\real^3|\;y>0,z=ky\}$. Заметим, что каждое плетение $t$ изотопно некоторому плетению $t'$, для которого найдутся $N_1,N_2\in\integer$ такие, что $t'\cap\intP_k=I\cap\intP_k$ при $kN_2$. Кроме того, плетение $t'$ можно выбрать таким, чтобы для достаточно большого $N_3$ и некоторых целых $n_k$, $k\in\integer$, отрезки $[E^0_{k,n},E^1_{k,n+n_k}]$ целиком содержались в $t'$ при $n>N_3$. Легко видеть, что определенное таким образом отображение $\varphi:Y_\infty\rightarrow\integer^\integer$ \begin{equation} \varphi(t)=(\dots,n_{-2},n_{-1},n_0,n_1,n_2,\dots) \end{equation} является гомоморфизмом полугрупп. За меру сложности $m(t)$ произвольного плетения $t$ в книге $\book$ естественно взять число точек пересечения плетения $t$ с линией переплета. Рассмотрим простейшие нетождественные плетения, т.~е.\ плетения, имеющие сложность $1$. Если $m(t)=1$, то, как легко видеть, ровно для двух значений $i\in\integer$ пересечение $t\cap\intP_i$ не изотопно пересечению $I\cap\intP_i$. Для этих двух исключительных значений $i$ мы имеем $\varphi(t)_i=\pm1$. При этом если $\varphi(t)_i=1$, то в полуплоскости $P_i$ плетение $t$ имеет следующие компоненты (с точностью до изотопии): $$t\cap P_i=\Bigl(\bigcup\limits_{l>0}[E^0_{i,l},E^1_{i,l+1}]\Bigr) \cup[A,E^1_{i,1}],$$ где $A$ --- единственная точка пересечения плетения $t$ с линией переплета. В случае $\varphi(t)_i=-1$, $m(t)=1$, мы имеем (с точносью до изотопии в $P_i$): $$t\cap P_i=\Bigl(\bigcup\limits_{l>0}[E^0_{i,l+1},E^1_{i,l}]\Bigr) \cup[E^0_{i,1},A].$$ Обозначим через $a_i,b_i,c_i,d_i$ элементы группы $Y_\infty$, представленные плетениями сложности $1$ и такие, что \begin{equation} \begin{aligned} \varphi(a_i)_j&=\phantom-\delta_{i-1,j}+\delta_{i,j},\\ \varphi(b_i)_j&=\phantom-\delta_{i-1,j}-\delta_{i,j},\\ \varphi(c_i)_j&=-\delta_{i-1,j}-\delta_{i,j},\\ \varphi(d_i)_j&=-\delta_{i-1,j}+\delta_{i,j}. \end{aligned} \end{equation} Здесь $\delta_{i,j}$ --- символ Кронекера. Нарисовав соответствующие картинки, нетрудно убедиться, что в полугруппе $Y_\infty$ выполнены следующие соотношения: \begin{align} \label{rel1} a_id_{i+1}&=a_{i+1}b_i,\\ \label{rel2} d_ic_{i+1}&=b_{i+1}c_i,\\ \label{rel4} a_id_i&=a_{i+1}b_{i+1},\\ \label{rel5} b_ic_i&=d_{i+1}c_{i+1},\\ \label{rel8} a_ib_ic_id_i&=1,\\ \label{rel3} b_id_i=d_ib_i&=1,\\ \label{rel6} x_iy_j&=y_jx_i,\\ \label{rel7} x_id_{i-1}d_id_{i+1}&=d_{i-1}d_id_{i+1}x_i \end{align} для всех $i,j\in\integer$ таких, что $|i-j|>1$ и $x_i\in\{a_i,b_i,c_i,d_i\}$, $y_j\in\{a_j,b_j,c_j,d_j\}$. \begin{theorem}\label{y.infty} Элементы $\{a_i,b_i,c_i,d_i\}_{i\in\integer}$ порождают полугруппу $Y_\infty$. Соотношения {\rm(\ref{rel1})--(\ref{rel7})\/} могут быть взяты за набор определяющих соотношений полугруппы $Y_\infty$. \end{theorem} \доказательство Докажем сначала простую часть теоремы, а именно, что полугруппа $Y_\infty$ порождается указанными элементами. Действительно, произвольное плетение можно разрезать плоскостями вида $x={\rm const}$ на плетения сложности $1$. Поэтому достаточно показать, что любое плетение сложности $1$ представляется с точностью до изотопии как композиция наших образующих. Пусть плетение $t$ сложности $m(t)=1$, таково, что $$\varphi(t)_i=\varphi(t)_j=1,$$ где $j>i$. Тогда оно изотопно плетению $$a_{i+1}d_{i+2}d_{i+3}\cdots d_j.$$ Если $m(t)=1$ и $$\varphi(t)_i=-\varphi(t)_j=1,$$ $j>i$, то $t$ эквивалентно плетению $$b_jb_{j-1}\cdots b_{i+1}.$$ Остальные два случая рассматриваются аналогично. Оставшаяся часть этого параграфа посвящена доказательству достаточности соотношений~(\ref{rel1})--(\ref{rel7}) для реализации любой изотопии между плетениями в книге $\book$. Схема доказательства выглядит следующим образом. Согласно соотношению~(\ref{rel3}) элементы $b_i$ и $d_i$ являются взаимно обратными. Поэтому эквивалентностьь двух слов $w_1$ и $w_2$ в алфавите $A=\{a_i,b_i,c_i,d_i\}_{i\in\integer}$ по модулю соотношений~(\ref{rel1})--(\ref{rel7}) равносильна эквивалентности слов $b_iw_1$ и $b_iw_2$, а также $d_iw_1$ и $d_iw_2$, $w_1b_i$ и $w_2b_i$, $w_1d_i$ и $w_2d_i$. Мы покажем, что для любого слова $w$ можно найти такие слова $u$ и $v$, содержащие лишь буквы вида $b_i$ и $d_i$, $i\in\integer$, что слово $uwv$ эквивалентно по модулю соотношений~(\ref{rel1})--(\ref{rel7}) некоторому слову, задающему элемент из специальной подполугруппы в $Y_\infty$, которая изоморфна $T$. Мы докажем, что определяющие соотношения~(\ref{iso1})--(\ref{r4}) полугруппы $T$ вытекают из~(\ref{rel1})--(\ref{rel7}). Для $i\in\integer$ слово $w=x_1x_2\dots x_n$, где $x_1,\dots,x_n\in A$ назовем $i$-{\it сбалансированным}, если $$\varphi(w)_i=0$$ и для всех $k=1,\dots,n$ выполнено неравенство $$\varphi(x_1\dots x_k)_i\ge0.$$ На геометрическом языке $i$-сбалансированность слова $w$, соответствующего плетению $t\subset\book$ означает, что каждая компонента пересечения $t\cap\intP_i$ либо соединяет точки вида $E_{i,m}^0$ и $E_{i,m}^1$, либо соединяет две вершины плетения $t$, лежащие на линии переплета. Для любого $\varepsilon>0$ любое $i$-сбалансированное плетение объемлемео изотопно в $\book$ такому плетению $t'$, что в полуплоскости $P_i\cap\{y\ge\varepsilon\}$ плетение $t'$ не отличается от тождественного. Удобна также следующая интерпретация $i$-сбалансированности. Для данных слова $w$ в алфавите $A$ и целого $i$ заменим каждую букву $x$ на открывающую скобку, если $\varphi(x)_i=1$, на закрывающую скобку, если $\varphi(x)_i=-1$, и на пробел, если $\varphi(x)_i=0$. Слово $w$ является $i$-сбалансированным тогда и только тогда, когда полученная последовательность скобок сбалансирована. Пусть $\widetilde T$ --- подполугруппа полугруппы $Y_\infty$, состоящая из всех изотопических классов плетений, являющихся $i$-сбалансированными для всех $i\ne 0$. \begin{lemma} Полугруппа $\widetilde T$ изоморфна полугруппе $T$, введенной в {\rm\S\ref{standard_tangles}}. \end{lemma} \доказательство Легко видеть, что если плетение $t$ является $i$-сбалансированным для всех $i\ne0$, то объемлемой изотопией в $\book$ его можно привести к виду такому, что $$t\cap\{|z|\ge1/2\}=I\cap\{|z|\ge1/2\}.$$ Отбрасывание ``тривиальной'' части плетения $t$, лежащей в области $|z|\ge1/2$, мы получаем плетение с границей $\{E^0_{0,k},E^1_{0,k}\}_{k>0}$, которое задает некоторый элемент из $T$. Таким образом, мы получаем отображение $\xi:\widetilde T\rightarrow T$. Очевидно, что это отображение инъективно. Построим обратное отображение, для чего укажем образы элементов $\alpha_i,\beta_i,\sigma_i^{\pm1}$, $i>0$, порождающих полугруппу $T$, при отображении $\xi^{-1}$: \begin{align} \label{image1} \alpha_i&\mapsto d_1^{i-1}a_1b_1^i\\ \label{image2} \beta_i&\mapsto d_1^ic_1b_1^{i-1}\\ \label{image3} \sigma_i&\mapsto d_1^{i-1}b_0d_1d_0b_1^i\\ \label{image4} \sigma_i^{-1}&\mapsto d_1^ib_0b_1d_0b_1^{i-1}. \end{align} Тот факт, что плетения, стоящие в правых частях этих формул, переходят при отображении $\xi$ в образующие $\alpha_i,\beta_i,\sigma_i^{\pm1}$, показанные на рисунке~\ref{generators}, проверяется непосредственно. Далее мы отождествляем полугруппы $\widetilde T$ и $T$, считая $T$ подполугруппой в $Y_\infty$. \begin{lemma}\label{razlozh} Если слово $w$ в алфавите $A$ является $i$-сбалансированным для всех $i\ne0$, то по модулю соотношений~{\rm(\ref{rel1})--(\ref{rel7})\/} оно эквивалентно некоторому слову вида \begin{equation}\label{product} x_1\dots x_m, \end{equation} где $x_1,\dots,x_m\in\{d_1^{i-1}a_1b_1^i,d_1^ic_1b_1^{i-1}, d_1^{i-1}b_0d_1d_0b_1^i,d_1^ib_0b_1d_0b_1^{i-1}\}_{i>0}$. \end{lemma} \доказательство Для начала мы покажем, что применением соотношений~(\ref{rel1})--(\ref{rel7}) к слову $w$ можно избавиться в нем от всех вхождений букв $a_i,b_i,c_i,d_i$ при $i\ne 0,1$. Обозначим через $A_i$ множество $\{a_i,b_i,c_i,d_i\}$. Пусть $N$ --- максимальное $i$ такое, что слово $w$ содержит буквы из $A_i$, и пусть $N>1$. Соотношения~(\ref{rel4}), (\ref{rel5}) и (\ref{rel3}) влекут: $$\begin{aligned} a_N&=a_Nb_Nd_N=a_{N-1}d_{N-1}d_N\\ c_N&=b_Nd_Nc_N=b_Nb_{N-1}c_{N-1}. \end{aligned}$$ Таким образом, применение этих соотношений позволяет избавиться в слове $w$ от букв $a_N,c_N$. При этом слово $w$ будет оставаться $i$-сбалансированным при $i\ne0$. Действительно, на ``скобочном'' языке упомянутые замены выглядят следующим образом: $$\begin{aligned} i&=N-2:\qquad&&{\lefteqn\varnothing\phantom(}\quad\rightarrow\quad {\lefteqn\varnothing \phantom(\ \phantom(\ \phantom(}\quad\rightarrow\quad (\ )\\ i&=N-1:\qquad&&{(}\quad\rightarrow\quad {(\ (\ )}\quad\rightarrow\quad(\ (\ )\quad,\\ i&=N:\qquad&& {(}\quad\rightarrow\quad{(\ )\ (}\quad\rightarrow\quad \phantom(\ \phantom(\ ( \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} i&=N-2:\qquad&&{\lefteqn\varnothing\phantom(}\quad\rightarrow\quad {\lefteqn\varnothing \phantom(\ \phantom(\ \phantom(}\quad\rightarrow\quad \phantom(\ (\ )\\ i&=N-1:\qquad&&{)}\quad\rightarrow\quad {(\ )\ )}\quad\rightarrow\quad(\ )\ )\quad.\\ i&=N:\qquad&& {)}\quad\rightarrow\quad{)\ (\ )}\quad\rightarrow\quad{)} \end{aligned}$$ Теперь избавимся от вхождений букв $b_N,d_N$. В силу $N$-сбалансированности слова $w$ последняя буква в нем не может быть $d_N$ и количество вхождений $b_N$ и $d_N$ совпадает. Найдем последнее вхождение буквы $d_N$ в $w$. Пусть $x$ --- следующая за $d_N$ буква. Возможны следующие три случая. 1) $x=b_N$. В этом случае мы удаляем подслово $d_Nb_N$. 2) $x\in A_{N-1}$. Произведем следующие замены: $$d_Nx\mapsto b_{N-1}b_{N-2}d_{N-2}d_{N-1}d_Nx\mapsto b_{N-1}b_{N-2}xd_{N-2}d_{N-1}d_N.$$ 3) $x\in A_i$, где $i\le N-2$. Поменяем местами $d_N$ и $x$. \\ Во всех трех случаях $i$-сбалансированность слова $w$ при $i\ne0$ сохраняется. В случае~1) количество вхождений буквы $d_N$ (а также буквы $b_N$) уменьшается на~$1$. В случаях~2) и 3) количество вхождений буквы $d_N$ в $w$ сохраняется, но уменьшается число букв, следующих за последней буквой $d_N$. Поэтому за конечное число таких преоразований мы получим слово, которое не содержит букв $b_N,d_N$. Итак, применяя указанную выше процедуру, мы можем добиться того, чтобы слово $w$ содержало лишь буквы из $A_i$, где $i\le1$. Аналогичным образом, с помощью преобразований $$\begin{aligned} a_N&\mapsto a_Nd_Nb_N\mapsto a_{N+1}b_{N+1}b_N,\\ c_N&\mapsto c_Nb_Nd_N\mapsto c_{N+1}d_{N+1}d_N,\\ b_Nd_N&\mapsto\varnothing,\\ xd_N&\mapsto xd_Nd_{N+1}d_{N+2}b_{N+2}b_{N+1}\mapsto d_Nd_{N+1}d_{N+2}xb_{N+2}b_{N+1},\quad x\in A_{N+1},\\ xd_N&\mapsto d_Nx,\quad x\in A_i,\quad i\ge N+2, \end{aligned}$$ где $N<0$, можно добиться того, чтобы слово $w$ не содержало букв из $A_i$ при $i<0$. При этих преобразованиях в слове $w$ будут добавлены лишь буквы $b_0,d_0,b_1,d_1$. С помощью замен $$\begin{aligned} a_0&\mapsto a_0d_0b_0\mapsto a_1b_1b_0,\\ c_0&\mapsto c_0b_0d_0\mapsto c_1d_1d_0 \end{aligned}$$ мы получим слово, которое содержит лишь буквы $b_0,d_0,a_1,b_1,c_1,d_1$ и по-прежнему является $i$-сбалансированным для всех $i\ne0$. Таким образом, осталось доказать лемму в случае, когда слово $w$ содержит только буквы $b_0,d_0,a_1,b_1,c_1,d_1$ и является $(-1)$-сбаласированным и $1$-сбалансированным. По определению, $(-1)$-сбалансированность означает, что если заменить в слове $w$ все $b_0$ на открывающую скобку, а все $d_0$ --- на закрывающую, то получится выражение со сбалансированными скобками. Назовем {\it глубиной\/} слова $w$ максимальное значение $\varphi(u)_{-1}$, взятое по всевозможным разложениям $w$ в произведение $w=uv$ двух подслов. Иначе говоря, глубина --- это максимальный уровень вложенности скобок в выражении, которое получается заменой всех $b_0$ на левую скобку, а всех $d_0$ --- на правую. Очередная наша цель --- применением соотношений (\ref{rel1})--(\ref{rel7}) добиться того, чтобы наше слово имело глубину $1$ или $0$. Предположим, что глубина слова $w$ превосходит $1$. Тогда для всех $x,y\in A_1$ будем делать в $w$ следующие замены пока это возможно: $$\begin{aligned} b_0xy&\mapsto b_0xd_0b_0y,\\ b_0^2xd_0b_0&\mapsto b_0^2xd_0^2b_0^2,\\ b_0^2xd_0y&\mapsto b_0^2xd_0^2b_0y. \end{aligned}$$ При этих заменах сохраняется и $(-1)$-сбалансированность, и значение глубины слова $w$. Легко видеть, что, так как по предположению глубина слова $w$ больше $1$, после таких замен обязательно появятся подслова вида \begin{equation}\label{b2xd2} b_0^2xd_0^2,\quad\mbox{где }x\in A_1 \end{equation} С каждым таким подсловом произведем следующую цепочку преобразований, каждое из которых получено применением одного или нескольких соотношений (\ref{rel1})--(\ref{rel7}): $$\begin{aligned} b_0^2a_1d_0^2&\mapsto b_0\bigl(b_0a_1(d_0d_1d_2)b_2b_1\bigr)d_0\\ &\mapsto b_0\bigl(b_0(d_0d_1d_2)a_1b_2b_1)d_0\\ &\mapsto b_0\bigl(d_1d_2a_1b_2b_1\bigr)d_0\\ &\mapsto b_0b_{-1}d_{-1}\bigl(d_1d_2a_1b_2b_1\bigr)d_0\\ &\mapsto b_0b_{-1}\bigl(d_1d_2a_1b_2b_1\bigr)d_{-1}d_0\\ &\mapsto b_0b_{-1}\bigl(b_0a_1d_0\bigr)d_{-1}d_0\\ &\mapsto b_0b_{-1}b_{-2}d_{-2}\bigl(b_0a_1d_0\bigr)d_{-1}d_0\\ &\mapsto b_0b_{-1}b_{-2}b_0a_1d_0d_{-2}d_{-1}d_0\\ &\mapsto b_0b_{-1}b_{-2}b_0a_0d_0d_1d_0d_{-2}d_{-1}d_0\\ &\mapsto b_0b_{-1}b_{-2}b_0a_0b_{-1}(d_{-1}d_0d_1)d_0d_{-2}d_{-1}d_0\\ &\mapsto b_0b_{-1}b_{-2}b_0a_0b_{-1}d_0(d_{-1}d_0d_1)(d_{-2}d_{-1})d_0\\ &\mapsto b_0b_{-1}b_{-2}b_0a_0b_{-1}d_0d_{-1}d_0(d_{-2}d_{-1})d_1d_0\\ &\mapsto b_0b_{-1}b_{-2}b_0a_0b_{-1}d_0d_{-1}d_0(d_{-2}d_{-1}d_0d_1)b_1b_0d_1d_0\\ &\mapsto b_0b_{-1}b_{-2}(d_{-2}d_{-1}d_0d_1)b_0a_0b_{-1}d_0d_{-1}d_0b_1b_0d_1d_0\\ &\mapsto d_1b_0a_0b_{-1}d_0d_{-1}d_0b_1b_0d_1d_0\\ &\mapsto d_1b_0a_0b_{-1}d_0(d_{-1}d_0d_1)b_1b_1b_0d_1d_0\\ &\mapsto d_1b_0a_0b_{-1}(d_{-1}d_0d_1)d_0b_1b_1b_0d_1d_0\\ &\mapsto d_1b_0(a_0d_0d_1)d_0b_1b_1b_0d_1d_0\\ &\mapsto d_1b_0a_1d_0b_1^2b_0d_1d_0; \end{aligned}$$ заменяя в этих формулах $a_1$ на $d_1$ и $a_0$ на $b_0$, получим цепочку преобразований $$b_0^2d_1d_0^2\mapsto d_1b_0d_1d_0b_1^2b_0d_1d_0;$$ меняя во всех словах порядок букв на обратный и заменяя $a_i,b_i,c_i,d_i$ на $c_i,d_i,a_i,b_i$ соответственно, получим преобразования $$\begin{aligned} b_0^2c_1d_0^2&\mapsto b_0b_1d_0d_1^2b_0c_1d_0b_1,\\ b_0^2b_1d_0^2&\mapsto b_0b_1d_0d_1^2b_0b_1d_0b_1, \end{aligned}$$ которые также получаются последовательным применением соотношений (\ref{rel1})--(\ref{rel7}). Все указанные преобразования сохраняют $i$-сбалансированность при $i\ne0$. Применив указанные преобразования ко всем подсловам вида~(\ref{b2xd2}), получим слово меньшей глубины. Повторив процедуру достаточное число раз, мы получим слово глубины $1$, т.~е.\ разлагаемое в произведение подслов из следующего списка: $$a_1,\quad b_1,\quad c_1,\quad d_1,\quad b_0a_1d_0,\quad b_0b_1d_0,\quad b_0c_1d_0,\quad b_0d_1d_0.$$ С помощью преобразований $$\begin{aligned} b_0a_1d_0&\mapsto b_0(a_1d_2)b_2d_0\\ &\mapsto b_0(a_2b_1)b_2d_0\\ &\mapsto a_2b_0b_1b_2d_0\\ &\mapsto (a_2b_1)d_1b_0b_1b_2d_0\\ &\mapsto (a_1d_2)d_1b_0b_1b_2d_0\\ &\mapsto (a_1b_1)b_0(d_0d_1d_2)d_1b_0b_1b_2d_0\\ &\mapsto (a_0d_0)b_0d_1(d_0d_1d_2)b_0b_1b_2d_0\\ &\mapsto (a_0d_1)d_0d_1b_0d_2b_1b_2d_0\\ &\mapsto (a_1b_0)d_0d_1b_0b_1b_0(d_0d_1d_2)b_1b_2d_0\\ &\mapsto a_1d_1b_0b_1b_0b_1(d_0d_1d_2)b_2d_0\\ &\mapsto a_1d_1b_0b_1b_0b_1d_0d_1d_0\\ &\mapsto a_1d_1b_0b_1d_0(b_0^2b_1d_0^2)b_0d_1d_0\\ &\mapsto a_1d_1b_0b_1d_0(b_0b_1d_0d_1^2b_0b_1d_0b_1)b_0d_1d_0\\ &=a_1d_1(b_0b_1d_0)(b_0b_1d_0)d_1^2(b_0b_1d_0)b_1(b_0d_1d_0) \end{aligned}$$ и аналогичной цепочки, дающей преобразование $$b_0^2c_1d_0^2\mapsto (b_0b_1d_0)d_1(b_0d_1b_0)b_1^2(b_0d_1d_0)(b_0d_1d_0)b_1c_1,$$ примененных ко всех подсловам вида $b_0a_1d_0$ и $b_0c_1d_0$, получаем слово, которое раскладывается в произведение подслов из меньшего списка: $$a_1,\quad b_1,\quad c_1,\quad d_1,\quad b_0b_1d_0,\quad b_0d_1d_0.$$ Это слово мы по-прежнему обозначаем через $w$. Пусть $$w=y_1\dots y_m,$$ где $y_1,\dots,y_m\in\{a_1,b_1,c_1,d_1,b_0b_1d_0,b_0d_1d_0\}$ --- соответствующее разложение. При всех указанных выше преобразованиях слово $w$ оставалось $1$-сбалансированным. Это значит, что если заменить все подслова вида $a_1,d_1,b_0d_1d_0$ на открывающую скобку, а подслова $b_1,c_1,b_0c_1d_0$ --- на закрывающую, то получится строка сбалансированных скобок. Это значит, что найдутся такие $i_1,\dots,i_{m-1}\ge0$, что все слова $$\begin{aligned} x_1&=y_1b_1^{i_1},\\ x_2&=d_1^{i_1}y_2b_1^{i_2},\\ &\;\;\vdots\\ x_{m-1}&=d_1^{i_{m-2}}y_{m-1}b_1^{i_{m-1}},\\ x_m&=d_1^{i_{m-1}}y_m \end{aligned}$$ являются $1$-сбалансированными. При этом слово $x_1\dots x_m$, эквивалентно слову $w$ по модулю соотношений (\ref{rel3}). Удаляя в каждом из $x_j$ подслова вида $d_1^kb_1^k$, получим слова из требуемого множества $$\{d_1^{i-1}a_1b_1^i,d_1^ic_1b_1^{i-1}, d_1^{i-1}b_0d_1d_0b_1^i,d_1^ib_0b_1d_0b_1^{i-1}\}_{i>0},$$ а также некоторое количество слов $\varnothing$. Лемма~\ref{razlozh} доказана.\доказано Вернемся к доказательству теоремы~\ref{y.infty}. Пусть два слова $w_1,w_2$ в алфавите $A$ соответствуют изотопным плетениям. Мы хотим доказать, что они получаются друг из друга применением соотношений~(\ref{rel1})--(\ref{rel7}). Очевидно, мы имеем $\varphi(w_1)=\varphi(w_2)$. Очевидно также, что из букв $\{b_i,d_i\}$ можно составить такое слово $u$, что $\varphi(u)_i=-\varphi(w_1)_i$ для всех $i\ne0$. Мы имеем: $$\varphi(w_1u)_i=\varphi(w_2u)=0,\quad\mbox{для всех }i\ne0.$$ Отсюда легко видеть, что для достаточно большого $N$ слова $$w_j'= d_1^{N^2}\dots d_{N-1}^{2N}d_N^Nb_0^{N^2}\dots b_{2-N}^{2N}b_{1-N}^N w_jud_{1-N}^Nd_{2-N}^{2N}\dots d_0^{N^2}b_N^Nb_{N-1}^{2N}\dots b_1^{N^2},$$ где $j=1,2$ являются $i$-сбалансированными для всех $i\ne0$. В силу соотношений~(\ref{rel3}) слова $w_1$ и $w_2$ эквивалентны по модулю соотношений~(\ref{rel1})--(\ref{rel7}) тогда и только тогда, когда то же самое можно сказать про слова $w_1'$ и $w_2'$. Таким образом, достаточно доказать наше утверждение в случае, когда слова $w_1$ и $w_2$ являются $i$-сбалансированными при всех $i\ne0$. В этом случае, согласно лемме~\ref{razlozh}, с помощью соотношений~(\ref{rel1})--(\ref{rel7}) оба эти слова можно разложить в произведение образующих~(\ref{image1})--(\ref{image4}) подполугруппы $T\in Y_\infty$. Поэтому осталось лишь доказать, что соотношения~(\ref{iso1})--(\ref{r4}), определяющие плугруппу $T$, вытекают из соотношений~(\ref{rel1})--(\ref{rel7}) при отождествлениях~(\ref{image1})--(\ref{image4}). Мы посвятим этой проверке следующий параграф.\доказано \section{Проверка соотношений}\label{checking} Итак, здесь мы проверим, что соотношения~(\ref{iso1})--(\ref{r4}) для элементов~(\ref{image1})--(\ref{image4}) выполнены в силу~(\ref{rel1})--(\ref{rel7}). Соотншонение~(\ref{iso1}): $$\begin{aligned} \alpha_i\beta_{i+1}&=d_1^{i-1}a_1b_1^id_1^{i+1}c_1b_1^i\\ &=d_1^{i-1}(a_1d_1c_1b_1)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(a_1(b_0c_0)b_1)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(a_1d_2b_2(b_0c_0)b_1)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(a_1d_2(b_0c_0)b_2b_1)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(a_1d_2(d_1c_1)b_2b_1)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(a_1b_1b_0(d_0d_1d_2)d_1c_1b_2b_1)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(a_1b_1b_0d_1c_1(d_0d_1d_2)b_2b_1)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}((a_1b_1)b_0(d_1c_1)d_0)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}((a_0d_0)b_0(b_0c_0)d_0)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(a_0b_0c_0d_0)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}b_1^{i-1}\\ &=1. \end{aligned}$$ Заметим, что попутно мы доказали соотношение $$b_ia_id_ic_i=1,$$ симметричное соотношению~(\ref{rel8}). Соотношение~(\ref{iso3}): $$\begin{aligned} \alpha_{i+1}\beta_i&=d_1^ia_1b_1^{i+1}d_1^ic_1b_1^{i-1}\\ &=d_1^ia_1b_1c_1b_1^{i-1}\\ &=d_1^i(a_1b_1c_1d_1)b_1^i\\ &=d_1^ib_1^i\\ &=1. \end{aligned}$$ Докажем теперь следующие вспомогательные соотношения: \begin{align} \label{aux1} d_1^{i-1}a_1b_1^i&=b_0^{i-1}a_0d_0^i,\\ \label{aux2} d_1^ic_1b_1^{i-1}&=b_0^ic_0d_0^{i-1}, \end{align} $i>0$. Для этого воспользуемся индукцией. При $i=1$ эти соотношения совпадают с~(\ref{rel4}), (\ref{rel5}). Для $i>1$ имеем: $$\begin{aligned} d_1^{i-1}a_1b_1^i&=d_1(d_1^{i-2}a_1b_1^{i-1})b_1\\ &=d_1(d_1^{i-2}a_1b_1^{i-1})b_1\\ &=d_1(b_0^{i-2}a_0d_0^{i-1})b_1\\ &=b_0b_{-1}(d_{-1}d_0d_1)(b_0^{i-2}a_0d_0^{i-1})b_1\\ &=b_0b_{-1}(b_0^{i-2}a_0d_0^{i-1})(d_{-1}d_0d_1)b_1\\ &=b_0b_{-1}(b_0^{i-2}a_0d_0^{i-1})d_{-1}d_0\\ &=b_0b_{-1}(d_1^{i-2}a_1b_1^{i-1})d_{-1}d_0\\ &=b_0(d_1^{i-2}a_1b_1^{i-1})b_{-1}d_{-1}d_0\\ &=b_0(b_0^{i-2}a_0d_0^{i-1})d_0\\ &=b_0^{i-1}a_0d_0^i. \end{aligned}$$ Аналогично доказывается соотношение~(\ref{aux2}). Докажем соотношение~(\ref{iso4}). $$\begin{aligned} \alpha_i\alpha_{i+j+1}&=d_1^{i-1}a_1b_1^id_1^{i+j}a_1b_1^{i+j+1}\\ &=d_1^{i-1}(a_1d_1)(d_1^{j-1}a_1b_1^j)b_1^{i+1}\\ &=d_1^{i-1}(a_2b_2)(b_0^{j-1}a_0d_0^j)b_1^{i+1}\\ &=d_1^{i-1}(b_0^{j-1}a_0d_0^j)(a_2b_2)b_1^{i+1}\\ &=d_1^{i-1}(d_1^{j-1}a_1b_1^j)(a_1d_1)b_1^{i+1}\\ &=d_1^{i+j-2}a_1b_1^ja_1b_1^i\\ &=(d_1^{i+j-2}a_1b_1^{i+j-1})(d_1^{i-1}a_1b_1^i)\\ &=\alpha_{i+j-1}\alpha_i. \end{aligned}$$ Аналогично, на этот раз с помощью~(\ref{aux2}), доказывается соотношение~(\ref{iso5}). Для~(\ref{iso6}) имеем: $$\begin{aligned} \beta_i\beta_{i+j-1}&=d_1^ic_1b_1^{i-1}d_1^{i+j-1}c_1b_1^{i+j-2}\\ &=d_1^{i+1}(b_1c_1)(d_1^jc_1b_1^{j-1})b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i+1}(d_2c_2)(b_0^jc_0d_0^{j-1})b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i+1}(b_0^jc_0d_0^{j-1})(d_2c_2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i+1}(d_1^jc_1b_1^{j-1})(b_1c_1)b_1^{i-1}\\ &=(d_1^{i+j+1}c_1b_{i+j})(d_1^ic_1b_1^{i-1})\\ &=\beta_{i+j+1}\beta_i. \end{aligned}$$ Аналогично доказывается соотношение~(\ref{iso7}). Для доказательства равенств~(\ref{iso8})--(\ref{iso10}) мы будем пользоваться следующими соотношениями (при $i>0$): \begin{align} \label{sigma1} b_0d_1d_0b_1=b_0^2b_{-1}d_0d_{-1}d_0=d_1d_2d_1b_2b_1^2,\\ \label{sigmai} d_1^{i-1}(b_0d_1d_0b_1)b_1^{i-1}=b_0^{i-1}(b_0d_1d_0b_1)d_0^{i-1}. \end{align} Докажем~(\ref{sigma1}): $$\begin{aligned} b_0^2b_{-1}d_0d_{-1}d_0&=b_0^2b_{-1}d_0(d_{-1}d_0d_1)b_1\\ &=b_0^2b_{-1}(d_{-1}d_0d_1)d_0b_1\\ &=b_0d_1d_0b_1\\ &=b_0d_1(d_0d_1d_2)b_2b_1^2\\ &=b_0(d_0d_1d_2)d_1b_2b_1^2\\ &=d_1d_2d_1b_2b_1^2. \end{aligned}$$ Соотношение~(\ref{sigmai}) докажем по индукции. При $i=1$ оно тривиально. Далее, имеем: $$\begin{aligned} d_1^{i-1}(b_0d_1d_0b_1)b_1^{i-1}&=d_1(d_1^{i-2}(b_0d_1d_0b_1)b_1^{i-2})b_1\\ &=d_1(b_0^{i-2}(b_0d_1d_0b_1)d_0^{i-2})b_1\\ &=d_1(b_0^{i-2}(b_0^2b_{-1}d_0d_{-1}d_0)d_0^{i-2})b_1\\ &=b_0b_{-1}b_{-2}(d_{-2}d_{-1}d_0d_1) (b_0^{i-2}(b_0^2b_{-1}d_0d_{-1}d_0)d_0^{i-2})b_1\\ &=b_0b_{-1}b_{-2}(b_0^{i-2}(b_0^2b_{-1}d_0d_{-1}d_0)d_0^{i-2}) (d_{-2}d_{-1}d_0d_1)b_1\\ &=b_0b_{-1}b_{-2}(b_0^{i-2}(b_0^2b_{-1}d_0d_{-1}d_0)d_0^{i-2}) d_{-2}d_{-1}d_0\\ &=b_0b_{-1}b_{-2}(d_1^{i-2}(b_0d_1d_0b_1)b_1^{i-2})d_{-2}d_{-1}d_0\\ &=b_0b_{-1}(d_1^{i-2}(b_0d_1d_0b_1)b_1^{i-2})d_{-1}d_0\\ &=b_0(d_1^{i-2}b_{-1}(b_0d_1d_0b_1)d_{-1}b_1^{i-2})d_0\\ &=b_0(d_1^{i-2}b_{-1}(d_1d_2d_1b_2b_1^2)d_{-1}b_1^{i-2})d_0\\ &=b_0(d_1^{i-2}(d_1d_2d_1b_2b_1^2)b_1^{i-2})d_0\\ &=b_0(d_1^{i-2}(b_0d_1d_0b_1)b_1^{i-2})d_0\\ &=b_0(b_0^{i-2}(b_0d_1d_0b_1)d_0^{i-2})d_0\\ &=b_0^{i-1}(b_0d_1d_0b_1)d_0^{i-1} \end{aligned}$$ Соотношение (\ref{iso8}): $$\begin{aligned} \alpha_i\sigma_{i+j+1}&=(d_1^{i-1}a_1b_1^i)(d_1^{i+j}b_0d_1d_0b_1^{i+j+1})\\ &=d_1^{i-1}(a_1d_1)(d_1^{j-1}(b_0d_1d_0b_1)b_1^{j-1})b_1^{i+1}\\ &=d_1^{i-1}(a_2b_2)(b_0^{j-1}(b_0d_1d_0b_1)d_0^{j-1})b_1^{i+1}\\ &=d_1^{i-1}(a_2b_2)(b_0^{j-1}(b_0^2b_{-1}d_0d_{-1}d_0)d_0^{j-1})b_1^{i+1}\\ &=d_1^{i-1}(b_0^{j-1}(b_0^2b_{-1}d_0d_{-1}d_0)d_0^{j-1})(a_2b_2)b_1^{i+1}\\ &=d_1^{i-1}(d_1^{j-1}(b_0d_1d_0b_1)b_1^{j-1})(a_1d_1)b_1^{i+1}\\ &=\sigma_{i+j-1}\alpha_i. \end{aligned}$$ Соотношение (\ref{iso9}): $$\begin{aligned} \alpha_{i+j+1}\sigma_i&=(d_1^{i+j}a_1b_1^{i+j+1})(d_1^{i-1}b_0d_1d_0b_1^i)\\ &=d_1^{i-1}(d_1^{j+2}a_1b_1^{j+2})b_0d_1d_0b_1^i\\ &=d_1^{i-1}(b_0^{j+1}a_0d_0^{j+2})b_0d_1d_0b_1^i\\ &=d_1^{i-1}b_0(b_0^ja_0d_0^{j+1})d_1d_0b_1^i\\ &=d_1^{i-1}b_0d_1(d_1^{j-1}a_1b_1^j)d_0b_1^i\\ &=d_1^{i-1}b_0d_1(b_0^{j-1}a_0d_0^j)d_0b_1^i\\ &=d_1^{i-1}b_0d_1d_0(b_0^ja_0d_0^{j+1})b_1^i\\ &=d_1^{i-1}b_0d_1d_0(d_1^ja_1b_1^{j+1})b_1^i\\ &=\sigma_i\alpha_{i+j+1}. \end{aligned}$$ Соотношения (\ref{iso12}) и (\ref{iso13}) доказываются подобным образом. Докажем (\ref{iso10}): $$\begin{aligned} \sigma_i\sigma_{i+j+1} &=(d_1^{i-1}b_0d_1d_0b_1^i)(d_1^{i+j}b_0d_1d_0b_1^{i+j+1})\\ &=d_1^{i-1}b_0d_1d_0(d_1^{j}(b_0d_1d_0b_1)b_1^j)b_1^i\\ &=d_1^{i-1}b_0d_1d_0(b_0^j(b_0d_1d_0b_1)d_0^j)b_1^i\\ &=d_1^{i-1}b_0d_1(b_0^{j-1}(b_0d_1d_0b_1)d_0^{j-1})d_0b_1^i\\ &=d_1^{i-1}b_0d_1(d_1^{j-1}(b_0d_1d_0b_1)b_1^{j-1})d_0b_1^i\\ &=d_1^{i-1}b_0(d_1^j(b_0d_1d_0b_1)b_1^j)d_1d_0b_1^i\\ &=d_1^{i-1}b_0(b_0^j(b_0d_1d_0b_1)d_0^j)d_1d_0b_1^i\\ &=d_1^{i-1}(b_0^{j+1}(b_0d_1d_0b_1)d_0^{j+1})b_0d_1d_0b_1^i\\ &=d_1^{i-1}(d_1^{j+1}(b_0d_1d_0b_1)b_1^{j+1})b_0d_1d_0b_1^i\\ &=\sigma_{i+j+1}\sigma_i. \end{aligned}$$ Соотношения (\ref{iso11}): $$\begin{aligned} \alpha_i\sigma_{i+1}\beta_{i+2} &=(d_1^{i-1}a_1b_1^i)(d_1^ib_0d_1d_0b_1^{i+1})(d_1^{i+2}c_1b_1^{i+1})\\ &=d_1^{i-1}(a_1b_0d_1d_0d_1c_1b_1)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(a_1b_0d_1(d_0d_1d_2)b_2c_1b_1^2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(a_1b_0(d_0d_1d_2)d_1b_2c_1b_1^2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(a_1d_1d_2d_1b_2c_1b_1^2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(a_2b_2d_2d_1b_2c_1b_1^2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(a_2d_1b_2c_1b_1^2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(a_2(d_1d_2d_3)b_3b_2^2c_1b_1^2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}((d_1d_2d_3)a_2b_3b_2^2c_1b_1^2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(d_1b_0d_0(d_2d_3a_2b_3b_2^2)c_1b_1^2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(d_1b_0(d_2d_3a_2b_3b_2^2)d_0c_1b_1^2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1(d_1d_2d_3)a_2b_3b_2^2d_0c_1b_1^2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1a_2(d_1d_2d_3)b_3b_2^2d_0c_1b_1^2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1a_2d_1b_2(d_0c_1)b_1^2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1(a_2b_2)b_1b_0(d_0d_1d_2)d_1b_2(d_0c_1)b_1^2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1(a_1d_1)b_1b_0d_1(d_0d_1d_2)b_2(b_1c_0)b_1^2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1a_1b_0d_1(d_0c_0)b_1^2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1a_1b_0d_1(b_{-1}c_{-1})b_1^2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1a_1b_0(b_{-1}c_{-1})d_1b_1^2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1a_1b_0(d_0c_0)b_1)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1a_1c_0b_1)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1(a_1b_1)b_0b_{-1}(d_{-1}d_0d_1)c_0b_1)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1(a_0d_0)b_0b_{-1}c_0(d_{-1}d_0d_1)b_1)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1(a_0b_{-1})c_0d_{-1}d_0)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1a_{-1}(d_0c_0)d_{-1}d_0)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1(a_{-1}b_{-1}c_{-1}d_{-1})d_0)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(d_1b_0b_1d_0)b_1^{i-1}\\ &=\sigma_i^{-1}, \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \alpha_i\sigma_{i+1}^{-1}\beta_{i+2} &=(d_1^{i-1}a_1b_1^i)(d_1^{i+1}b_0b_1d_0b_1^i)(d_1^{i+2}c_1b_1^{i+1}\\ &=d_1^{i-1}((a_1d_1)b_0b_1d_0d_1(d_1c_1)b_1^2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}((a_2b_2)b_0b_1d_0d_1(b_0c_0)b_1^2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(b_0(a_2b_2)b_1d_0d_1d_2b_2(b_0c_0)b_1^2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(b_0(a_1d_1)b_1d_0d_1d_2(b_0c_0)b_2b_1^2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(b_0a_1(d_0d_1d_2)(d_1c_1)b_2b_1^2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(b_0a_1(d_1c_1)(d_0d_1d_2)b_2b_1^2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(b_0(a_1d_1c_1b_1)d_1d_0b_1)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(b_0d_1d_0b_1)b_1^{i-1}\\ &=\sigma_i. \end{aligned}$$ Соотношения~(\ref{iso2}) симметричны соотношениям~(\ref{iso11}), их доказательство получается из доказательства соотношений~(\ref{iso11}) обращением порядка букв во всех словах и заменами $a_i\leftrightarrow c_i$, $b_i\leftrightarrow d_i$. Соотношения~(\ref{r1}) симметричны друг другу. Докажем одно из них: $$\begin{aligned} \alpha_i\sigma_{i+1}\beta_i &=(d_1^{i-1}a_1b_1^i)(d_1^ib_0d_1d_0b_1^{i+1})(d_1^ic_1b_1^{i-1})\\ &=d_1^{i-1}(a_1b_0d_1d_0(b_1c_1))b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(a_1b_0d_1d_0(d_2c_2)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(a_1b_0d_1(b_1c_1)d_0)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}((a_1b_0)c_1d_0)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(a_0(d_1c_1)d_0)b_1^{i-1}\\ &=d_1^{i-1}(a_0(b_0c_0)d_0)b_1^{i-1}\\ &=1. \end{aligned}$$ Соотношения~(\ref{r2}) также симметричны друг другу. Докажем одно из них: $$\begin{aligned} \alpha_{i+1}\sigma_i\beta_{i+1} &=(d_1^ia_1b_1^{i+1})(d_1^{i-1}b_0d_1d_0b_1^i)(d_1^{i+1}c_1b_1^i)\\ &=d_1^i((a_1b_1)b_1b_0d_1d_0d_1c_1)b_1^i\\ &=d_1^i((a_0d_0)b_1b_0d_1d_0d_1c_1)b_1^i\\ &=d_1^i(d_2(a_0d_0)(b_2b_1b_0)d_1d_0d_1c_1)b_1^i\\ &=d_1^i(d_2(a_1b_1)(b_2b_1b_0)d_1d_0d_1c_1)b_1^i\\ &=d_1^i(d_2(b_2b_1b_0)(a_1b_1)d_1d_0d_1c_1)b_1^i\\ &=d_1^i(b_1b_0a_1(d_0d_1d_2)b_2c_1)b_1^i\\ &=d_1^i(b_1b_0(d_0d_1d_2)a_1b_2c_1)b_1^i\\ &=d_1^i(d_2a_1(b_2c_1))b_1^i\\ &=d_1^i(d_2(a_1d_1)c_2)b_1^i\\ &=d_1^i(d_2(a_2b_2)c_2)b_1^i\\ &=1. \end{aligned}$$ Соотношение~(\ref{r3}) тривиально следует из~(\ref{rel3}). Осталось проверить соотношение~(\ref{r4}): $$\begin{aligned} \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i &=(d_1^{i-1}b_0d_1d_0b_1^i)(d_1^ib_0d_1d_0b_1^{i+1}) (d_1^{i-1}b_0d_1d_0b_1^i)\\ &=d_1^{i-1}b_0d_1^2d_0b_1^2b_0d_1d_0b_1^i\\ &=d_1^{i-1}b_0d_1b_0b_{-1}(d_{-1}d_0d_1)d_0b_1^2b_0d_1d_0b_1^i\\ &=d_1^{i-1}b_0d_1b_0b_{-1}d_0(d_{-1}d_0d_1)b_1^2b_0d_1d_0b_1^i\\ &=d_1^{i-1}b_0d_1(d_2b_2)(b_0b_{-1}d_0d_{-1}d_0)b_1b_0d_1d_0b_1^i\\ &=d_1^{i-1}b_0d_1d_2(b_0b_{-1}d_0d_{-1}d_0)b_2b_1b_0d_1d_0b_1^i\\ &=d_1^{i-1}b_0d_1d_2b_0b_{-1}d_0(d_{-1}d_0d_1)b_1b_2b_1b_0d_1d_0b_1^i\\ &=d_1^{i-1}b_0d_1d_2b_0b_{-1}(d_{-1}d_0d_1)d_0b_1b_2b_1b_0d_1d_0b_1^i\\ &=d_1^{i-1}b_0^2b_{-1}(d_{-1}d_0d_1d_2)(d_1d_0b_1)b_2b_1b_0d_1d_0b_1^i\\ &=d_1^{i-1}b_0^2b_{-1}(d_1d_0b_1)(d_{-1}d_0d_1d_2)b_2b_1b_0d_1d_0b_1^i\\ &=d_1^{i-1}b_0^2b_{-1}d_1d_0b_1d_{-1}d_1d_0b_1^i\\ &=d_1^{i-1}b_0^2b_{-1}d_1d_0b_1d_1d_{-1}d_0b_1^i\\ &=d_1^{i-1}b_0^2b_{-1}d_1d_0(d_{-1}d_0d_1)b_1^{i+1}\\ &=d_1^{i-1}b_0^2b_{-1}d_1(d_{-1}d_0d_1)d_0b_1^{i+1}\\ &=d_1^{i-1}b_0^2d_1d_0d_1d_0b_1^{i+1}\\ &=d_1^{i-1}b_0^2d_1(d_0d_1d_2)b_2d_0b_1^{i+1}\\ &=d_1^{i-1}b_0^2(d_0d_1d_2)d_1b_2d_0b_1^{i+1}\\ &=d_1^{i-1}b_0d_1d_2d_1b_2(b_{-1}d_{-1})d_0b_1^{i+1}\\ &=d_1^{i-1}b_0b_{-1}d_1d_2d_1b_2d_{-1}d_0b_1^{i+1}\\ &=d_1^{i-1}b_0b_{-1}b_0(d_0d_1d_2)d_1b_2d_{-1}d_0b_1^{i+1}\\ &=d_1^{i-1}b_0b_{-1}b_0d_1(d_0d_1d_2)b_2d_{-1}d_0b_1^{i+1}\\ &=d_1^{i-1}b_0b_{-1}b_0d_1d_0d_1d_{-1}d_0b_1^{i+1}\\ &=d_1^{i-1}b_0b_{-1}b_0d_1d_0d_{-1}d_1d_0b_1^{i+1}\\ &=d_1^{i-1}b_0b_{-1}(b_0d_1d_0)(d_{-1}d_0d_1d_2)b_2b_1b_0d_1d_0b_1^{i+1}\\ &=d_1^{i-1}b_0b_{-1}(d_{-1}d_0d_1d_2)(b_0d_1d_0)b_2b_1b_0d_1d_0b_1^{i+1}\\ &=d_1^id_2b_0d_1d_0b_2b_1b_0d_1d_0b_1^{i+1}\\ &=d_1^id_2b_0^2b_{-1}(d_{-1}d_0d_1)d_0b_2b_1b_0d_1d_0b_1^{i+1}\\ &=d_1^id_2b_0^2b_{-1}d_0(d_{-1}d_0d_1)(b_2b_1b_0)d_1d_0b_1^{i+1}\\ &=d_1^id_2(b_0^2b_{-1}d_0d_{-1}d_0)(b_2b_1b_0)d_1^2d_0b_1^{i+1}\\ &=d_1^i(b_0^2b_{-1}d_0d_{-1}d_0)b_1b_0d_1^2d_0b_1^{i+1}\\ &=d_1^ib_0^2b_{-1}d_0(d_{-1}d_0d_1)b_1^2b_0d_1^2d_0b_1^{i+1}\\ &=d_1^ib_0^2b_{-1}(d_{-1}d_0d_1)d_0b_1^2b_0d_1^2d_0b_1^{i+1}\\ &=(d_1^ib_0d_1d_0b_1^{i+1})(d_1^{i-1}b_0d_1d_0b_1^i) (d_1^ib_0d_1d_0b_1^{i+1})\\ &=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}. \end{aligned}$$ \section{Полугруппы $Y_n$ и группы $D_n$ при $n<\infty$.} В \S\ref{yinfty} мы определили подполугруппы $Y_n\subset Y_\infty$, где $n=3,4,\dots$. Очевидно для любого $n\ge3$ полугруппа $Y_n$ совпадает с подполугруппой в $Y_\infty$, порожденной множеством $A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_{n-1}$, где $A_i=\{a_i,b_i,c_i,d_i\}$. \begin{theorem} При $n\ge7$ полугруппа $Y_n$ изоморфна полугруппе, порожденной множеством образующих $A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_{n-1}$ и теми из соотношений~\/{\rm(\ref{rel1})--(\ref{rel7}),} которые включают лишь образующие из этого множества. \end{theorem} \доказательство Очевидно, подполугруппа $Y_n$ изоморфна подполугруппе $Y'_n$ в $Y_\infty$, порожденной множеством $A_{-2}\cup A_{-1}\cup\dots \cup A_{n-5}\cup A_{n-4}$. Доказательство нашего утверждения для полугруппы $Y'_n$ при $n\ge7$ практически буквально повторяет доказательство теоремы~\ref{y.infty}. Действительно, элементы~(\ref{image1})--(\ref{image4}) лежат в $Y'_n$. Все преобразования, использованные в доказательстве леммы~\ref{razlozh}, сохраняют множество слов в алфавите $A_{-2}\cup A_{-1}\cup\dots \cup A_{n-5}\cup A_{n-4}$ при $n\ge7$. В случае конечного $n$ при определении слов $w_{1,2}'$ в конце \S\ref{yinfty} можно просто вычеркнуть все буквы $b_i,d_i$, где $i>n-4$ или $i<-2$. Наконец, при проверке соотношений в \S\ref{checking} возникали только образующие из $A_{-2}\cup\dots\cup A_3$. \доказано При $5\le n<\infty$ полугруппы $Y_n$ можно также задать по-другому. Добавив к имеющимся образующим плетения сложности $1$, действующие нетривиально в $P_{n-1}$ и $P_0$, получим следующие копредставления. \begin{theorem} При $n\ge5$ полугруппа $Y_n$ изоморфна полугруппе, порожденой множеством образующих $\{a_i,b_i,c_i,d_i\}_{i\in\integer_n}$ и соотношениями \begin{equation}\label{d_1d_n} d_1d_2\dots d_n=1, \end{equation} $$a_id_{i+1}=a_{i+1}b_i,\eqno(\ref{rel1})$$ $$d_ic_{i+1}=b_{i+1}c_i,\eqno(\ref{rel2})$$ $$a_id_i=a_{i+1}b_{i+1},\eqno(\ref{rel4})$$ $$b_ic_i=d_{i+1}c_{i+1},\eqno(\ref{rel5})$$ $$a_ib_ic_id_i=1,\eqno(\ref{rel8})$$ $$b_id_i=d_ib_i=1,\eqno(\ref{rel3})$$ $$x_iy_j=y_jx_i,\eqno(\ref{rel6})$$ для всех $i,j\in\integer_n$ таких, что $i-j\notin\{-1,0,1\}$ и $x_i\in\{a_i,b_i,c_i,d_i\}$, $y_j\in\{a_j,b_j,c_j,d_j\}$. Индексы во всех соотношениях считаются вычетами по модулю $n$. \end{theorem} Снова доказательство почти ничем не отличается от докзательства теоремы~\ref{y.infty}. Здесь образующие $a_i,b_i,c_i,d_i$ при $1\le 1\le n-1$ те же, что и раньше. Новые образующие $a_n,b_n,c_n,d_n$, действующие в полуплоскостях $P_{n-1}$ и $P_0$, в силу указанных соотношений выражаются через остальные: $$\begin{aligned} a_n&=a_1d_2\dots d_{n-1},\\ b_n&=d_1\dots d_{n-1},\\ c_n&=d_1\dots d_{n-2}c_{n-1},\\ d_n&=b_{n-1}\dots b_1. \end{aligned}$$ Соотношения~(\ref{rel7}), которые в этот раз мы опустили, легко следуют из~(\ref{rel6})~и (\ref{d_1d_n}). При $n=3,4$ доказательство не проходит, поскольку оно использует перестановочность элементов из $A_i$ с элементами из $A_{i+2}$ и из $A_{i+3}$, которая не всегда имеет место при $n=3,4$. Однако, полугруппы $Y_3$ и $Y_4$ также являются конечно определенными. Для $Y_3$ этот факт был установлен в работах~\cite{dyn1}, \cite{dyn2}. Для $Y_4$ доказательство аналогично. Мы приведем здесь лишь формулировку соответствующего утверждения. \begin{theorem} Полугруппа $Y_3$ изоморфна полугруппе, порожденной образующими $\{a_i,b_i,c_i,d_i\}_{i\in\integer_3}$ и соотношениями $$\begin{aligned} a_i=a_{i+1}d_{i-1},\quad b_i=a_{i-1}c_{i+1},\quad &c_i=b_{i-1}c_{i+1},\quad d_i=a_{i+1}c_{i-1},\\ d_1d_2d_3&=1,\\ b_id_i=d_ib_i&=1,\\ x_iy_i&=y_ix_i, \end{aligned}$$ где $x_i\in\{a_{i-1}b_{i-1},\;d_{i-1}c_{i-1}, \;b_{i+1}d_{i-1}d_{i+1}b_{i-1}\}$, $y_i\in\{a_i,\;b_i,\;c_i,\;b_{i-1}d_id_{i-1}\},$ $i\in\integer_3$. Полугруппа $Y_4$ изоморфна полугруппе, порожденной образующими $\{a_i,b_i,c_i,d_i\}_{i\in\integer_4}$ и соотношениями $$\begin{aligned} d_1d_2d_3d_4&=1,\\ a_id_{i+1}&=a_{i+1}b_i,\\ d_ic_{i+1}&=b_{i+1}c_i,\\ a_id_i&=a_{i+1}b_{i+1},\\ b_ic_i&=d_{i+1}c_{i+1},\\ a_ib_ic_id_i&=1,\\ b_id_i=d_ib_i&=1,\\ x_iy_{i+2}&=y_{i+2}x_i, \end{aligned}$$ где $x_i\in\{a_i,b_i,c_i,d_i\}$, $y_i\in\{a_i,b_i,c_i,d_i, b_{i-1}a_id_{i-1},b_{i-1}b_id_{i-1},b_{i-1}c_id_{i-1}\}$, $i\in\integer_4$. \end{theorem} \begin{theorem} При $n\ge3$ центр $Z(Y_n)$ полугруппы $Y_n$ изоморфен полугруппе $L$ изотопических классов неориентированных зацеплений в $\real^3$. \end{theorem} \доказательство Очевидно, что полугруппа $L$ вложена в $Y_\infty$ как подполугруппа элементов, {\it представимых\/} сбалансированными словами. Очевидно также, что эта подполугруппа содержится во всех подполугруппах $T,Y_3,Y_4,\dots$, и что ее элементы коммутируют со всеми элементами из $Y_\infty$. Докажем обратное, что если слово $w$ задает центральный элемент $x$ полугруппы $Y_n$, то $x$ лежит в подполугруппе $L\subset Y_n\subset Y_\infty$. Действительно, нетрудно показать, что если $x\in Z(Y_n)$, то $\varphi(x)=0$. Отсюда для некоторых $N$ и $i_1,i_2,\dots,i_N\in \{1,2,\dots,n-1\}$ слово $a_{i_1}\dots a_{i_N}wc_{i_N}\dots c_{i_1}$ сбалансировано. Но тогда для соответствующего плетения $t$ существует сфера, вложенная в $\real^3$, разделяющая его на некоторое зацепление и плетение, представляющее единичный элемент полугруппы $Y_n$. Значит, такая сфера существует и для эквивалентного плетения, заданного словом $a_{i_1}\dots a_{i_N}c_{i_N}\dots c_{i_1}w$, а значит, и для плетения, заданного словом $w$, поскольку слово $a_{i_1}\dots a_{i_N}c_{i_N}\dots c_{i_1}$ сбалансировано.\доказано Рассмотрим теперь группу $D_n$ обратимых элементов полугруппы $Y_n$, $n\ge3$. \begin{theorem} При $n\ge3$ группа $D_n$ конечно определена и может быть задана образующими $\{d_i\}_{i\in\integer_n}$ и следующим набором соотношений: при $n\ge5$ $$d_id_j=d_jd_i,\quad\mbox{если }i-j\ne\pm1,$$ $$d_1d_2\dots d_n=1,$$ где все индексы рассматриваются по модулю $n$; при $n=4$ $$\begin{aligned} d_1d_2d_3d_4&=1,\\ d_id_{i+2}&=d_{i+2}d_i,\\ d_{i+2}(d_{i-1}^{-1}d_id_{i-1})&= (d_{i-1}^{-1}d_id_{i-1})d_{i+2}, \end{aligned}$$ $i\in\integer_4$; при $n=3$ $$\begin{aligned} d_1d_2d_3&=1,\\ d_iu_i&=u_id_i,\\ u_iu_{i+1}&=u_{i+1}u_i, \end{aligned}$$ где $u_i=d_{i+1}^{-1}d_{i-1}d_{i+1}d_{i-1}^{-1}$, $i\in\integer_3$. Коммутант группы $D_n$ изоморфен группе кос $B_\infty$ на бесконечном числе нитей. \end{theorem} \доказательство Известно, что группой обратимых элементов в полугруппе $T$ является группа кос $B_\infty$, порождаемая образующими $\sigma_i$ (рис.~\ref{generators}) и соотношениями~(\ref{iso10}) и (\ref{r4}). Доказательство первого утверждения нашей теоремы может быть получено из доказательства аналогиных утверждений для полугрупп $Y_n$, $n=3,4,\dots,\infty$, заменой $T$ на $B_\infty$ и вычеркиванием всех соотношений и выкладок, использующих образующие $a_i,c_i$ полугрупп $Y_n$ и образующие $\alpha_i,\beta_i$ полугруппы $T$. В частности, таким образом мы получим, что группа обратимых элементов полугруппы $Y_\infty$ порождается образующими $d_i$, $i\in\integer$ и соотношениями: $$\begin{aligned} d_id_j&=d_jd_i,\quad\rlap{если $|i-j|>1$},\\ d_i(d_{i-1}d_id_{i+1})&=(d_{i-1}d_id_{i+1})d_i. \end{aligned}$$ Очевидно также, что ядро ограничения гомоморфизма $\varphi$ на группу $D_n$ содержит коммутант группы $D_n$ и в то же время является подгруппой, изоморфной группе кос $B_\infty$. Таким образом, осталось показать, что коммутант есть вся эта подгруппа, а не ее часть. Это легко следует из того факта, что образующие (\ref{image3}), перекручивающие пару нитей, лежат в коммутанте группы $D_\infty$.\доказано \begin{thebibliography}{9} \bibitem{tur89} В.\,Г.\,Тураев. Операторные инварианты связок и $R$-матрицы. {\it Известия Акад.\ Наук СССР Сер.\ Мат.} {\bf53:5} (1989), 1073--1107. \bibitem{matv} С.\,В.\,Матвеев. Классификация достаточно больших трехмерных многообразий. {\it Успехи математических наук}, {\bf52} (1997), 5, 147--174. \bibitem{dyn1} И.\,А.\,Дынников. Трехстраничный подход в теории узлов. Кодирование и локальные движения. {\it Функциональный анализ и его приложения}, {\bf33} (1999), 4, 25--37. \bibitem{dyn2} И.\,А.\,Дынников. Трехстраничный подход в теории узлов. Универсальная полугруппа. {\it Функциональный анализ и его приложения}, {\bf34} (2000), 1. \end{thebibliography} \end{document}